Des questions faciles ?
dans Shtam
Salut,
Je mettrais ici mes questions, dont je ne crois pas avoir une réponse, pour les autres c'est ici : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1198849,page=19
Cordialement.
Je mettrais ici mes questions, dont je ne crois pas avoir une réponse, pour les autres c'est ici : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1198849,page=19
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Réponses
Question de Champollion :
Si $(f_n)$ suite de fonctions croissantes sur $\R$, simplement bornée.
Peut-on extraire une sous-suite convergent simplement vers une fonction croissante ?
Cordialement
Je détaille. Si $x$ n'est pas un point de discontinuité de la limite, alors la suite converge vers $x$ en ce point, c'est bon. Si $x$ est un point de discontinuité, on extrait une suite pour faire converger en ce point. On reproduit ça pour chaque point de discontinuité, on élague, on élague notre suite. Le problème est qu'il se peut qu'à la fin on se retrouve avec rien. On prend donc une suite diagonale et on a convergence partout.
On n'a pas forcément une convergence uniforme, ou alors il faudrait expliquer pourquoi.
Est-ce que tu pourrais me dire où il faut détailler ? Parce que ça ne me dit rien de désabstraire la preuve du théorème de Tychonoff. Ma preuve n'est pas constructive, a priori il ne faut pas espérer pouvoir calculer une suite convergente comme on le ferait sur $[0,1]$.
Soit $C \subseteq [-1,1]^\R$ l'espace des fonctions convexes et soit $r : [-1,1]^\R \to [-1,1]^\Q$ la fonction continue de restriction à $\Q$.
Merci.
Au risque de me répéter, il s'agit essentiellement du théorème de sélection de Helly.
Une fonction $f$ monotone sur un segment $[a,b]$ est de variation totale majorée par $|f(b) - f(a)|$. Une fonction $f$ convexe sur $[a,b]$ est décroissante puis croissante, donc de variation totale majorée par $4\,\max_{[a,b]} |f| \leq 12\,\max\{|f(a)|,|f(b)|,|f(\tfrac{a+b}2)|\}$
(la deuxième inégalité découle de la convexité).
Sur chaque segment $[-n,n]$ avec $n\in \N$, le théorème de Helly permet donc d'extraire une sous-suite qui converge simplement. On conclut par extraction diagonale.
Bravo. Le bazar n'est qu'apparent... ;-)
PS : comment l'obtiens-tu ?
En effet $$\frac{f(a+c)-f(b+c)}{a-b}\geq \frac{f(x)-f(y)}{x-y}\geq \frac{f(a-c)-f(b-c)}{a-b}$$ avec $b>a$, $x>y \in [a,b]$, $c=|a|+|b|+1$
Bilan Ascoli suffit.
P.S. Dire qu'on n'a pas besoin d'une inégalité, puis ensuite en utiliser une autre, c'est drôle.
L'inégalité, que tu as proposé, a éveillé des potentialités qui aurait été, pour moi, dur à imaginer sinon, d'où cette autre inégalité, dont je me suis finalement servi...
Les chemins de la découverte sont rarement directs...:-)