Écrire tous les nombres avec un seul chiffre

Bonjour à tous,

J'aimerais bien écrire tous les nombres avec un seul chiffre de 0 a 9 en utilisant les opérations mathématiques sur les nombres.
Et que cette méthode d'écriture de tous les nombres par un seule chiffre soit bien définie.

Exemple pour le chiffre 1.
Pour écrire tous les nombres, on peux choisir comme opération le + et comme méthode pour écrire tous les nombres la série A_n+1=1+A_n avec n va de 0 à l'infini
Et A0=0 ainsi la suite A calcule tous les nombres en n'utilisant que le chiffre 1.
A0=0 =1-1 (le A0 est bien défini par opération - qui n'utilise que le chiffre 1)
A1=1
A2=1+1
A3=1+1+1
..
An=1+1...1

Je coince à trouver ça pour les autres chiffres.
Avez-vous une solution ?



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par AD.

Citation


Je coinse a trouvé ca pour les autres chiffres.

J'ai mis du temps à comprendre cette phrase. Tu t'autorise quoi comme opérations? Si tu n'a que +, - et $\times$ alors évidemment tout ce que tu pourras écrire est un multiple de ton chiffre de départ donc...
Si tu t'autorise aussi la division alors on a $1=\frac{a}{a}$ pour tout $a$ non nul et donc...

Merci pour la réponse j'ai eu la même idée.
En posant 1=chiffre/chiffre pour un chiffre différent de 0 donc utiliser la division.

Pour 0 il faut utiliser l'opération factorielle 1=!0.

Y a t'il autre moyen que l'utilisation des opérations factorielle et la division ou cette solution est unique?

Ben chaque fois que tu as une égalité entre deux expressions, si le résultat est non nul, alors en divisant on obtient 1.
Par exemple $\frac{3! \times 4!}{12^2}=1$.

Si tu t'autorises les opérations $x,y \mapsto x+y,x\times y,x^y$ il est possible d'écrire le nombre (mettons) 51324 en base 1 de cette manière ($I$ étant l'unique chiffre)

$$IIIII\times IIIIIIIIII^{IIII}+ IIIIIIIIII^{III}+II\times IIIIIIIIII^{II}+II\times IIIIIIIIII+IIII$$
La question "est-ce bien raisonnable ?" peut se poser.

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