Un défi, simple => facile ?

Bonjour,

Pour une raison que je ne connais pas, il m'est impossible d'utiliser, mon compte... donc j'ai ouvert celui là.

Je vais faire bref, je vous propose un défi qui consiste en 3 énoncés, dont les solutions que j'ai, font, environs une dizaine de lignes, avec le programme de l'agreg au maximum.

Pour vous entraîner c'est ici : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1198849,1384816#msg-1384816

voilà les énoncés :

énoncé 2 : plein les sinus
Comment calculer, en moins de 10 minutes avec un pc récent, la dérivée 100-iem en 0 de $sin^{2^{2017}}$ (fonction composée de sinus) ?

énoncé 3 : équations fonctionnelles
Soient $n\in\N,n>1, P_1,...,P_n$ polynômes complexes.
Si $Q(x)=a_0+...+a_nX_n$, f une fonction de $\C$ dans $\C$,
on note $Q(f)$ la fonction : $Q(f)=a_0id+a_1f+...+a_nf^n$ avec $f^2(x)=f(f(x))$.
Trouver une condition nécessaire et suffisante (sur les $P_i$) pour qu'il existe une fonction f de $\C$ dans $\C$ tel que :
$\forall i, i=1..n,P_i(f)=0$

énoncé 4 : Diffie-Helmann par les polynômes
Soit $p=2^j\times q_1\times q_2\times ...q_n+1$ un nombre premier, avec les $q_i$ premiers entre eux et impair, soit $P$ un polynôme de deux variable dans $\Z_p[X,Y]$ avec $b$ un [édit5]de ses des[\édit5] éléments [édit5]primitifs générateurs[\édit5] de $\Z_p^*$ tel que
pour tout $k,m\in \N, b^{k\times m}\mod p=P(b^m,b^k)\mod p$. Alors $2^n\leq deg(P)$.

Je considère avoir perdu le défi, si au moins 2 énoncés sur 3 sont résolus.
Je ne donnerais la solution que je pense avoir que si l'ensemble des participants reconnaîent, que ce n'est pas parce que c'est simple (compréhensible du plus grand nombre) que c'est facile à trouver.

PS : pourquoi avoir numéroté à partir de 2 : https://www.maths-forum.com/enigmes/facile-simple-sont-pas-confondus-t181279.html#p1201979

A bientôt.