Recherche de démonstrations

Merci pour votre aide,

Je continue à chercher je ne désespère pas. Je vous tiens au courant de mon avancé. Je reviens vers vous si j'ai des questions à vous poser.

Merci pour vos réponses complètes et toujours aussi rapides,

skyffer3 : En effet, la rédaction laisse à désirer une nouvelle fois car je voulais donner une esquisse de mon raisonnement et surtout me faire comprendre car ce genre de problème reste nouveau pour moi. Je comprend grâce à vous pourquoi ma formulation est fausse comme ça, j'essaierai d'en prendre compte dans les prochaines rédactions afin de m'améliorer. J'étais convaincu de ce que j'ai fait mais je n'étais pas sûr que ça voulait dire quelque chose au niveau mathématique. En effet la formulation "il se peut" est très approximative je voulais dire par là que l'on se devait de considérer ce cas pour ne pas trouver de contre-exemple à ma deuxième partie.

christophe c : Merci, de m'avoir donné une phrase qui résout parfaitement le problème. Je me rends compte que je suis loin de la perfection ce qui me donne encore plus l'envie de travailler afin de m'améliorer.

Ps : Selon vous quelle proposition je peux attaquer maintenant ?

Bonsoir à tous,

Merci beaucoup pour les autres propositions que vous m'avez recommandé, je travaillerai dessus le plus rapidement possible cependant les échéances du BAC approchent donc j'aurai sans doute moins de temps à consacrer à mes recherches mais j'essayerai de toujours chercher et revenir vers vous si j'ai des questions ou pour vous proposer ce que j'ai fait.

Je fais des mathématiques avant tout pour m'amuser car j'éprouve un réel plaisir à sécher,chercher, essayer de démontrer des formules ou vos propositions. Tout cela reste un vrai plaisir pour moi grâce à toutes vos propositions.

En tout cas merci à vous tous pour vos contributions respectives qui me sont d'une grande aide. :-) :-)

Bonsoir à tous,
je reviens vers vous pour une question et une correction de l'exercice de Fin de partie sur la limite en plus l'infini de la suite $\displaystyle S_n=\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k+1}$.

Soit $x \in \textbf{R}$. et soit $U_n$ la suite géométrique réelle de premier terme $U_0=1$ et de raison $-x$ ainsi on a $U_n=(-x)^n$. $\forall n \in \textbf{N}$
Soit $T_n$ la suite qui correspond à la somme des $n$ premiers termes de $U_n$. Ainsi $\displaystyle T_n=\sum_{k=0}^{n} (-x)^k$ $\forall n \in \textbf{N}$

1)a $T_2$ est une fonction de $x$ définie sur $\textbf{R}$. Donner une primitive de $T_2$, puis une primitive de $T_n$ pour $n$ un entier naturel quelconque.

Ainsi pour tout $x \in \textbf{R}$ on a $T_2(x)=\displaystyle \sum_{k=0}^{2} (-x)^k=1-x+x^2$ Notons $P_2$ une primitive de $T_2$ ainsi $P_2(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2+x$

Ainsi $T_n(x)=\displaystyle \sum_{k=0}^{n} (-x)^k$ Notons $P_n$ une primitive de $T_n$ ainsi
$P_n(x)=\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\frac{-1}{k+1}(-x)^{k+1}$ $\forall n \in \textbf{N}$

b)Montrer que $\displaystyle \int_{0}^{1} T_n(x) \, \mathrm{d}x=S_n$, n un entier naturel quelconque.

Ainsi pour un $n \in \textbf{N}$ quelconque.

$\displaystyle \int_{0}^{1} T_n(x) \, \mathrm{d}x=\displaystyle \int_{0}^{1} \sum_{k=0}^{n} (-x)^k \, \mathrm{d}x=\left[\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\frac{-1}{k+1}(-x)^{k+1}\right]^1_0=\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\frac{-(-1)^{k+1}}{k+1}=\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k+1} (-1)^{k+2}=\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{k+1}=S_n$

2)
a) Donner une expression de $T_n$ en fonction de $n$ et $x$ seulement

Somme de termes consécutifs d'une suite géométrique ainsi $\forall n \in \textbf{N}$ $T_n(x)=\frac{1-(-x)^{n+1}}{1+x}$

b) En déduire, en utilisant l'expression obtenue dans la question 1)b), que:
$S_n=ln(2)-R_n$ avec $R_n=\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{(-1)^n x^n}{1+x}\, \mathrm{d}x$

Alors d’après la question 1)b) que $\displaystyle \int_{0}^{1} T_n(x) \, \mathrm{d}x=S_n$ ainsi

$S_n= \displaystyle \int_{0}^{1} T_n(x) \, \mathrm{d}x=\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1-(-x)^{n+1}}{1+x} \, \mathrm{d}x=\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{x+1}- \frac{(-x)^{n+1}}{x+1} \, \mathrm{d}x=\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{x+1} \, \mathrm{d}x-\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{(-x)^{n+1}}{x+1} \, \mathrm{d}x$ Par linéarité
$=\left[ln(x+1)\right]^1_0-\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{(-1*x)^{n+1}}{x+1} \, \mathrm{d}x$
$=ln(2)-\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{(-1)^{n+1}x^{n+1}}{x+1} \, \mathrm{d}x$

Donc voila à partir d'ici je n'arrive pas à retrouver le $R_n=\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{(-1)^n x^n}{1+x}\, \mathrm{d}x$ de l'énoncé. Donc je me suis dit que peut être ma formule $T_n(x)=\frac{1-(-x)^{n+1}}{1+x}$ n'était pas bonne et que c'est à la puissance $n$ mais pour moi cette suite compte bien $n+1$ termes.En admettant ce résultat la suite de l'exercice ne me pose pas de problèmes.

Merci YvesM pour votre réponse.

Ohla en effet la somme s’arrête à $n-1$ quelle étourderie l'apprentissage par cœur des textes de latin m'a tant que ça ramollit l'esprit. Désolé j'ai sans doute posté trop tôt j'aurais dû plus chercher je me suis laissé aller par la facilité. Désolé

En tout cas merci beaucoup pour votre réponse rapide !

Bonjour Fin de partie,

Merci pour vos précisions j'ai pris beaucoup de plaisir à faire votre exercice donc merci à vous.

J'ai juste une petite question sur vos précisions quand vous dites que $S_n$ est la somme des $n$ premiers termes d’après la remarques de YvesM la somme ne devrait-elle pas s’arrêter à $n-1$ ?
Pour le second calcul de limite que vous m'avez proposé repose t'il lui aussi sur un raisonnement analogue ?

Merci à vous tous de toujours prendre le temps de me répondre ! :-)

Bonsoir à tous,

Merci Siméon pour votre proposition je reviens vers vous pour vous montrer ce que j'ai fait. Je m'excuse d'avance si j'ai écrit des horreurs mais les ensembles restent nouveau pour moi.

Soit $(U_n)_{n \in \mathbf{N}}$ une suite réelle.

Soit $A$ l'ensemble des $ t\in \mathbf{N}$ tel que $ U_{n+t}=U_n$

Ainsi $0 \in A$ donc $A$ est non vide

De plus $t \in \mathbf{N}$ donc $0 \le t$ donc $A$ est minorée donc $A$ admet un plus petit élément. Notons le $q$ ainsi $U_{n+q}=U_n$

Soit $r$ un entier naturel quelconque tel que $p=rq$ montrons que $U_{n+p}=U_n$

Raisonnons par récurrence si $r=1$ alors $U_{n+q}=U_n$ ce qui est vrai

Hérédité : supposons que pour un certains rang $k\ge0$ on ait : $U_{n+kq}=U_n$

$U_{n+(k+1)q}=U_{n+qk+q}=.... $ EDIT: On pourrait peut être utiliser le fait que $U_{n+q}=U_n$ et après utilisé l’hypothèse de récurrence mais comme se sont des indices d'une suite je ne sais pas ce qu'on peut faire dessus.

à partir d'ici je n'arrive pas à conclure.

Bonjour à tous,

Merci Siméon pour votre proposition et vos remarques.

J'ai essayé de prendre en considération les remarques de Siméon pour corriger ce que j'ai fait

Soit $(U_n)_{n\in \mathbf{N}}$ une suite périodique réelle.

Considérons $A$ l'ensemble des $t\in\mathbf{N^*}$ tel que $\forall n \in \mathbf{N}~~U_{n+t}=U_n$

$(U_n)$ est une suite périodique donc $ \exists p \in \mathbf{N^*}$ tel que $\forall n\in \mathbf{N}~~U_{n+p}=U_n$. Ainsi $p \in A$ donc $A$ non vide.

De plus $t\in \mathbf{N^*}$ donc $0<t$ ainsi $A$ est minoré donc $A$ admet un plus petit élément. Notons $q$ ce plus petit élément ainsi $\forall n \in \mathbf{N}~~U_{n+q}=U_n$

On cherche à montrer que tous les multiples de $q$ sont les périodes de $(U_n)$.

Soit $r$ un entier relatif quelconque. Posons $p=rq$ et vérifions que $p$ est une période de $(U_n)$ $ \forall n \in \mathbf{N}$

Procédons par récurrence.

Rang initial : Pour $r=1$ on a $p=q$ ce qui est vérifié.

Hérédité : Supposons que pour un certains rang $k \in \mathbf{Z}$ on ait $U_{n+kq}=U_n$

$U_{n+(k+1)q}=U_{n+kq+q} $

$=U_{n+kq} $ car $U_{n+q}=U_n$

$=U_n$ par hypothèse de récurrence

Je ne suis pas sûr du tout je ne sais pas ce qu'il est autorisé de faire avec les indices d'une suite.

Bonsoir à tous,

Merci à tous et merci de prendre le temps de me répondre c'est vraiment très sympathique de votre part.

christophe c : Bonjour à vous merci encore pour votre réponse. J'ai l'impression de l'avoir annoncé en parlant de $t$ quand j'ai défini l'ensemble donc je devrais d'abord dire. Soit $t$ un entier naturel non nul période de $(U_n)$ si j'ai bien compris votre message ? J'attaquerai vos propositions dès que possible et encore merci pour celles-ci.

Poirot : Merci beaucoup grâce à vous je comprend mieux la justification de l'hérédité. En effet, comme vous me le faite remarquer je n'ai pas démontré que toute période de $(U_n)$ est multiple de $q$. Je vais donc essayer de le faire de suite.


Début de la "(démonstration)" message précédent.

Montrons désormais que toute période de $(U_n)$ est un multiples de $q$.

Raisonnons par l'absurde.

Supposons qu'il existe un $m\in \mathbb{N^*}$ $m$ non multiples de $q$ tel que $\forall n \in \mathbb{N}$ $U_{n+m}=U_n$

Considérons la division euclidienne de $m$ par $q$ ainsi d'après le théorème de la division euclidienne $\exists (b,r) \in \mathbb{N^2}$ tel que $m=bq+r$ avec $0\le r <q$
Or $m$ non multiple de $q$ par hypothèse ainsi $0<r<q$

Ainsi $U_{n+m}=U_{n+bq+r}$

et $bq$ multiple de $q$ car $b\in \mathbb{N}$

Posons $x=n+r$

on a donc $U_{x+bq}$ avec $x \in \mathbb{N}$ or $\forall n \in \mathbb{N} $ $U_{n+bq}=U_n$ d’après la récurrence précédente

Ainsi $U_{n+m}= U_{n+bq+r}=U_{n+r}=U_n$ donc $r$ est une période de $(U_n)$

Or $0<r<q$ et on sait que $q$ est la plus petite période de $(U_n)$. Ainsi $r=0$ est donc $m$ est un multiple de $q$ ce qui est absurde par hypothese. Ainsi toute période de $(U_n)$ est un multiples de $q$.

Fin de partie : Merci beaucoup, pour cette démonstration qui m'éclaire sur ce résultat qui me semblait au premier abord parachuté. Je l'ai prit en prérequis pour réaliser votre seconde proposition de limite que je posterai demain car il commence à faire tard.

En tout cas encore merci pour vos propositions qui occupent mes temps libres et je prend énormément de plaisir à les chercher

Bonjour à vous tous, je post ici ma résolution de la seconde limite de Fin de partie.

C'est a dire la limite quand $n$ tend vers plus l'infini de $S_n=\displaystyle \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{2k+1}$

Pré requis : $ \displaystyle \int_{0}^{1} \frac {1}{1+x^2} \, \mathrm{d}x= \frac{\pi}{4}$

Soit $x$ un réel.

Considérons la suite géométrique $(U_n)$ de raison $-x^2$ et de premier terme $U_0=1$ ainsi $\forall n \in \mathbb{N}$ $U_n=(-x^2)^n$

Considérons désormais la suite $(T_n)$ qui est la somme des $n$ premiers termes de la suite $(U_n)$ ainsi $\forall n \in \mathbb{N}$ $T_n(x)=\displaystyle \sum_{k=0}^n (-x^2)^k=\frac {1-(-x^2)^n}{1+x^2}$ car suite géométrique.

Calculons maintenant :

$\displaystyle \int_{0}^{1} T_n(x) \, \mathrm{d}x=\displaystyle \int_{0}^{1} \displaystyle \sum_{k=0}^n (-x^2)^k \, \mathrm{d}x=\displaystyle \int_{0}^{1} \displaystyle \sum_{k=0}^n (-1)^k (x^2)^k \, \mathrm{d}x=\displaystyle \int_{0}^{1} \displaystyle \sum_{k=0}^n (-1)^k x^{2k} \, \mathrm{d}x= \left[\displaystyle \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{2k+1} x^{2k+1} \right]_0^1 = \displaystyle \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{2k+1}=S_n$

Ainsi $\displaystyle \int_{0}^{1} T_n(x) \, \mathrm{d}x=S_n$ donc

$S_n=\displaystyle \int_{0}^{1} \frac {1-(-x^2)^n}{1+x^2} \, \mathrm{d}x= \displaystyle \int_{0}^{1} \frac {1}{1+x^2} \, \mathrm{d}x - \displaystyle \int_{0}^{1} \frac{(-1)^n x^{2n}}{1+x^2} \, \mathrm{d}x=\frac{ \pi}{4}-\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{(-1)^n x^{2n}}{1+x^2} \, \mathrm{d}x$

Déterminons la limite de $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{(-1)^n x^{2n}}{1+x^2} \, \mathrm{d}x$

$0\le x \le 1 $

$1\le 1+x^2 \le 2$

$\frac{1}{2}\le \frac {1}{1+x^2} \le 1$


Si $n$ pair $(-1)^n >0$ donc $(-1)^n x^{2n} \ge 0$

Ainsi $\frac{(-1)^n x^{2n}}{2}\le \frac {(-1)^n x^{2n}}{1+x^2} \le (-1)^n x^{2n}$

Si $n$ impair $(-1)^n <0$ donc $(-1)^n x^{2n} \le 0$

Ainsi $ (-1)^n x^{2n} \le \frac {(-1)^n x^{2n}}{1+x^2} \le \frac{(-1)^n x^{2n}}{2}$


Par passage a l'intégral et propriété de l'ordre on a :

Si n pair : $ \displaystyle \int_{0}^{1} \frac{(-1)^n x^{2n}}{2} \, \mathrm{d}x \le \displaystyle \int_{0}^{1} \frac {(-1)^n x^{2n}}{1+x^2} \, \mathrm{d}x \le \displaystyle \int_{0}^{1} (-1)^n x^{2n} \, \mathrm{d}x$

$\frac{(-1)^n}{2(2n+1)} \le \displaystyle \int_{0}^{1} \frac {(-1)^n x^{2n}}{1+x^2} \, \mathrm{d}x \le \frac{(-1)^n}{2n+1}$

Si n impair : $\frac{(-1)^n}{2n+1} \le \displaystyle \int_{0}^{1} \frac {(-1)^n x^{2n}}{1+x^2} \, \mathrm{d}x \le \frac{(-1)^n}{2(2n+1)}$

Calcul de limite :

$-1\le (-1)^n \le 1 $

$\frac{-1}{2n+1} \le \frac{(-1)^n}{2n+1} \le \frac{1}{2n+1}$

Or $\lim\limits_{n \to + \infty} \frac{-1}{2n+1}=\lim\limits_{n \to + \infty} \frac{1}{2n+1} =0 $

donc d’après le théorème des gendarmes $\lim\limits_{n \to + \infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}=0$

On démontrerait de même $\lim\limits_{n \to + \infty} \frac{(-1)^n}{2(2n+1)}=0$

Ainsi d’après le théorème des gendarmes $\lim\limits_{n \to + \infty} \displaystyle \int_{0}^{1} \frac {(-1)^n x^{2n}}{1+x^2} \, \mathrm{d}x=0$


Ainsi $\lim\limits_{n \to + \infty} S_n= \frac{\pi}{4} - \lim\limits_{n \to + \infty} \displaystyle \int_{0}^{1} \frac {(-1)^n x^{2n}}{1+x^2} \, \mathrm{d}x$ par opération sur les limites

Or $\lim\limits_{n \to + \infty} \displaystyle \int_{0}^{1} \frac {(-1)^n x^{2n}}{1+x^2} \, \mathrm{d}x=0$

Donc $\lim\limits_{n \to + \infty} S_n= \frac{\pi}{4}$

Merci pour votre remarque je ferai attention dorénavant.

Bon du coup je retente ma chance.

Raisonnons par l'absurde et supposons qu'il existe une fonction $f$ dérivable sur $\textbf{R}$, à valeurs dans $\textbf{R}$, strictement croissante sur $\textbf{R}$ et telle que $\forall x \in \textbf{R}~~f(x+0.9)=f'(x)$

Soit $k$ un réel quelconque.
Posons $g$ une fonction définie sur $\textbf{R}$ tel que

$\forall x \in \textbf{R}~~g(x)=f(0.9)-f(0)=k$

$g$ est dérivable sur $\textbf{R}$ en tant que différence de fonction dérivable ainsi on a

$\forall x \in \textbf{R}~~g'(x)=f'(0.9)-f'(0)=0$ or par hypothese on a $\forall x \in \textbf{R}~~f(x+0.9)=f'(x)$ donc $f'(0.9)=f(1.8)$ et $f'(0)=f(0.9)$

Ainsi on a $f(1.8)-f(0.9)=0$ donc $f(1.8)=f(0.9)$

Or $0.9<1.8$ donc $f(0.9)<f(1.8)$ car $f$ est strictement croissante

Ce qui est absurde ainsi il n'existe pas de fonction $f$ dérivable sur $\textbf{R}$, à valeurs dans $\textbf{R}$, strictement croissante sur $\textbf{R}$ et telle que $\forall x \in \textbf{R}~~f(x+0.9)=f'(x)$

Bonjour à tous,

Je suis toujours à la recherche de la proposition 12 de christophe c cependant je me demande si la réponse à ce problème est simple (je me doute pour vous que la solution est simple) j'entend par là si la résolution demande de très bonnes idées car j'ai fait énormément d'essais avec différentes approches mais qui reste aujourd'hui sans succès. Je vais essayer d'esquisser quelques idées que j'ai eu :

Tout d'abord j'ai cherché à jouer sur la croissance de $f$ pour cela j'ai essayé d'utiliser les inégalités qui découlent de l'énoncé sans succès ensuite j'ai essayé d'étudier la convexité de cette fonction afin d'utiliser les inégalités qu’implique la convexité ainsi que les taux de variation mais toujours sans aucun résultat me permettant de montrer que cette fonction n'existe pas. J'ai aussi remarqué que $f^n(x)=f(x+0.9n)$ mais aucune idée de quoi en faire j'ai aussi essayé avec les limites des fonctions avec le taux d’accroissement mais toujours aucun résultat intéressant.

Je pense que je passe à coté de quelque chose mais je suis à court d'idées donc j'aimerai savoir si mes essais devraient être creusé ou je suis totalement à coté de la plaque ?