Primitives de la fonction zêta

Les primitives de $\zeta(z)=\sum_{k=1}^{\infty} \frac1{k^z}$ sur le demi plan $\Re(z)>1$ sont :
$$-\sum_{k=2}^{\infty} \frac1{ln(k)k^z} + cst$$
Mais ce que je cherche c'est des résultats importants.
Pour la dérivée par exemple on a $\zeta'(0)=-\frac{ln(2\pi)}2$ et $\zeta'(-2)=-\frac{\zeta(3)}{4\pi^2}$ et ...

Posons $$F(z)=\sum_{k=2}^{\infty} \frac1{ln(k)k^z} \quad ; \quad \Re(z)>1$$

Je cherche à écrire sous forme close l'une des valeurs $F(-n)$ ($n\in \mathbb N$).
Vos remarques ou objections seront les bienvenus.