Sommation des nombres premiers.

A ce que tu veux, vu que si $A$ est faux, alors $A \implies B$ est vrai pour toute proposition B.

On peut toujours donner le sens qu'on veut à tout et n'importe quoi, c'est juste une question de définition. Quand on écrit une série sans préciser le mode de convergence ou la topologie, par défaut c'est quand même la convergence au sens de la topologie usuelle de $\mathbb{\overline{R}}$.

C'est à l'auteur de la question de poser une question claire dans le bon contexte, pas au lecteur d'interpréter les 36 façons de voir la question.

Toujours aucun sens, mais continue, ça fait des jolis dessins.
Au pire on pourrait dire que ça a un sens car l'indice de la somme n'intervient pas (donc aucun intérêt d'écrire une somme), mais dans ce cas l'égalité est évidemment fausse, puisque le membre de gauche vraudrait $n(2n-1)$.

Ah on y est, tu vois c'est mieux de le dire en Français plutôt que d'essayer d'embrouiller ça avec des symboles que tu ne maîtrises pas.

On peut écrire par exemple $\sum_{i=0}^n (2i+1) = (n+1)^2$.

Edit :

guitard a écrit:

$\sum_{n=1}^{n}2n-1=n^2$

Toujours le même problème ! Arrête d'utiliser un symbole dont tu ne comprends absolument pas la signification. Quand bien même tu tomberais juste ce serait un pur hasard. Il vaut mieux apprendre ou demander plutôt que de mettre des signes au hasard.

Bah oui, si tu veux te faire comprendre des autres mathématiciens, il faut utiliser leur langage commun des mathématiques. C'est évident. Parce que si j'utilise mon propre langage tout seul sans le définir (tout comme tu n'as pas définis tes sommes), alors zjzrfrf refreff rgz dzaad defezez ezfrg zfrej ezfkjfzf jzfenjf faf, ezfafafezfnafn ezfff ezfjezf f dd ed grgarga rf graeilfdvfd.

Honnêtement Héhéhé, je ne vois pas l'intérêt de ta réponse pour guitard, qui néanmoins est intéressante. Tu parles de prolonger $\zeta$ alors que l'auteur du fil n'arrive pas à écrire correctement une somme finie.

Par ailleurs, comme je le disais, on peut toujours donner le sens qu'on veut à une expression mathématique quitte à la redéfinir, c'est pourquoi le contexte de la question est important. Car dans un contexte standard, on pourrait aussi objecter que $\sum_n 1/n$ ne converge pas.

Tant qu'on ne définit pas le contexte dans lequel on veut se placer, on peut tout raconter et personne n'aura tort.

Quand on poste sur un forum, la réponse est lue par plein de monde, pas seulement l'auteur du fil. J'ai été surpris du fait qu'on ne puisse pas prolonger $\zeta_p$, je me suis dit que ca pouvait intéresser des gens qui passeraient par là.

Tout ce que j'affirme, c'est que la méthode de régularisation ne permet pas de donner une valeur à $\zeta_p(-1)$. Après que d'autres méthodes de sommation donnent un résultat, ça je n'en sais rien.

Sinon, toujours dans l'esprit "choses qui peuvent intéresser les gens qui lisent ce fil autres que son auteur", une méthode naturelle de "régularisation" est une méthode "axiomatique", c'est-à-dire qu'on décrète qu'une sommation doit avoir certaines propriétés, et on voit quelles sommations existent.

L'exemple que j'ai en tête est le suivant: notant $C$ l'espace vectoriel des suites à série convergente, $\Sigma: C\to \mathbb{R}$ est une forme linéaire, qui vérifie la propriété sympathique (qui semble caractéristique des sommes) suivante : si $a\in C$, alors la suite $(0,a_0,a_1,...) \in C$, et leurs images par $\Sigma$ sont les mêmes.

On peut alors s'intéresser aux sous-espaces de $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ contenant $C$ et stables par l'opération "décalage et rajout de zéro" (shift) sur lesquels on peut prolonger $\Sigma$ tout en gardant la propriété d'invariance par shift, ce qui donnerait une notion intéressante de somme.

Il est trivial de vérifier qu'aucun tel espace ne contient $(n)_n$, la suite identité (et donc dans ce contexte, $\Sigma n = -\frac{1}{12}$ n'a pas de sens).
Cependant, ce qui est intéressant est la chose suivante: si on veut éliminer une certaine part d'arbitraire, on peut imposer à nos sous-espaces $H$ de n'avoir sur eux qu'une seule telle forme linéaire: c'est évidemment le cas de $C$, puisqu'on demande que cela prolonge $\Sigma$.

Pour mettre les choses au clair: on dit que $H$ (sev de $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$) est admissible s'il est stable par shift. Une forme linéaire sur un sev admissible invariante par shift est appelée une supersommation. Une supersommation sur $H$ est dite propre si c'est la seule supersommation sur $H$.

Une fois ces définitions données, on a le théorème suivant (si je ne me suis pas trompé), qui est assez intéressant : Il existe un unique sous-espace admissible maximal sur lequel il existe une supersommation propre, et il contient tout sous-espace admissible sur lequel il y a une supersommation propre.

En d'autres termes ce théorème dit: "Si on s'est mis d'accord sur ma définition de sommation, alors cette notion est absolue, et il y a des suites qui sont 'sommables' dans l'absolu, et d'autres non. La somme de ces suites ne dépend pas des espaces choisis et est elle-même 'absolue'".

Comme je l'ai fait remarquer, ici $(n)$ n'est pas 'sommable', mais a priori rien n'interdit que $(p_n)$ le soit, ce serait une question intéressante

$\zeta(s) \neq 0$ non ?

Avec la formule du produit d'Euler on peut faire des calculs fantaisistes qui permettent d'exprimer le logarithme de $\zeta(-1)$ en fonction de somme pondérées des puissances de tous les nombres premiers.

On a bien, par contre, si je ne m'abuse,

$\displaystyle \log(\zeta(2))=2\sum_{\text{n pair}>0} \frac{1}{n}\left(\sum_{\text{p premier}} p^{-n}\right)$