Twist d'une série de Dirichlet
Je n'avais jamais réalisé. Si $h(z)$ est analytique [small](au voisinage de $a_1$)[/small] et que
$$F(s) = \sum_{n=1}^\infty a_n n^{-s}, \qquad G(s) = h(F(s)) = \sum_{n=1}^\infty b_n n^{-s}$$
alors pour toute fonction $\psi(n)$ complètement multiplicative :
$$F_\psi(s) = \sum_{n=1}^\infty a_n \psi(n) n^{-s},\qquad G_\psi(s) =\sum_{n=1}^\infty b_n \psi(n) n^{- s} = \color{red}{ h(F_\psi(s))}$$
donc l'opérateur qui envoie $\sum_{n=1}^\infty a_n n^{-s}$ vers $\sum_{n=1}^\infty a_n \psi(n) n^{-s}$ commute avec l'opérateur qui envoie $F(s)$ vers $h(F(s))$.
La démonstration c'est que $F(s) \mapsto h(F(z))$ est linéaire en $h$, donc il suffit de le montrer pour $h(z) = z^k$, et avec $G(s) = (F(s))^k$ on a alors
$\displaystyle(F_\psi(s))^k = (\sum_{m=1}^\infty a_m \psi(m) m^{-s})^k =\sum_{n=1}^\infty n^{-s} \sum_{n = \prod_{j=1}^k m_j} \prod_{j=1}^k a_{m_j} \psi(m_j)$ $\displaystyle = \sum_{n=1}^\infty n^{-s}\psi(n)\sum_{n = \prod_{j=1}^k m_j} \prod_{j=1}^k a_{m_j} = G_\psi(s)$
$$F(s) = \sum_{n=1}^\infty a_n n^{-s}, \qquad G(s) = h(F(s)) = \sum_{n=1}^\infty b_n n^{-s}$$
alors pour toute fonction $\psi(n)$ complètement multiplicative :
$$F_\psi(s) = \sum_{n=1}^\infty a_n \psi(n) n^{-s},\qquad G_\psi(s) =\sum_{n=1}^\infty b_n \psi(n) n^{- s} = \color{red}{ h(F_\psi(s))}$$
donc l'opérateur qui envoie $\sum_{n=1}^\infty a_n n^{-s}$ vers $\sum_{n=1}^\infty a_n \psi(n) n^{-s}$ commute avec l'opérateur qui envoie $F(s)$ vers $h(F(s))$.
La démonstration c'est que $F(s) \mapsto h(F(z))$ est linéaire en $h$, donc il suffit de le montrer pour $h(z) = z^k$, et avec $G(s) = (F(s))^k$ on a alors
$\displaystyle(F_\psi(s))^k = (\sum_{m=1}^\infty a_m \psi(m) m^{-s})^k =\sum_{n=1}^\infty n^{-s} \sum_{n = \prod_{j=1}^k m_j} \prod_{j=1}^k a_{m_j} \psi(m_j)$ $\displaystyle = \sum_{n=1}^\infty n^{-s}\psi(n)\sum_{n = \prod_{j=1}^k m_j} \prod_{j=1}^k a_{m_j} = G_\psi(s)$
Réponses
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Et tu en conclus quelque chose d'intéressant ? Genre un possible lien avec la conjecture 3 de https://en.m.wikipedia.org/wiki/Selberg_class ?
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A priori la conjecture 3 (à la lumière de mon 1er post) c'est que si $F = GH \in S$ et $F_\chi \in S$ alors $ G_\chi,H_\chi\in S$ et donc $F_\chi = G_\chi H_\chi$. [small]Encore une fois, ça devrait être un théorème si tu te limites aux fonctions de $S$ qui sont automorphes (ce que tu as tout à fait le droit de faire).[/small]
Ce que je conclue de mon 1er post n'est pas encore intéressant, mais pose des questions intéressantes.
Par exemple on regarde souvent pour $F \in S$ :
$G(s) = \frac{F'(s)}{F(s)} = \sum_{n=1}^\infty b_n n^{-s}$ et $\sum_{\chi \bmod\, q} \frac{F'_\chi(s)}{F_\chi(s)} =\phi(q) \sum_n b_{nq+1} (nq+1)^{-s}$, mais je n'avais jamais vu le faire pour $F \in S^{\#}$, alors que ça marche très bien.
Et si les $F_\chi$ sont dans $S^{\#}$ donc analytiques à part en $s=1$, alors le $\sigma_0$ tel que $\phi(q) \sum_n b_{nq+1} (nq+1)^{-s}$ n'a pas de pôles (autre que celui en $s=1$) est le max des $\sigma_0$ tel que les $F_\chi(s)$ n'ont pas de zéro. -
Et donc généraliser des méthodes et des théorèmes vrais pour $\zeta(s)$ à des fonctions pour lesquelles ont sait que RH est faux c'est hyper important, car c'est ce qui permet de démontrer qu'une approche pour essayer de prouver RH n'a aucune chance de marcher.
A la fin, si on réussit à tout bien organiser, on arrive presque à démontrer que "en l'état actuel des connaissances, il est impossible de prouver RH", [small]et plus simplement on arrive à dire tout de suite qu'un pdf qui prétend prouver RH est faux, juste en lisant en diagonal et en regardant les hypothèses et théorèmes pour $\zeta(s)$ qui sont utilisés.[/small] -
Ce que je veux dire c'est que si ton opérateur $ h $ est la multiplication par une fonction de la classe de Selberg, peut-on déduire de l'appartenance à cette classe de $ F $ et $ F_{\chi} $ et de la primitivité de $ F $ celle de $ F_{\chi} $?
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Écris clairement ton raisonnement, tu verras bien.
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- Déjà l'opérateur $T : F(s) \mapsto F(s) G(s)$ n'est pas de la forme dont j'ai parlé, qui est $T : F(s) \mapsto h(F(s))$ où $h(z)$ est analytique au voisinage de $z= a_1 = F(+\infty)$
- Pour la factorisation de $F$ qui entraînerait celle de $F_\chi$,
déjà il faut que tu précises l'opérateur $F \mapsto F_\chi$ dans la classe de Selberg, en rajoutant si besoin facteur sur un nombre fini de nombres premiers (par exemple si $\chi$ est un caractère primitif modulo $D$ alors $F(s) = L(s,\overline{\chi}) \in S$ mais $F_\chi = L(s,|\chi|) = \zeta(s) \prod_{p | D} (1-p^{-s}) \not \in S$, donc tu dois rajouter un facteur $\prod_{p | D} \frac{1}{1-p^{-s}}$) - Ensuite, si $F(s) = G(s) H(s)$ alors $F_\chi(s) = G_\chi(s) H_\chi(s)$ (démonstration : passe au logarithme : $\log F(s) = \log G(s)+\log H(s)$ donc clairement $(\log F(s))_\chi =(\log G(s))_\chi+(\log H(s))_\chi$, puis applique mon premier post pour dire que ça implique $F_\chi(s) = G_\chi(s) H_\chi(s)$)
mais $G, H \in S$ n'implique pas forcément que $G_\chi, H_\chi \in S$, donc la factorisation $F_\chi(s) = G_\chi(s) H_\chi(s)$ n'a peut-être aucun sens dans $S$.
Pour que ça ait un sens, il faut d'abord montrer que
[small](pour presque tous les caractères primitifs, ou pour tous les caractères primitifs à un facteur près tu type $\prod_{p \in E} \frac{1}{1-p^{-s}}$)[/small] si $G \in S$, alors $G_\chi \in S$,
ce qu'on sait montrer quand $G$ est automorphe, mais pas en général. - Maintenant, rien ne t'interdit de considérer $S_{automorphe}$ une sous-classe de Selberg de fonctions automorphes, où tout marche beaucoup mieux.
(sauf qu'on n'a pas de critère aussi simple que la définition de la classe de Selberg pour définir $S_{automorphe}$)
- Déjà l'opérateur $T : F(s) \mapsto F(s) G(s)$ n'est pas de la forme dont j'ai parlé, qui est $T : F(s) \mapsto h(F(s))$ où $h(z)$ est analytique au voisinage de $z= a_1 = F(+\infty)$
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