Conjecture de Goldbach

Utilisateur anonyme · October 2016

J'ai récemment eu de nouvelles idées concernant la conjecture de Goldbach asymptotique (quand $2n$ tend vers l'infini). J'utilise les fonctions de type $\Pi(x), \pi (x)$ et les formules exactes de Riemann et von Mangoldt. Je mets la conjecture de Goldbach sous une forme agréable en utilisant des intégrales puis je passe à l'étude asymptotique.

AitJoseph · October 2016

Le résultat ?

Utilisateur anonyme · October 2016

Le résultat est, semble-t-il, que quand $2n$ est grand, on a Goldbach.

Fin de partie · October 2016

Si on considère la fonction $\displaystyle F(x)=\sum_{k=2}^{+\infty} x^{p_k}$ définie pour $0\leq x<1$ avec $p_k$ le $k$-ème nombre premier.

La conjecture de Goldbach* est équivalente, sauf erreur, à:
Pour tout $n$ entier pair>4, $\left(\dfrac{d^n}{dx^n}(F(x))^2\right)(0)>0$

*Pour tout entier pair>4, n est somme de deux nombres premiers.

AitJoseph · October 2016

@Fin de partie

C'est très joli cette présentation de Goldbach,tu as une lecture ou une référence?

Merci

Fin de partie · October 2016

J'y ai pensé quand sur le forum il était question du calcul du nombre de solutions d'équations diophantiennes comme $2x+3y+7z=2016$ ou plus récemment sur la décomposition en somme de trois nombres triangulaires mais l'idée est assez naturelle (sans doute éculée) bien que je ne vois pas ce que cette présentation apporte pour le moment puisque on ne sait rien sur $f$ et $f^2$.
On peut exprimer les coefficients dans le développement en série entière de $f^2$ en fonction de ceux de $f$.

Il y a d'autres approches reliées à des polynômes. Quelqu'un avait peut-être posté un lien sur un article il y a quelques semaines, je ne me souviens plus (ou je l'ai lu sur arxiv.org je ne sais plus).

Comme déjà indiqué dans le passé, je me demande ce qu'impliquerait de supposer qu'un nombre pair>2 ne puisse pas s'écrire comme une somme de deux nombres impairs. Cela impliquerait-il qu'il y en ait d'autres, une infinité d'autres?
J'ai cherché sur jstor.org, pendant que je pouvais le faire, je n'ai pas trouvé d'articles concernant directement la conjecture de Goldbach mais je n'ai pas de référence pour commencer (un article avec une source bibliographique assez bien fournie).
Il manque un livre avec un titre comme: Goldbach conjecture, a source book. :-D

PS:
L'article mentionné est celui-ci:

"Polynomials whose reducibility is related to the Goldbach conjecture"
https://arxiv.org/abs/1408.4881

Dans cet article, ils considèrent la fonction $\chi$ définie pour tout entier naturel par:
Si $n$ est un nombre premier impair $\chi(n)=1$ et autrement pour toute autre valeur cette fonction vaut $0$.

Pour tout $N>0$ entier naturel ils définissent le polynôme,

$\displaystyle F_N(z)=\sum_{k=0}^{N-1}\left(\sum_{n=1}^{N-1}\chi(n)z^{kn}\right)^2$

Et ils montrent que:

La conjecture de Goldbach est fausse pour $N$ si et seulement si $\Phi_N$ divise $F_N$.

$\Phi_N$ est le N-ème polynôme cyclotomique.

L'ennui est que pour tout $N>0$ entier naturel $\Phi_{2N}$ divise $F_N$.

AitJoseph · October 2016

De quoi faire une bonne recherche,merci

Utilisateur anonyme · October 2016

La formule exacte de von Mangoldt et Riemann est : $$
L(x)=\sum_{p,m,p^m<x} \log(p)= x -\sum_{\rho} (x^{\rho} /\rho) -\zeta'(0)/\zeta(0) -1/2 \log(1-x^{-2})
$$ somme sur les zéros de la fonction zeta de Riemann. \begin{align*}
l(x)&=\sum_{p<x} \log(p) \\
L(x)&=\sum_k l(x^{1/k}) \\
l(x)&=\sum_k \mu (k) L(x^{1/k})
\end{align*} avec $\mu$ les coefficient de Moebius.
La conjecture de Goldbach peut s'écrire, avec $\epsilon, \eta$ petits $$
\sum_{k=0}^n [ l (n+k+\epsilon)- l (n+k-\epsilon)][l(n-k+ \eta)-l(n-k-\eta)] \neq 0
$$ Après quelques instants de réflexion, on peut aussi changer la somme par une intégrale : $$
\int_0^n [l(n+x+\epsilon)-l(n+x-\epsilon )][l(n-x+\eta)-l(n-x-\eta)] dx \neq 0
$$ avec $\epsilon,\eta$ petit, on intègre alors deux fois par rapport à $\epsilon,\eta$ sous le signe intégrale.
Je n'écris pas tous les termes qui proviennent de l'expression, mais il y a des termes du type : $$
[(n+x+\epsilon )^{\rho /m}/\rho -(n+x-\epsilon )^{\rho /m}/\rho ]\times
[(n-x+\eta)^{\rho'/m'}/\rho'-(n-x-\eta)^{\rho'/m'}/\rho']
$$ que l'on intègre en $$
[(n+x+\epsilon)^{\rho/m+2}-(n+x-\epsilon)^{\rho/m+2} /(\rho (\rho/m+1)(\rho/m+2)))][...etc
$$ on prend alors la limite $\epsilon,\eta$ tendant vers zéro, avec $(1-\epsilon)^a = 1-a \epsilon$ et on enlève pendant le limite $\epsilon$ et $\eta$. Dans l'expression obtenue, on fait le changement de variables $x=ny$ et on permute le signe intégrale et somme.

Il est alors possible de prendre une limite asymptotique quand $n$ est grand.

Fin de partie · October 2016

Peux-tu fournir un énoncé clair?

Utilisateur anonyme · October 2016

Une démarche similaire pourrait donner des résultats dans le cas des nombres premiers jumeaux, je pense.

Sylvain · October 2016

Oui, la conjecture de Goldbach et celle des nombres jumeaux sont assez apparentées. Mais ton approche, au demeurant intéressante, ne suppose-t-elle pas une bonne connaissance des zéros non triviaux de $\zeta$ ?

Utilisateur anonyme · October 2016

Non, je suppose l'hypothèse de Riemann pour les zéros de zeta; les formules exactes ont été démontrées par von Mangoldt. Je n'utilise rien de plus.

reuns · October 2016

L'hypothèse de Riemann donne que $l(x) = \sum_{p < x} \log(p) = x + \mathcal{O}(x^a)$ où $a = 1/2+\epsilon$

et donc que en moyenne un nombre pair $2n$ s'écrit de $\sum_{k=2}^n \frac{1}{\ln k}\frac{1}{\ln(n+k)}+ \mathcal{O}(\sum_{k=2}^n \frac{1}{ k^{a}}\frac{1}{(n+k)^{a}})$ manières comme la somme de deux nombres premiers

mais $l(x+1/2)-l(x-1/2) = 1+\mathcal{O}(x^a)$ donc ça n'indique rien sur le fait qu'un nombre impair en particulier soit premier, ou qu'un nombre pair en particulier s'écrive comme la somme de deux nombres premiers.

Conjecture de Goldbach

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