Nombre triangulaire.

$\frac{n(n+1)+n+1}{2}+\int_{n}^{n+1}\frac{n(n+1)}{2} dt=1/12$
En fait l'aire 1/12 se retrouve tout le long le la courbe $\frac{n(n+1)}{2}$
Si vous tracez une droite entre un point A qui se trouve sur la courbe $\frac{n(n+1)}{2}$ et un point B qui se trouve aussi sur la courbe.
A et B sont distant l'un de l'autre de 1 en abscisse.
Allors l'aire qui se trouve a l’intérieur de la courbe et de la droite est 1/12.
On peut même dire que.
$\int_{0}^{n}\frac{n(n+1)}{2} =\sum_{i=1}^{n}\frac{(i-1)i+i}{2}-\frac{1}{12}i$

Autre:
$(\sum_{i=0}^{n}i\cos(\pi i))\times(1+\sum_{i=0}^{n}2icos(\pi i))=\frac{(1+2n-\cos(\pi n))\cos(\pi n)}{4}\times(n\cos(\pi n)+\frac{1+\cos(\pi n)}{2})$

$\sum_{i=0}^{n}i\cos(\pi i)+\sum_{i=0}^{n}i-i\cos(\pi i)=\frac{(1+2n-\cos(\pi n))\cos(\pi n)}{4}+\frac{n(n+1)}{2}-\frac{(1+2n-\cos(\pi n))\cos(\pi n)}{4}$
$\sum_{i=0}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}$