Intégration en dehors de $\R$
Bonjour,
Je ne savais pas où mettre cette question donc je la mets ici (ce n'est pas à proprement parler un post shtam, si un administrateur voit un endroit plus adapté, par exemple Analyse ou Algèbre, pour le déplacer, qu'il n'hésite pas- c'est un peu un hybride des deux il me semble)
Je me demandais simplement si il y avait déjà eu des recherches sur de l'intégration de fonctions à valeurs dans un corps plus généralement que dans $\R$ ou $\C$, ou même à valeurs dans un groupe, un monoïde etc., en bref de l'intégration de fonctions à valeurs dans des structures plus générales que $\R$ ou $\C$ (qui devront a priori être des structures algébriques, pour avoir une notion de somme, etc., munies d'une structure topologique/de mesure).
Si oui, pourquoi on en entend peu parler ? ça n'a pas abouti, ce n'est pas fécond ?
Sinon, pourquoi pas ? Est-ce évidemment voué à l'échec ?
Je ne savais pas où mettre cette question donc je la mets ici (ce n'est pas à proprement parler un post shtam, si un administrateur voit un endroit plus adapté, par exemple Analyse ou Algèbre, pour le déplacer, qu'il n'hésite pas- c'est un peu un hybride des deux il me semble)
Je me demandais simplement si il y avait déjà eu des recherches sur de l'intégration de fonctions à valeurs dans un corps plus généralement que dans $\R$ ou $\C$, ou même à valeurs dans un groupe, un monoïde etc., en bref de l'intégration de fonctions à valeurs dans des structures plus générales que $\R$ ou $\C$ (qui devront a priori être des structures algébriques, pour avoir une notion de somme, etc., munies d'une structure topologique/de mesure).
Si oui, pourquoi on en entend peu parler ? ça n'a pas abouti, ce n'est pas fécond ?
Sinon, pourquoi pas ? Est-ce évidemment voué à l'échec ?
Réponses
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On en entend beaucoup parler c'est juste qu'il faut avoir les bons mots-clés ^^Tu peux regarder du côté de l'intégrale de Bochner ou de l'intégrale de Pettis.
EDIT: effectivement ce post aurait plus sa place en analyse ! -
À noter que la théorie de l'intégration des fonctions réglées (limites uniforme de fonctions en escalier) se traite à peut près de la même façon si l'espace d'arrivé est $\mathbf R$ ou un autre Banach. C'est évidemment moins général que les intégrales citées par Héhéhé mais ça permet déjà de traiter pas mal de cas sans avoir à recourir à l'artillerie de Bochner.
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Amuse toi bien http://www-gm3.univ-mrs.fr/polys/gm3-02/gm3-02.pdfLe 😄 Farceur
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Mais tout ceci concerne toujours des fonctions à valeurs dans un espace vectoriel sur $\R$ ou $\C$, rien sur des corps plus généraux ou des groupes,.. ?
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Tu as besoin d'une structure d'espace vectoriel pour définir $\int (\alpha f +g)$ non?Le 😄 Farceur
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Est-il nécessaire de le définir ?
Et puis pourquoi pas des espaces vectoriels sur des corps plus exotiques que $\R$ ou $\C$ ? -
SI $G$ est un groupe topologique abélien localement compact, la mesure de Haar sur $G$ est invariante par translation et tu peux donc définir une intégrale dessus. En particulier, tu peux intégrer sur des $\mathbb Q_p$-espaces vectoriels de dimension finie.
Exercice: montrer que $\int_{p\mathbb Z_p}\mu_p=\frac1p$ où $\mu_p$ est la mesure de Haar sur $\mathbb Q_p$.
Sinon, toujours sur $\mathbb Q_p$, tu as l'intégrale de Schnirelmann qui correspond à l'intégrale de Cauchy sur $\mathbb C$. -
Tu as le droit de réfléchir 5 minutes avant de poster et tu verras que la réponse à ta question est évidente.
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Les mesures de Haar vont te permettre d'intégrer une fonction $f: G\to \mathbf C$ pas vraiment ce que tu recherches si j'ai bien compris.
Ensuite je suppose qu'on pourrait généraliser l'intégrale de Bochner à des fonctions à valeur dans des espaces vectoriels sur autre chose que $\mathbf R$ et $\mathbf C$ mais :
-Pas sûr que ce soit utile "en pratique"...
-il faudrait sans doute avoir des corps ayant des propriétés assez similaires à celles de $\mathbf R$ ou $\mathbf C$ (complétude, norme, archimédianité etc...)
Bon sinon pour intégrer des fonctions à valeur dans autre chose qu'un espace vectoriel on va se heurter aux mêmes problèmes :
-Est-ce que ça "sert à quelque chose" ? (mathématiquement parlant)
-Si on ne demande pas des propriétés assez similaires à celles d'un EV il y a peu de chance que l'objet obtenu à la fin puisse vraiment être qualifié d'intégrale. -
@mojojo : c'est ce que je me disais aussi, je ne vois pas trop sinon comment faire :-S je me disais que Joaopa savait du coup !
Il faut de telles propriétés pour assurer la construction usuelle, c'est ça ? Par exemple pour montrer la densité (au sens de la convergence simple) des fonctions en escalier, n'est-ce pas ?
Mais par exemple remplacer corps et espace vectoriel par anneau et module, ne donnerait-ce pas quelque chose ? -
Mon niveau est très bas, je ne connais "bien" que l'intégrale de Riemann et sinon j'ai lu aujourd'hui un PDF sur l'intégrale au sens des mesures (mais je connais déjà les notions de base, c'est-à-dire les tribus et les propriétés de base des mesures + j'ai vu la construction de l'intégrale d'une fonction à valeurs dans $\R$ (pas au sens de Riemann cette fois-ci))
Cette question vient de ma curiosité, et de mon incompréhension de tout le tralala autour de $\R$ (en gros je ne comprends pas pourquoi il y a plein de trucs que les matheux font dans $\R$ dont je suis sûr qu'ils peuvent être généralisés), et du coup dès que je vois un truc en rapport avec $\R$ je me demande s'il peut être généralisé, et quand il ne l'est pas et que je ne comprends pas pourquoi, je pose la question -
Et bien ici la raison est claire, on a besoin de l'ordre sur $\mathbb R$ pour définir l'intégrale d'une fonction mesurable à valeurs dans $\mathbb R$ (on prend une borne supérieure d'intégrales de fonctions étagées). Pour l'approche Riemann, pareil, on encadre notre fonction par des fonctions en escalier !
La mesure de Haar sur un groupe localement compact ne répond pas à ta question puisqu'elle permet d'intégrer des fonctions à valeurs dans $\mathbb C$... -
L’intégrale de Riemann permet d’intégrer une fonction à valeurs dans $\C$ ( juste une définition de plus)Le 😄 Farceur
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Oui et l'intégrale de Lebesgue aussi, mais ce que je veux souligner c'est qu'au fond on se sert surtout de l'ordre sur $\mathbb R$. Dans un Banach quelconque ça n'aurait pas de sens.
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L'intégrale de Schnirelmann est définie sur $\mathbb Q_p$ à valeurs dans $\mathbb Q_p$
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Une mesure de Haar n'est pas nécessairement à valeurs dans $\mathbb R$ ou $\mathbb C$. On peut définir des mesures de Haar à valeurs dans $Q_p$ ou $\mathbb F_q((1/T))$ ou dans leurs extensions.
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Bonsoir,
En réponse au premier poste de ce fil, et en tapant : Intégration $p$ - adique sur google, voici ce que j'obtiens : https://mathoverflow.net/questions/57657/p-adic-integrals-and-cauchys-theorem
Il y'a aussi une intégration non commutative, en géométrie non commutative. Tu cherches ça dans google pour voir si ça te donnerait quelques choses ?! :-)
Cordialement.
edit : Grillé par Joaopa. :-S -
Poirot : on ne se sert pas forcément de l'ordre, on peut aussi utiliser des fonctions en escaliers et (peut-être ?) montrer que la limite des intégrales ne dépend pas de la suite choisie.
Joaopa : pourquoi s'être limité à $\mathbb{Q}_p$ du coup ? (Je regarderai, merci encore !)
Pablo : je regarderai, merci ! -
>pourquoi s'être limité à $\mathbb Q_p$ du coup ?
Tu voudrais que je te donne un contexte beaucoup plus général ? Si je te parle de corps sphériquement complets, ça te dit.
Après, comme Colmez le fait, tu peux définir des Banach $p$-adiques.
Bref, contente toi déjà de $\mathbb Q_p$, c'est largement suffisant.
Après, je ne connais que le strict minimum, mais je crois qu'on peut généraliser aux espaces de Berkovich (ps: je n'ai jamais travaillé dans ces espaces, c'est à prendre avec des pincettes). -
Matimax : si tu n'en n'es qu'à l'intégrale de Riemann je te conseille d'y aller doucement et de bien étudier l'intégrale de Lebesgue. C'est déjà beaucoup plus général que l'intégrale de Riemann.
Comme l'a dit Poirot, la construction de l'intégrale de Riemann (ou de Lebesgue) de fonctions à valeurs dans $\mathbf R$ (ou dans $\mathbf C$) fait appel à l'ordre sur $\mathbf R$ de façon assez forte. Comme je l'ai dit dans mon premier message, dans le cas simple de fonctions réglées on peut définir l'intégrale sans avoir besoin de notion d'ordre sur l'espace d'arrivé (qui peut être un Banach donc). De façon beaucoup plus générale l'intégrale de Bochner permet d'intégrer une large classe de fonction allant de n'importe quel espace mesuré dans n'importe quel Banach... et tu as déjà pas mal à apprendre avant de pouvoir la comprendre celle là.
@Joaopa : Marrant ça, je ne savais pas que ce genre d'intégrale existait. Je me renseignerai. Est-ce que tu sais si le fait que $\mathbf Q_p$ soit non archimédien entraîne des phénomènes "exotiques" ?
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