Découverte : l'inverse modulaire enfin résolu

Al-Kashi
Al-Kashi
dans Shtam
Chers amis,

C'est avec beaucoup d'émotions que je vous annonce avoir enfin trouvé la formule permettant de déterminer l'inverse modulaire de n'importe quel nombre.

J'ai effectué de nombreuses vérifications et même plus, j'en ai une élégante et simple démonstration.

Je suis convaincu que cette découverte est importante car elle permet de simplifier de longs algorithmes, notamment celui d'Euclide.

Même si j'apprécie mon travail d'enseignant J'ai toujours voulu être un chercheur professionnel mais je n'ai pas pu le faire pour des raisons de temps.



Pensez vous qu'une telle découverte peut être l'accès à ce métier dans une équipe de recherche ?

Pourriez-vous m'orienter dans la manière de publier un tel résultat.

Au delà du résultat, il y a je pense derrière cette démonstration des idées novatrices.

Je tiens à préciser aussi que c'est en m'intéressant initialement à un tout autre problème que je suis tombé sur un tel résultat.

En vous remerciant,

Al-Kashi
«1

Réponses

  • pourexemple
    pourexemple
    Salut,

    Bon courage, tu as l'air d'avoir fait la moitié du chemin il te reste encore la moitié.

    Cordialement.
  • L2M
    L2M
    Bon courage.

    - Est-ce que tu as testé la formule pour des valeurs très grandes (en comparaissant avec l'algorithme d'Euclide ou autre) ? si c'est le cas peux-tu nous donner le temps nécessaire (numériquement) pour que ta formule calcule l'inverse d'un entier de $5$ chiffres, $100$ chiffres, ... et selon la valeur de $n$.

    - Essaye de l'utiliser pour redémontrer des résultats de l’arithmétique ou autre. Tu dois en être sûr à 100%.
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Si $a$ est premier avec $b$, trouver un inverse de $a$ modulo $b$ peut se faire par calcul en trouvant une solution de l'équation $ax+by=1$. On dispose de l'algorithme dit "algorithme d'Euclide étendu" pour ce faire.

    (cf https://fr.wikipedia.org/wiki/Algorithme_d'Euclide_étendu )

    PS:
    Je ne veux pas être rabat-joie. B-)-
  • Joaopa
    Joaopa
    Ca fait bien longtemps que 'on connaît une formule explicite (juste écrire l'algo d'Euclide). D'un point de vue informatique, dans les applications optimisées, ce n'est pas l'algorithme d'Euclide qu'on utilise.
  • christophe c
    christophe c
    Tout le monde a l'air de savoir.... C'est quoi <<l'inverse modulaire d'un nombre>>?
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Christophe : je pense qu'ils parlent de l'inverse multiplicatif de $m$ dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ lorsque $m$ est premier avec $n$
  • ev
    ev
    Bonsoir Christophe.

    Soit \( n \) un entier supérieur ou égal à \( 2 \). L'inverse modulaire d'un entier \( a \) est un nombre \( b \) tel que \( ab \equiv 1 \bmod n \).
    Il s'agit de ce fait d'une classe modulo \( n \).

    Autrement dit, c'est un représentant de l'inverse de la classe de \( a \) dans \( \Z/n\Z \).

    Je suppose que ces approximations syntaxiques doivent te hérisser le poil.

    amicalement,

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • soland
    soland
    @Al-Kashi Fais comme tout-le monde:
    Envoie à un journal et attends.
    Cordialement
  • pourexemple
    pourexemple
    Salut,

    @Soland : quand on n'a aucune réputation auprès de la communauté des mathématiciens, mieux vaut d'abord s'en construire une avant de rendre publics ses résultats (pour s'assurer de la paternité des résultats), sinon autant dire qui veut (*)augmenter sa réputation aux détriments de la mienne (c'est du vécu sur stack-math).

    Cordialement.

    [ (*) je ne comprends pas ce que tu veux exprimer ici, pourexemple. jacquot ]
  • pourexemple
    pourexemple
    @Jacquot : j'ai le souvenir lorsque je faisais mon stage de maths appliquées qu'un collègue du département de maths nous avait raconté (à table) qu'il connaissait une personne qui s'était fait voler le contenu de sa thèse par son encadrant, ce qui m'a ouvert les yeux sur le fait que l'on a décorrélé science et sagesse.
  • christophe c
    christophe c
    Merci à toi ev pour la confirmation explicite de ce qui semblait déjà "un peu" affirmé par certains intervenants avant comme si "ça allait de soi".
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Al-Kashi
    Al-Kashi
    Bonjour,

    Tout d'abord je tiens à préciser mon mécontentement envers le modérateur qui a déplacé cette discussion.

    En effet, je connais et utilise ce forum depuis la vieille époque d'Olivier Bordelles, Richard André J, AD, ...

    J'ai toujours respecté les règles de la charte.

    Mon sujet est extrêmement sérieux, je suis professeur de collège et je n'ai donc aucune expérience en terme de publication.

    Le résultat que je propose est nouveau, une formule simple pour inverser un nombre modulo un autre, il me semble que c'est du jamais vu.
    Je ne parle pas d'algorithme, je parle d'une formule close.

    Bref, la seule manière d'être pris au sérieux est de faire un article et ma seule solution est donc de le poster dans le forum arithmétique.

    Par mesure de sécurité, je l'enverrai en même temps à de nombreux journaux.

    Al-Kashi
  • Chalk
    Chalk
    Shtam a écrit:
    Réservé aux amateurs pensant avoir démontré un résultat important ou difficile

    Ton mécontentement n'a donc pas lieu d'être et est tout à fait déplacé.

    Par ailleurs, ici on est sur un forum de mathématiques. Ce n'est pas un lieu pour annoncer des résultats sans donner aucune matière, on n'est pas sur Twitter, ni sur academia.stackexchange.com, il n'y a aucun "teasing" à faire. Si tu souhaites avoir la priorité sur ton résultat il te suffit de le publier sur un site d'archivage en ligne, tel qu'arXiv ou viXra.

    Nous serions tout à fait légitimes à fermer cette discussion qui n'apporte strictement rien pour le moment. À toi de nous prouver le contraire en postant quelque chose de plus utile ...
  • Al-Kashi
    Al-Kashi
    Bonjour Skyffer,

    Entendu, je vais m’intéresser à ces sites d'archivage, mais saches que je j'interviens sur ce forum depuis 7 ans.

    Il m'a donc semblé plus correct de partager un tel résultat d'abord avec des membres que j'apprécie et qui œuvrent tous les jours pour répondre à de nombreuses questions à différents intervenants.

    Je vais donc faire deux choses:

    -Publier sur un site d'archivage pour m'assurer de la paternité des formules
    -Publier sur le site des mathématiques.net dans la section arithmétique.

    Un tel résultat publié ici même ne peut qu'être une belle publicité pour ce site qui le mérite bien.

    Al-Kashi
  • Chalk
    Chalk
    Publier sur un site d'archivage tel que viXra prend 30 secondes.

    Par ailleurs, inutile d'ouvrir un fil d'arithmétique pour cela, il sera de toute façon fusionné avec cette discussion-ci. Je le répète, la rubrique Shtam est tout à fait pertinente pour présenter un résultat nouveau ou une découverte.
    Al-Kashi a écrit:
    Un tel résultat publié ici même ne peut qu'être une belle publicité pour ce site qui le mérite bien.
    Sans présumer de ta preuve, pour l'instant les amateurs qui ont cru avoir démontrer quelque chose de nouveau ont fait plus de mal que de bien à ce forum ... C'est un fait, mais je le redis, ça ne veut absolument pas dire que ta découverte rentrera dans ce cadre.
  • Al-Kashi
    Al-Kashi
    Cher Skyffer 3,

    J'ai connu l'époque Jamel Ghanouchi et les fameuses démonstrations de Fermat....
    Je n'ai jamais apprécié ce style consistant à déguiser de fausses preuves.

    J'insiste, je suis extrêmement sérieux, et espère qu'après lecture de mon article, aucun modérateur ne se permettra de déplacer mon post en Shtam, ce serait une insulte pour moi.

    Si c'est avec un certain plaisir que je compte partager mon travail avec nos chers intervenants, j'espère que celui-ci sera bien accueilli à sa place dans la section arithmétique.

    Une telle découverte à savoir une formule simple et élégante permettant de déterminer l'inverse modulaire de n'importe quel nombre a à mon avis toute sa place dans le forum arithmétique de ce site que j'apprécie tant.

    Al-Kashi
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Al-Kashi: Ce que Skyffer3 t'explique (qu'il me corrige si ce n'est pas ça), c'est qu'il n'y a rien d'insultant à voir son post déplacé dans Shtam, qui est littéralement dédié aux découvertes nouvelles: si ta découverte est réellement importante/difficile, c'est dans ce forum qu'il est pertinent de la publier, et pas dans le forum "Arithmétique", qui est essentiellement là pour poser des questions relevant de l'arithmétique, pas pour y poster des résultats
  • L2M
    L2M
    Vous me faites penser à une blague : un homme et sa femme se disputaient sur le prénom de leur prochain bébé avant qu'il soit né :-).
    Merci @christophe c. J'ai rectifié le mien, comment je vais faire pour rectifier le tien 8-).
  • christophe c
    christophe c
    @L2M : né et non pas "nait"

    @tous: je n'ai pas l'impression que AK prétende avoir résolu un gros truc mais qu'il se déclare juste fier d'une belle formule pour effectuer un calcul déjà bien connu pour lequel il ne manque pas de déjà "belles formules". Ce type d'informations est fréquent et courant: nombre de profs de collège et de lycée (et de prépas) offrent régulièrement telle ou telle affinement de choses déjà connues , par exemple tell ou telle nouvelle preuve de Pythagore. Il y a même de nombreuses revues je crois qui mettent en version papier (ou mettaient) ces productions comme par exemple la RMS qui publie régulièrement des corrections d'exercices d'école avec l'idée que c'est la présentation ou l'amélioration d'un détour qui mérite exposition.

    Je dis tout ça en passant et en me basant sur ce qu'on m'a dit ci dessus de ce que signifie "inverse modulaire". Peut être est- ce ce qui laisse à AK un sentiment de gêne : être reçu comme s'il avait annoncé "une découverte"?
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    Bon j'ajoute qu'en même temps son titre de topic est ambigu.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • L2M
    L2M
    @christophe c
    nombre de profs de collège et de lycée (et de prépas) offrent régulièrement telle ou telle affinement de choses déjà connues.

    et les AUTRES (en HAUT de l’échelle) qu'est-ce qu'ils font ?

    Tout dépendra de ce que Al-Kashi a fait. Personnellement, j'espère que c'est quelque chose de TRÈS IMPORTANT. Sinon, je sais qu'il a fait un TRES GRAND EFFORT, et c'est ce qui compte.
  • Fin de partie
    Fin de partie
    L2M a écrit:
    Sinon, je sais qu'il a fait un TRES GRAND EFFORT, et c'est ce qui compte.

    Ce qui compte, selon moi, est qu'il ait eu du plaisir à faire ce qu'il a fait et qu'il en a éprouvé de la satisfaction.
    Après, le titre de ce fil de messages est dans la plus pure tradition des titres de la rubrique SHTAM. B-)-
  • Chalk
    Chalk
    cc a écrit:
    un sentiment de gêne

    Le seul sentiment de gêne que j'ai personnellement est que cela fait 3 jours qu'on attend un contenu mathématique sur l'inverse modulaire, alors qu'il faut 30 secondes pour poster un pdf sur viXra et s'en assurer la paternité.

    Quand je lis "l'inverse modulaire enfin résolu", cela me paraît être un résultat nouveau intéressant, donc la rubrique Shtam est toute désignée. Merci Maxtimax de reconfirmer qu'il n'y a rien d'insultant, les fils délirants n'ont pas plus leur place sur Shtam qu'ailleurs, ils n'ont leur place nulle part vu qu'on les ferme.
  • L2M
    L2M
    @Fin de partie : Penses-tu que Ramanujan n'a pas souffert pour mettre en oeuvre ses formules ! Le plaisir est garanti, la satisfaction dépend de ce qu'on veut atteindre, et la souffrance dépend de la personne.
  • christophe c
    christophe c
    De mon téléphone @skyffer d'accord avec toi que le titre est pour le moins étonnant. Y a-t-il des questions ouvertes sur "comment trouver vite p tel que np congru à 1 modulo k"? :-S
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonsoir,

    Prenons un exemple.
    Avec ta super formule, Al Kashi, pourrais tu me donner l'inverse de $7119001843$ modulo $8934612551$ ?

    Cordialement,

    Rescassol
  • Chalk
    Chalk
    @Rescassol :
    Al-Kashi a écrit:
    Le résultat que je propose est nouveau, une formule simple pour inverser un nombre modulo un autre, il me semble que c'est du jamais vu.
    Je ne parle pas d'algorithme, je parle d'une formule close.

    Sa formule n'est pas forcément évaluable facilement. Et puis ce qui nous intéresse ce serait de voir cette fameuse formule et sa preuve, le reste c'est du blabla 8-)
  • ev
    ev
    Rescassol

    Wims donne la réponse en quelques secondes. Ce qui n'est pas surprenant.

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • Fin de partie
    Fin de partie
    Et si $x=6869965983654464003997342266864503412563282806328713318965119620758049160612897825165009469852\\22532763258141637693681751300538475822143372348405022082801657131583961346417713658091009379477$

    quel est l'inverse modulaire de 2 modulo x? B-)-
  • Fin de partie
    Fin de partie
    C'est encore trop facile.

    Si $x=1234567890^{10000000000000000000!}+1$ quel est l'inverse modulaire de 2 modulo x?

    (je pense que WIMS ne va pas donner la réponse)
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonsoir,

    Je sais bien qu'il existe d'autres moyens très rapides, je voulais juste voir sa formule en action.
    Bon, je sens qu'on va se contenter de "il peut le faire, on l'applaudit bien fort !".

    Cordialement,

    Rescassol
  • pourexemple
    pourexemple
    Salut,

    @Fin de partie : $$\frac{1}{2} \mod x=\frac{x+1}{2}$$ B-)

    Cordialement.
  • L2M
    L2M
    @Al-Kashi : Ne leur donne pas la formule ils vont te la choper ! :-D
    Soyons sérieux :
    Conseil @Al-Kashi : Ne parle jamais d'une chose ici avant de la publier. En tout cas c'est ce que je ferai avec ma formule :-D.
    C'est gênant pour toi, pour le forum et pour les utilisateurs.
  • Tonm
    Tonm
    L'inverse de $2$ mod $2y+1$ c'est $y+1$. On peut chipoter avec les petits valeurs mais avec deux grands nombres...
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Pourexemple,Tonm:

    Je pressentais que mon exemple n'était pas ce que j'en attendais mais je n'y ai pas réfléchi plus d'une minute. J'aurais dû :-D


    $X=1234567890^{10000000000000000000!}+1$

    Calculer l'inverse de $2^{10000000000000000000!}$ modulo $X$

    Je pense que ce sera un peu plus difficile. B-)
  • pourexemple
    pourexemple
    @Fin de Partie : le problème de ta question c'est qu'elle ne renferme pas qu'une seule difficulté (le calcul de l'inverse).

    En effet, par exemple, $p=2^{89}-1$, sais-tu calculer $2^{80} ! \mod p $ ?
  • Bruno
    Bruno
    Désolé mais je ne comprends pas ton message :
    $$\frac{1}{2} \mod x=\frac{x+1}{2}$$
    Faut il lire :$$\left(\frac{1}{2} \mod x\right)=\frac{x+1}{2}$$ce qui n'a pas de sens puisque $x$ est ???? a priori un entier, et que peut bien valoir :$$\frac{1}{2} \mod 8$$

    Bruno
  • pourexemple
    pourexemple
    Tu as raté que je répondais à Fin de partie et donc je reprennais les notations de son message

    Je ne comprends pas ton incompréhension, Fin de Partie lui a compris...
  • Fin de partie
    Fin de partie
    La notation n'était pas heureuse mais avec les messages précédents on comprend que "$1/2 mod p$" désigne l'inverse de 2 mod p.
  • Bruno
    Bruno
    Reste que cet inverse n'existe peut-être pas, par exemple pour $p$ une puissance de $2$ !

    Bruno
  • pourexemple
    pourexemple
    @Fin de Partie : Non, c'est pas là que notre ami chipote, mais sur le fait que $x$ pourrait être paire.
  • Bruno
    Bruno
    1°) Le terme "notre ami" est très condescendant chez toi,

    2°) Je chipote sur la variable $x$ qui n'a aucune raison a priori d'être entière.

    Bruno
  • pourexemple
    pourexemple
    1/ Cela n'a rien de condescendant, c'est juste pour dire que sur ce point Fin de Partie et moi, nous sommes plus proche, que toi de l'un de nous.

    2/ A ce compte là pourquoi ne pas chipoter sur le fait $x$ n'a aucune raison d'exister, sauf qu'il est bien là !
  • Tonm
    Tonm
    L'inverse de $2^{\alpha}$ mod ($2^{\alpha}.r^{\alpha} +1$) est $2^{\alpha}.r^{2\alpha}$.
  • pourexemple
    pourexemple
    @Tonm : Bravo, mais je dirais plutôt : $x-r^\alpha$.
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Bruno:

    Oui, bien sûr. Mais en qui ce me concerne je suis bien conscient de cet aspect-là autrement j'aurais donné deux très grands nombres $a$ et $b$ et j'aurais demandé benoîtement de calculer l'inverse de $a$ modulo $b$. B-)-

    Tonm:

    Je ne suis pas certain que la formule que tu donnes, je n'ai pas le temps de la vérifier tout de suite maintenant, soit totalement adéquate pour répondre à la question http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1449170,1451448#msg-1451448


    PourExemple:
    Pour ta demande de calcul, il y a le théorème de Wilson. Il faudrait que je vois si cela rend les calculs faisables en fin de compte.
  • pourexemple
    pourexemple
    @Fin de Partie : je t'annonce que si tu serais capable de réussir cette prouesse, alors tu ne ferais qu'une bouchée de RSA...;-)
  • Sylvain
    Sylvain
    Si tu étais...
  • pourexemple
    pourexemple
    Fin de Partie a écrit:
    Pour ta demande de calcul, il y a le théorème de Wilson. Il faudrait que je vois si cela rend les calculs faisables en fin de compte.
  • pourexemple
    pourexemple
    @Sylvain : L'action subordonnée s'écrit au conditionnel lorsque la subordonnante n'est pas achevée (ou ne se réalisera peut-être jamais). (source)
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