Structure sur les triangles

Bonjour,

en cherchant comment travailler sur les triangles, en faire une sorte d'arithmétique je suis arrivé à la construction suivante :


L'idée est de ramener les opérations sur des triangles quelconques à des opérations sur leurs triangles équilatéraux équivalents :

Un triangle quelconque est caractérisé pour un sommet A par le produit des deux cotés adjacents à $A$ $d$ et par le $\sin \alpha$ avec $\alpha$ l'angle du sommet $A$.
Donc $T = (d,\ \sin \alpha)$

Soit un triangle $T = (d,\ \sin \alpha)$, on appelle son équivalent le triangle équilatéral $T'$ qui a la même aire (aire = $\frac{d\ \sin\alpha}{2}$). Son coté vaut alors $d\ \frac{2}{\sqrt 3}\ \sin\alpha$ et donc $T' = (d\ \frac{2}{\sqrt 3}\ \sin\alpha,\ \frac{\sqrt 3}{2})$

Sur des triangles équilatéraux, on pose :
$T = T_1 + T_2 = (d_1 + d_2,\ \sin \alpha) = (d_1 + d_2,\ \frac{\sqrt 3}{2})$

$T = T_1\ .\ T_2 = (\frac{d_1\ d_2}{2},\ \frac{3}{4})$

Avec ces formules l'aire de l'addition des triangles est l'addition des deux aires et l'aire de la multiplication est la multiplication des aires des deux triangles.

Maintenant, on pose que tout triangle est égal à son triangle équilatéral équivalent, ce qui permet de faire ces opérations ci-dessus aussi sur des triangles quelconques. On a ainsi les deux opérations internes addition et multiplication avec une interprétation géométrique, et la distributivité, la commutativité.
L'élément neutre pour l'addition est $e = (0, \frac{\sqrt 3}{2})$.
L'élément neutre pour la multiplication est $E = (\frac{4}{\sqrt 3}, \frac{\sqrt 3}{2})$.

Pour les questions :
Cette construction définit-elle une structure de corps ?
Si oui, peut-on à partir de cette structure poser des "problèmes" dont la solution est immédiate à partir de résultats généraux sur les corps ?