Réflexion sur la conjecture de Goldbach

de VILLEMAGNE · June 2017

Bonjour,

Soit P un nombre pair supérieur ou égal 4.
Soient le segment [ 0 , P/2 ]
et le segment [ P/2 , P ].
Soit a un entier appartenant à [ 0 , P/2 ].

P/2 - a = p , p entier appartient à [ 0 , P/2 ]
P/2 + a = q , q entier appartient à [ P/2 , P ]

p + q = P/2 - a + P/2 + a = P/2 + P/2 = P
p + q = P ou
P = p + q

On choisira "a" de sorte que ( P/2 - a ) soit un nombre premier.

Ainsi, toutes les combinaisons ( p + q ) donneront "q" premier ou composé.

Soit Q la quantité de nombres premiers sur un segment particulier.

Selon la répartition des nombres premiers, Q ( 0 , P/2 ) > Q ( P/2 , P ).

Il s'en suit que les couples ( p , q ) , ( premier , premier ou composé )

ne peuvent être soit ( premier , premier ) en totalité
............................ou ( premier , composé ) en totalité
sans aller à l'encontre de la répartition des nombres premiers sur ( 0 , P ).

Il est donc nécessaire qu'il existe une répartition mixte de ( premier , premier ) et de ( premier , composé ).

C'est-à-dire que tout nombre pair P ( supérieur ou égal à 4 ) est la somme d'au moins deux nombres premiers.

Ce qui semble être la confirmation de la conjecture de Goldbach ?

Le double crible d'Eratosthène inversé fournit un cadre à ce qui vient d'être exposé.

..............................p..P/2.q.........................P....)..avec a = 1 ( p , q ) = ( 5 , 7 )
...0 ..1 ...2 ...3 ..4 ..5 ..6 ..7 ..8 ..9 .10 .11 .12...)
.12 .11 .10 ..9 ..8 ..7 ..6 ..5 ..4 ..3 ...2 ...1 ...0...)
...P........................q..P/2.p...............................)

Cordialement,

GaBuZoMeu · June 2017

Il s'en suit que

Même si tu ajoutais "clairement", je demanderais à voir. Admettons $Q ( 0 , P/2 ) > Q ( P/2 , P )$. Comment en déduis-tu qu'il y a forcément au moins un couple $(P/2-a,P/2+a)$ qui soit (premier, premier) ?

Fin de partie · June 2017

Ce qui est sûr est que pour pouvoir décomposer en somme de deux nombres premiers le nombre 2N avec N>1 et N non premier il faut qu'on puisse trouver deux nombres premiers, l'un dans l'intervalle $[2;N[$ et l'autre dans l'intervalle $[N+1;2N[$.
Mais réciproquement ce n'est pas parce qu'il existe deux tels nombres premiers que leur somme va faire 2N.
En principe, l'existence de deux nombres premiers qui sont dans ces deux intervalles est garantie par le postulat de Bertrand mais ce postulat ne garantit pas non plus que leur somme sera 2N.
Pour le dire autrement, si la conjecture de Goldbach est fausse cela ne viole en aucun le postulat de Bertrand.

de VILLEMAGNE · June 2017

Bonjour,

@GaBuZoMeu : Q ( 0 , P/2 ) > Q ( P/2 , P ) est la réalité. J'ai posé, d'une part que l'on choisissait "a" pour avoir la "famille" des nombres premiers
...........................p sur ( 0 , P/2 ),et, d'autre part, que ( p , q ) , ( premier, premier ou composé ) ne peuvent être
...........................soit ( premier , premier ) en totalité
..............................ou ( premier , composé ) en totalité sans aller à l'encontre de la répartition des nombres premiers sur ( 0 , P ).

@ Fin de partie : Tu te fies à l'exemple 0....1......6.......11.12
..............................................................12.11......6........1...0
que j'ai donné.

N'importe quel double crible d'Eratosthène inversé ferait l'affaire à ma présentation :

00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 09 08 07 06 05 04 03 02 01 00

P = 22
P/2 = 11 , toi tu dis que pour obtenir 2N ( ou P pour moi ), il faut N > 1 et N non premier ( P/2 non premier )

Vois : P/2 = 11 est premier.

A moins que réfutes le double crible inversé d'Eratosthène qui pourtant fournit tous les couples ( p , q ) de nombres premiers tels que P = p + q

( 3 , 19 ) , ( 5 , 17 ) et ( 11 , 11 )

Il faut lire mon texte comme 'un commentaire de n'importe quel double crible inversé d'Eratosthène.

Cordialement,

Poirot · June 2017

Comme d'habitude, aucune démonstration, que des affirmations basées sur des croyances. Si les mathématiques n'étaient qu'une affaire de croyance, la plupart des grands problèmes ouverts de notre époque seraient déjà résolus !

GaBuZoMeu · June 2017

@de VILLEMAGNE ; tu ne réponds absolument pas à ma question.
Je la repose : admettons $Q(0,P/2)>Q(P/2,P)$. Pourquoi est-ce que ça entraîne que l'on ne peut pas avoir $P/2+a$ composé pour tout $a$ entier tel que $0\leq a < P/2$ et $P/2-a$ premier ?

de VILLEMAGNE · June 2017

Bonjour,

@Poirot

Le titre de mon article est "Réflexion..." Pour amener à des positionnements peut-être plus construits.
Il serait sympathique de réfuter ligne à ligne ce que j'écris, avant de balayer d'un revers de main
une réflexion qui n'est pas censée comporter que des incertitudes.

Cordialement,

Félix · June 2017

GaBuZoMeu a cette sympathie pour toi, et pourtant son apport constructif et précis reste sans réponse.
Mais peut-être es-tu en train de la rédiger et suis-je trop impatient.

Fin de partie · June 2017

De Villemagne:

Pardon de t'informer que tu me réponds en m'exhibant un exemple mais que tu ne réponds pas à mon interrogation.

Soit N un entier naturel strictement plus grand que 1 et qui ne soit pas premier.

On peut trouver au moins un nombre premier dans l'intervalle $[1,N]$ et le postulat de Bertrand garantit qu'on peut en trouver au moins un, p, dans l'intervalle $[N,2N]$. Qu'est-ce qui nous garantit que si on additionne ce p avec un nombre premier inférieur à N on va obtenir le nombre 2N?

Je ne te demande pas de prendre pour N ton nombre préféré et d'exhiber une paire de nombres premiers qui convient. Je m'excuse mais ce n'est pas la question posée.

PS:
Pour dire les choses je ne pense pas avoir compris totalement ce que tu as écrit plus haut mais je pressens que cela a un rapport avec mon interrogation.
Tu constates, à tort ou à raison, qu'il y a certain nombre de nombres premiers entre 1 et N d'une part et entre N et 2N d'autre part mais le problème essentiel est que tu ne prouves pas à mon humble avis qu'on peut prendre l'un des nombres premiers de l'intervalle $[1,N]$ et l'un des nombres premiers de l'intervalle $[N,2N]$ de telle manière que leur somme fasse 2N.
Je ne comprends pas ce que cela apporte ce tableau de nombres que tu colles systématiquement dans tous tes messages sur le sujet.

gerard0 · June 2017

De Villemagne a écrit:

Le titre de mon article est "Réflexion..."

Tu es peut-être le millionnième à avoir ces réflexions qui n'ont jamais amené une avancée sur la question. Pourquoi te ridiculiser à les écrire ici, alors qu'un minimum de modestie aurait dû te faire penser que plein d'autres y ont pensé avant toi ? Des "réflexions" de ce genre, on en trouve dans tous les forums de maths, un simple tour sur ton moteur de recherche favori t'aurait montré que tu parles dans le vide ...

Fin de partie · June 2017

Je pense qu'on aimerait que De Villemagne se rende compte de la complexité de la question et, à priori, je lui fais crédit d'être capable, si besoin est avec quelques explications/questions, de finir par se rendre compte de lui-même de cette complexité.

PS:
En mathématiques et ailleurs, il y a ce qu'on voudrait et il y a ce qui est. Les faits sont extrêmement têtus. :-D

de VILLEMAGNE · June 2017

Bonsoir,

Je laisse passer un temps avant de répondre,
mais je répondrai en priorité à GaBuZoMeu.

Cordialement,

de VILLEMAGNE · July 2017

Bonjour,

Je reprends le fil, mais insiste sur le fait que Q ( 0 , P/2 ) > ( P/2 , P ) avant de répondre à GaBuZoMeu.

Nous noterons Q ( 0 , P/2 )....Qa
....................et Q ( P/2 , P )....Qb

En attendant, faisons des comptages de nombres premiers :

Q ( 0 , 25 ) = 9
Q ( 25 , 50 ) = 6...=> 9 > 6 et Qa - Qb = 9 - 6 =3

Q ( 0 , 50 ) = 15
Q ( 50 , 100 ) = 10...=> 15 > 10 et Qa - Qb = 15 - 10 = 5

Q ( 0 , 100 ) = 25
Q ( 100 , 200 ) = 21...=> 25 > 21 et Qa - Qb = 25 -21 = 4

Q ( 0 , 200 ) = 46
Q ( 200 , 400 ) = 32...=> 46 > 32 et Qa - Qb = 46 - 32 = 14

Q ( 0 , 5000 ) = 669
Q ( 5000 , 10000 ) = 560...=> 669 > 560 et Qa - Qb = 109

Q ( 0 , 10000 ) = 1229
Q ( 10000 , 20000 ) = 1033...=> 1229 > 1033 et Qa - Qb = 196

Q ( 0 , 100000 ) = 9592
Q ( 100000 , 200000 ) = 8393...=> 9592 > 8393 et Qa - Qb = 1199

Nous observons que le "delta" Qa - Qb augmente en valeur : démarrage très doux pour Q ( 0 , 25 ) et Q ( 25 , 50 ) pour s'accélérer vers
Q ( 0 , 100000 ) et Q ( 100000 , 200000 ).

Ce qui est normal puisque vers les grandes valeurs et l'infini la raréfaction des nombres premiers est de plus en plus forte.

Q ( 0 , P/2 ) > Q ( P/2 , P ) n'est donc pas une croyance.

J'attends vos commentaires avant de continuer plus avant.

Cordialement,

Poirot · July 2017

Des vérifications numériques ne constituent pas une preuve. Tes calculs ont déjà été fait des milliers de fois jusqu'à des nombres bien plus grands, on n'est toujours pas plus avancé sur la nature de la conjecture de Goldbach.

de VILLEMAGNE · July 2017

@Poirot

J'ai écrit que c'était une observation sur laquelle je demandais un avis : vous me donnez le vôtre, qui va dans mon sens. Cela ne fournit en rien
à ce stade une quelconque information sur la nature de la conjecture.

Ma réponse à la question de GaBuZoMeu sera sans doute plus parlante au vu de ma "Réflexion" prise dans son ensemble.

Mais n'avançons pas trop vite. Du moins, je dois réussir à suivre toutes les réactions des intervenants sur le Forum.

Cordialement,

Félix · July 2017

Observer n'est pas prouver.
1; 1
2; 4
3; 9
4; 16
5; 25
J'observe que les carrés des entiers naturels strictement supérieurs à 1 sont supérieurs au nombre de départ. Mais je ne le prouve pas. Pour des questions moins évidentes, je n'ai strictement rien fait.

1; 1 000 000
2; 250 000
3; 111 111
4; 62 500
5; 40 000
J'observe que 1 000 000 divisé par le carré d'un entier naturel est supérieur à l'entier de départ. Je ne le prouve pas. D'ailleurs, il serait faux d'affirmer que cela est vérifié pour tout entier.

Ces exemples sont des caricatures, on se fait de suite une opinion sur la véracité de l'affirmation et leurs preuves sont faciles à trouver et à rédiger. Mais ta démarche est exactement la même, donner des exemples sans essayer de bâtir une preuve.
On connaît des affirmations qui semblent plausibles et qui sont fausses, mais seulement pour des nombres très élevés, que seule l'informatique a permis de débusquer.
Par exemple la conjecture de Polya, le premier entier la réfutant est supérieur à 906 000 000.
Et encore est-ce très petit par rapport à d'autres conjectures où il faut aller beaucoup plus loin.

GaBuZoMeu · July 2017

Tu n'as toujours pas répondu à ma question, tes observations sont à côté de la plaque. Cette question est, je le répète :
Admettons que $Q(0,P/2)>Q(P/2,P)$. Comment en déduis-tu que l'on ne peut pas avoir $P/2+a$ composé pour tout $a$ entier tel que $0\leq a<P/2$ et $P/2-a$ premier ?

de VILLEMAGNE · July 2017

Bonsoir,

@Félix

Bien sûr une observation n'est pas une preuve ; mais elle peut rentrer dans le champ d'une preuve.
Tout ce que j'écris le long de ma réflexion peut amener à une preuve ; encore faut-il peser chaque terme
dans l'ensemble de ce qui est proposé.

@GaBuZoMeu

Si l'on admet que Q ( 0 , P/2 ) > Q ( P/2 , P ) on admet aussi que les nombres premiers sont positionnés d'une unique façon en allant en se raréfiant sur la séquence ( 0 , P ).
Celle-ci, présentée au début de ma réflexion comme P = p + q = P/2 -a + P/2 + a fournit les couples ( p , q ) de Goldbach.
Le double crible inversé d'Eratosthène donne tous les ( p , q ) pour P.
Qu'en serait-il du crible si pour tout "a" premier sur ( 0 , P/2 ) on avait ( P/2 + a ) composé ( ou premier ) ?

Le crible ne serait plus reconnaissable, et la répartition des nombres premiers unique.

C'est tout ce que ma réflexion sur la conjecture de Goldbach veut vous faire partager.

Cordialement,

[Fermons ce fil dénué de preuves et de raisonnements logiques. --JLT]

Réflexion sur la conjecture de Goldbach

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