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Un défi, simple => facile ?

Envoyé par Arbre 
Un défi, simple => facile ?
il y a deux années
Bonjour,

Pour une raison que je ne connais pas, il m'est impossible d'utiliser, mon compte... donc j'ai ouvert celui là.

Je vais faire bref, je vous propose un défi qui consiste en 3 énoncés, dont les solutions que j'ai, font, environs une dizaine de lignes, avec le programme de l'agreg au maximum.

Pour vous entraîner c'est ici : [www.les-mathematiques.net]

voilà les énoncés :

énoncé 2 : plein les sinus
Comment calculer, en moins de 10 minutes avec un pc récent, la dérivée 100-iem en 0 de $sin^{2^{2017}}$ (fonction composée de sinus) ?

énoncé 3 : équations fonctionnelles
Soient $n\in\N,n>1, P_1,...,P_n$ polynômes complexes.
Si $Q(x)=a_0+...+a_nX_n$, f une fonction de $\C$ dans $\C$,
on note $Q(f)$ la fonction : $Q(f)=a_0id+a_1f+...+a_nf^n$ avec $f^2(x)=f(f(x))$.
Trouver une condition nécessaire et suffisante (sur les $P_i$) pour qu'il existe une fonction f de $\C$ dans $\C$ tel que :
$\forall i, i=1..n,P_i(f)=0$

énoncé 4 : Diffie-Helmann par les polynômes
Soit $p=2^j\times q_1\times q_2\times ...q_n+1$ un nombre premier, avec les $q_i$ premiers entre eux et impair, soit $P$ un polynôme de deux variable dans $\Z_p[X,Y]$ avec $b$ un [édit5]de ses des[\édit5] éléments [édit5]primitifs générateurs[\édit5] de $\Z_p^*$ tel que
pour tout $k,m\in \N, b^{k\times m}\mod p=P(b^m,b^k)\mod p$. Alors $2^n\leq deg(P)$.

Je considère avoir perdu le défi, si au moins 2 énoncés sur 3 sont résolus.
Je ne donnerais la solution que je pense avoir que si l'ensemble des participants reconnaîent, que ce n'est pas parce que c'est simple (compréhensible du plus grand nombre) que c'est facile à trouver.

PS : pourquoi avoir numéroté à partir de 2 : [www.maths-forum.com]

A bientôt.



Edité 5 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Arbre.
Re: Un défi, simple => facile ?
il y a deux années
Il reste le 2 ou le 4.

Bonne journée.
Re: Un défi, simple => facile ?
il y a deux années
Bonjour,

Ton énoncé 2, c'est $\left(sin(x)\right)^{2^{2017}}$ ou $sin \circ sin \circ sin ......$ $2^{2017}$ fois ?

Cordialement,

Rescassol
Re: Un défi, simple => facile ?
il y a deux années
Bonsoir,

C'est la composée, à savoir $\sin^2=\sin \circ \sin $.

PS : vous aussi vous reconnaissez, que c'est pas parce qu'une solution est simple (courte et compréhensible du plus grand nombre) qu'elle est facile à trouver ?
ici, c'est quasiment le cas : [www.maths-forum.com]

Bonne soirée.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Arbre.
Re: Un défi, simple => facile ?
il y a deux années
avatar
Posons $P_0$ la partie principale du développement limité de $\sin$ à l'ordre $100$ au voisinage de $0$, puis construisons $P_1,P_2,\dots,P_{2017}$ en posant $P_{i+1} = P_i \circ P_i \bmod X^{101}$ pour $0\leq i \leq 2016$.
Alors $P_{2017}$ est la partie principale du développement limité de $\sin^{2^{2017}}$ à l'ordre $100$ au voisinage de $0$.
Re: Un défi, simple => facile ?
il y a deux années
@Siméon : Bravo.

Le défi est donc fini.

Juste une question pour les 2 participants de ce fil (Rescassol et Siméon) :

Êtes-vous d'accord que ce n'est pas parce qu'une solution est (courte (environs une dizaine de ligne) et simple (compréhensible de la plus part des personnes comprenant l'énoncé)) qu'elle est facile à trouver ?

Merci.
Re: Un défi, simple => facile ?
il y a deux années
avatar
Oui, pourquoi ?
Re: Un défi, simple => facile ?
il y a deux années
Bonsoir,

Oui, je n'ai pas dit le contraire, mais, également, pourquoi ?
Ceci dit, je n'avais pas eu le temps de chercher.
D'autre part, Siméon a donné une méthode, mais pas la réponse.

Cordialement,

Rescassol
Re: Un défi, simple => facile ?
il y a deux années
J'ai cru peut-être à tord que certains n'en étaient pas convaincu.

Maintenant, je vous laisse chercher le 4, je donnerais la réponse, quand vous me la demanderais, ou dés que l'entre vous trouve en trouve une (si la solution (que je crois connaître) n'est pas la même).

Merci, encore pour votre participation.

Bonne soirée.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Arbre.
Re: Un défi, simple => facile ?
il y a deux années
@Rescassol : la question était bien "comment calculer..." et non "calculer..."

Bonne soirée.
Re: Un défi, simple => facile ?
il y a deux années
Bonsoir,

Oui, mais c'est un peu frustrant.
Ça me rappelle le célèbre "il peut le faire ..."

Cordialement,

Rescassol
Re: Un défi, simple => facile ?
il y a deux années
grinning smiley

Après si tu veux je peux essayer de trouver une réponse $\mod 2^{89}-1$, mais une réponse exact, je crains que mon espace mémoire ne me le permette pas.

Ou modulo, l'entier premier de ton choix plus grand que $2^{50}$ et plus petit que $2^{100}$



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Arbre.
Re: Un défi, simple => facile ?
il y a deux années
avatar
Désolé, je ne comprends même pas l'énoncé du 4 : élément primitif ?
Re: Un défi, simple => facile ?
il y a deux années
$b$ est un générateur du groupe multiplicatif $\Z_p^*$
Re: Un défi, simple => facile ?
il y a deux années
avatar
Citation
Arbre
Pour une raison que je ne connais pas, il m'est impossible d'utiliser, mon compte...

N'aurais-tu pas été provisoirement banni? Ceci expliquerais cela.
Re: Un défi, simple => facile ?
il y a deux années
avatar
Afin de couper court à toute polémique, pourexemple n'a pas été banni. Par contre, il n'a pas le même e-mail.

Bruno

L'homme n'est ni ange ni bête, et le malheur veut que qui veut faire l'ange fait la bête.
Re: Un défi, simple => facile ?
il y a deux années
@Shah d'Ock : Je ne sais pas, on ne reçoit pas un petit message pour cela...

Je suspecte Poutine d'être derrière cette affaire.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Arbre.
Re: Un défi, simple => facile ?
il y a deux années
@Bruno : je me suis déconnecté, et (comme je ne connaissais pas mon mot de passe) j'en redemandais un, le serveur à refuser de me servir, jusqu'à mercredi... le nouveau compte marche (celui-ci) par contre même avec un nouveau mot de passe impossible de me connecter à mon ancien compte... pas très grave, j'allais changer de pseudo.... grinning smiley
Re: Un défi, simple => facile ?
il y a deux années
avatar
Pour le deux :

$(x+o(x))^{2017} = x^{2017}+o(x^{2017}) $
Re: Un défi, simple => facile ?
il y a deux années
@Flipflop :

[www.les-mathematiques.net]

[www.les-mathematiques.net]

Et c'est $2^{2017}$ et non $2017$.
Re: Un défi, simple => facile ?
il y a deux années
Bonsoir,

La preuve que je suis à la détente :
Citation Bruno :
Par contre, il n'a pas le même e-mail.

Tu parles du compte (pourexemple ?), je n'y ai pas changer l'adresse, et j'ai reçut mercredi des nouveaux mots de passe du serveur (qui n'était pas bon)...

Est-ce que Poutine a encore frappé ?

En, même temps je débusque, malgré moi, ces agents... grinning smiley donc je ne dois pas, trop avoir la côte, en Russie... grinning smiley

Bonne soirée.

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Croire une chose parce que son contraire semble inconcevable (cela est faire preuve d'aveuglement)
Re: Un défi, simple => facile ?
il y a deux années
énoncé 2 :
La fonction $\sin$ est impaire. Une composée de fonctions impaires est impaire. Donc l'itérée $2^{2017}$ fois de la fonction sinus est impaire. La dérivée 100ème d'une fonction impaire est une fonction impaire, et sa valeur en $0$ est $0$
Re: Un défi, simple => facile ?
il y a deux années
Citation GaBuZoMeu :
Une composée de fonctions impaires est impaire.

Oui, c'est vrai...

Donc voilà ta réponse Rescassol, comme quoi le raisonnement est, bien des fois, plus forts que le calcul.

Bonne soirée.

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Croire une chose parce que son contraire semble inconcevable (cela est faire preuve d'aveuglement)
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