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Des questions faciles ?

Envoyé par pourexemple 
Des questions faciles ?
il y a deux années
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Salut,

Je mettrais ici mes questions, dont je ne crois pas avoir une réponse, pour les autres c'est ici : [www.les-mathematiques.net]

Cordialement.
Re: Des questions faciles ?
il y a deux années
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Prouver simplement que si $\alpha$ est algébrique alors $\alpha^2$ est aussi algébrique.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Fin de partie.
Re: Des questions faciles ?
il y a deux années
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Si $P(\alpha)=0$ alors $P(x) |Q(x^2)=P(x)\times P(-x)$, donc $Q(\alpha^2)=0$.
Re: Des questions faciles ?
il y a deux années
Mais enfin Fin de partie, ça ne se fait pas d'empiéter sur le terrain de jeu de pourexemple ! Pourtant c'est seulement le 5ème fil qu'il créé pour faire mumuse à poser des questions à tort et à travers. eye rolling smiley
Re: Des questions faciles ?
il y a deux années
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Salut,

Question de Champollion :
Si $(f_n)$ suite de fonctions croissantes sur $\R$, simplement bornée.
Peut-on extraire une sous-suite convergent simplement vers une fonction croissante ?

Cordialement



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par pourexemple.
Re: Des questions faciles ?
il y a deux années
Pour la question juste au-dessus, la réponse est oui. Une fonction croissante est continue sauf en un nombre dénombrable de points. N'importe quelle fonction croissante sur $\Q$ se prolonge en une fonction croissante sur $\R$. On se restreint à $\Q$ et on considère une sous-suite convergente point par point. On étend la limite (qui est croissante) à $\R$, elle doit avoir un nombre dénombrable de points de discontinuité. Pour chaque point irrationnel qui n'est pas une discontinuité, la suite des fonctions converge bien. Pour les points irrationnels qui sont des discontinuités, on fait encore une diagonalisation et on obtient la convergence partout (ils sont dénombrables).
Re: Des questions faciles ?
il y a deux années
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Non, tu établies ainsi la convergence de la sous-suite sur un ensemble dénombrable (ici dense) mais cela ne suffit pour dire que ta suite converge sur $\R$, prenons par exemple : la fonction de fonction en zigzag tel que f affine par morceau et $f_n(\frac{i}{k})=1,\text{ avec }i\in[0,k] \cap \N, k\in[0,n] \cap \N \text{ et }f_n(\sqrt 2)=(-1)^n$, en utilisant ton raisonnement on en déduirait étant donné quelle converge sur $\Q \cap [0,1]$ sa convergence sur $[0,1]$, or ce n'est pas le cas...
Re: Des questions faciles ?
il y a deux années
Tu as manqué un bout de ce que j'ai dit. On étend la fonction limite de $\Q$ à $\R$ (de manière à avoir une fonction croissante). Cette fonction a un nombre dénombrable de points de discontinuité. Ensuite on va réextraire une suite diagonale de notre suite qui converge sur $\Q$ pour traiter ces points de discontinuité.

Je détaille. Si $x$ n'est pas un point de discontinuité de la limite, alors la suite converge vers $x$ en ce point, c'est bon. Si $x$ est un point de discontinuité, on extrait une suite pour faire converger en ce point. On reproduit ça pour chaque point de discontinuité, on élague, on élague notre suite. Le problème est qu'il se peut qu'à la fin on se retrouve avec rien. On prend donc une suite diagonale et on a convergence partout.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Champ-Pot-Lion.
Re: Des questions faciles ?
il y a deux années
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Citation
Champollion
Si x n'est pas un point de discontinuité de la limite, alors la suite converge vers x en ce point, c'est bon.
Pourquoi ?
On n'a pas forcément une convergence uniforme, ou alors il faudrait expliquer pourquoi.
Re: Des questions faciles ?
il y a deux années
C'est par encadrement de suites. On considère un voisinage $V$ de $f(x)$. Il existe alors un voisinage $U$ de $x$ tel que $f(U) \subseteq V$ . Dans $U$, on prend un rationnel $q$ en dessous de $x$. Alors $\lim_{n\to\infty} f_n(q)$ est dans $V$, donc $f_n(q)$ est dans $V$ pour $n$ assez grand. On fait pareil avec un rationnel $q$ au-dessus de $x$. Alors par croissance $f_n(q) \leq f_n(x) \leq f_n(p)$. On passe à la limite, ça donne que $f_n(x)$ est dans $V$ pour $n$ assez grand.
Re: Des questions faciles ?
il y a deux années
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Ok, et dans le cas convexe ?
Re: Des questions faciles ?
il y a deux années
Là c'est plus abstrait (et plus simple).

Est-ce que tu pourrais me dire où il faut détailler ? Parce que ça ne me dit rien de désabstraire la preuve du théorème de Tychonoff. Ma preuve n'est pas constructive, a priori il ne faut pas espérer pouvoir calculer une suite convergente comme on le ferait sur $[0,1]$.

Soit $C \subseteq [-1,1]^\R$ l'espace des fonctions convexes et soit $r : [-1,1]^\R \to [-1,1]^\Q$ la fonction continue de restriction à $\Q$.

  • $r$ est injective sur $C$ car si $f, g \in C$ sont différentes, c'est qu'il existe $x \in \R$ tel que $f(x) \neq g(x)$. Comme $f$ et $g$ sont continues, il existe un voisinage de $x$ sur lequel elles diffèrent (la propriété $a \neq b$ est ouverte, $\R$ est $T_2$) et donc un rationnel sur lequel elles diffèrent.
  • $C$ est compact en tant que sous-espace fermé d'un espace compact (car produit de compact, ici on utilise Tychonoff).
  • $[-1,1]^\Q$ est $T_2$ en tant que produit d'espaces $T_2$. Si deux fonctions $f,g \in [-1,1]^\Q$ diffèrent en $x$, c'est qu'il existe un voisinage de $f(x)$ et un voisinage de $g(x)$ disjoints, et donc il existe un voisinage de $f$ et un voisinage de $g$ disjoints.
  • Une application injective continue d'un compact vers un $T_2$ est un homéomorphisme avec son image. Cela vient du fait que c'est une application fermée : les fermés dans le compact sont compacts, donc leur image est compacte, donc fermée puisqu'on est dans un $T_2$. De plus, l'image de l'application doit être fermée. On en déduit que $r$ est un isomorphisme entre $C$ et un sous-espace fermé de $[-1,1]^\Q$.
  • $[-1,1]^\Q$ est séquentiellement compact en tant que produit d'espaces séquentiellement compacts. Tout sous-espace fermé d'un espace séquentiellement compact est séquentiellement compact. Donc $C$ est séquentiellement compact.
Re: Des questions faciles ?
il y a deux années
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Non, ma question est comment à partir de la convergence sur $\Q$ tu en déduis la convergence de la sous-suite sur les autres parties de $\R$, comme tu l'expliques ici dans le cas croissant.
Re: Des questions faciles ?
il y a deux années
Je le fais de manière plus abstraite. L'espace des fonctions convexes bornées (pas une certaine fonction fixe) est $C$, et je t'ai prouvé que c'est un sous-espace fermé de $[-1,1]^\Q$ qui est séquentiellement compact. Donc $C$ est séquentiellement compact. Je ne suis pas assez bon pour te rendre ça concret, et ça rendrait peut-être quelque chose d'incompréhensible. Ou alors je fais quelque chose de différent en montrant complètement autrement que si la suite converge sur $\Q$, alors elle va converger sur $\R$. C'est aussi intéressant mais je n'ai pas la motivation pour le faire, et ce n'est pas la démonstration que je te propose.
Re: Des questions faciles ?
il y a deux années
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Citation
Champollion
On fait pareil avec un rationnel $q$ au-dessus de $x$. Alors par croissance $f_n(q) \leq f_n(x) \leq f_n(p)$.
Voilà pour moi le raisonnement qui m'a débloqué, peux-tu identifier un analogue dans le cas de la convexité ?

Merci.
Re: Des questions faciles ?
il y a deux années
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Citation
pourexemple
Si $(f_n)$ suite de fonctions croissantes sur $\R$, simplement bornée.
Peut-on extraire une sous-suite convergent simplement vers une fonction croissante ?

Au risque de me répéter, il s'agit essentiellement du théorème de sélection de Helly.
Re: Des questions faciles ?
il y a deux années
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Tu n'as pas répondu à ma remarque, pour le cas convexe également ?
Re: Des questions faciles ?
il y a deux années
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Je te réponds ici car l'autre fil est en bazar.

Citation
pourexemple
@Siméon : il me semble qu'il faut que les variations soient bornées uniformément bornées, c'est à dire que toutes ces fonctions soient k-lipschitzienne ce qui en ferait un cas particulier d'Ascoli, mais dans le cas du bijou de la convexité ou ici, on n'est pas forcément dans ce cas.

Une fonction $f$ monotone sur un segment $[a,b]$ est de variation totale majorée par $|f(b) - f(a)|$. Une fonction $f$ convexe sur $[a,b]$ est décroissante puis croissante, donc de variation totale majorée par $4\,\max_{[a,b]} |f| \leq 12\,\max\{|f(a)|,|f(b)|,|f(\tfrac{a+b}2)|\}$
(la deuxième inégalité découle de la convexité).

Sur chaque segment $[-n,n]$ avec $n\in \N$, le théorème de Helly permet donc d'extraire une sous-suite qui converge simplement. On conclut par extraction diagonale.
Re: Des questions faciles ?
il y a deux années
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Ok, cette inégalité te permet de rendre la majoration simple en majoration uniforme, sur tout compact, et donc par convexité de majorée le taux d'accroissement, et ainsi de remarquer que ces fonctions sont k-Lipschitz (avec k fixée), et on conclut par Ascoli.

Bravo.
Citation
Siméon
Je te réponds ici car l'autre fil est en bazar.
Le bazar n'est qu'apparent... winking smiley



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par pourexemple.
Re: Des questions faciles ?
il y a deux années
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Non :
  • Ascoli n'intervient pas.
  • Une fonction convexe sur un segment $[a,b]$ n'est pas nécessairement lipschitzienne. Elle est quand même lipschitizienne sur tout segment de $\left]a,b\right[$, mais ceci n'intervient pas non plus dans mon argument.
  • Vas voir la définition de fonction à variations bornées plutôt que de tout mélanger.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Siméon.
Re: Des questions faciles ?
il y a deux années
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L'argument dont je parle marche, me semble-t-il, et c'est bien ton inégalité qui a débloqué cette situation, donc à priori Ascoli suffit.


PS : comment l'obtiens-tu ?
Re: Des questions faciles ?
il y a deux années
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En fait, on n'a même pas besoin de ton inégalité, me semble-t-il.

En effet $$\frac{f(a+c)-f(b+c)}{a-b}\geq \frac{f(x)-f(y)}{x-y}\geq \frac{f(a-c)-f(b-c)}{a-b}$$ avec $b>a$, $x>y \in [a,b]$, $c=|a|+|b|+1$

Bilan Ascoli suffit.



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par pourexemple.
Re: Des questions faciles ?
il y a deux années
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Ce que j'essaye de te faire comprendre, c'est que le théorème de Helly permet de régler à la fois le cas des fonctions convexes et le cas des fonctions croissantes. Dans le cas convexe, on peut passer par Ascoli, mais c'est un autre argument que celui que j'ai donné.

P.S. Dire qu'on n'a pas besoin d'une inégalité, puis ensuite en utiliser une autre, c'est drôle.
Re: Des questions faciles ?
il y a deux années
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Citation
Siméon
Dire qu'on n'a pas besoin d'une inégalité, puis ensuite en utiliser une autre, c'est drôle.

L'inégalité, que tu as proposé, a éveillé des potentialités qui aurait été, pour moi, dur à imaginer sinon, d'où cette autre inégalité, dont je me suis finalement servi...

Les chemins de la découverte sont rarement directs...smiling smiley



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par pourexemple.
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