Des nombres premiers aux segments premiers

BrunoPB19 · August 2017

Bonjour,

L'idée est de proposer une "généralisation" de l'approche de "nombres premiers" en l'étendant à la notion de "segments premiers", j'ai essayé d'expliquer et d'illustrer (dans un anglais approximatif..) cette approche ; je suis intéressé de savoir si cela a déjà été partagé et ce qu'il y a pu avoir comme comme écrits/études en ligne avec cette approche.

Il y aurait plus à partager mais dans un premier temps je souhaite juste savoir si l'idée a été investiguée.

Merci d'avance pour tout commentaire en retour.

Maxtimax · August 2017

Pourquoi écrire en anglais si ledit anglais est approximatif ?

Maxtimax · August 2017

Et puis dire que "for S2 there is no evidence", soit tu confonds "evidence" et "proof"; soit c'est un peu fort!

BrunoPB19 · August 2017

Merci pour les remarques sarcastiques pour l'anglais mais j'attends plutôt en retour des remarques constructives sur le contenu autant que faire se peut.

la critique est aisée ...

Merci

Chalk · August 2017

Tu veux qu'on te dise quoi ? Que c'est une idée géniale et révolutionnaire alors qu'en réalité le contenu est justement complètement creux ?

BrunoPB19 · August 2017

Pour donner une version française de ces conjectures (sauf pour les nombres premiers, cas S =1), si ça peut aider :

"Segments premiers" ==> Pour tout nombre S, il existe une infinité de S-uplets composés de nombres de la forme 1+k*S (k prenant S valeurs naturelles consécutives i, i+1, ...i+S-1 ) tels qu'aucun de ces nombres soient divisibles par des nombres de la forme 1 + p*S

"Segments premiers jumeaux" ==> Pour tout nombre S, Il existe une infinité de couples de S-uplets constitués de nombres de la forme 1+k*S (k prenant S valeurs naturelles consécutives i, i+1, ...i+S-1 pour l'un et les S valeurs consécutives i+S+1,i+S+2, ..., i+2S pour l'autre) tels qu'aucun de ces nombres soients divisibles par des nombres de la forme 1 + p*S

Fin de partie · August 2017

BrunoPB19:

Ta formulation te permet de démontrer un théorème intéressant?

Un formalisme qui ne permet pas de démontrer des conjectures préexistantes à ce formalisme est sans grand intérêt.

Dom · August 2017

Je ne sais pas s'il faut être sévère ou pas.
On est dans Shtam, et on peut y trouver des maths (qui servent ou pas, c'est subjectif après tout).

Je ne sais pas lire l'anglais.

Voilà ce que je propose :
L'auteur suggère des définitions et des propriétés, avec des preuves ou des conjectures.
Aux intervenants ensuite de choisir s'ils veulent parler maths ou donner d'autres avis.

Là, en l'état, personne peut parler de maths sauf pour dire que le sujet traité existe déjà, ce qui ne semble le pas être le cas.

christophe c · August 2017

L'accueil des nouveaux venus de la manière dont on la lit dans ce fil me parait effectivement bien trop agressive. Sans compter les considérations carrément fausses qui leur sont faites en réponse comme celle de FDP

FDP a écrit:

Un formalisme qui ne permet pas de démontrer des conjectures préexistantes à ce formalisme est sans grand intérêt

@FDP: c'est bien trop catégorique: seule une part très petite (et très pauvre) de l'activité mathématique mondiale est le fait de compétiteurs qui cherchent à décrocher des médailles en résolvant des problèmes ouverts (surtout d'arithmétique, réservée généralement de par l'accessibilité de ses énoncés à des gens bien particuliers). La quasi-totalité de l'activité scientifique respire heureusement avec plus de liberté en explorant de nombreux territoires inconnus sans préjuger a priori de ce qu'ils vont y trouver. Et heureusement.

J'ai même envie de dire (en exagérant bien sûr, c'est une image) qu'on devrait "interdire" aux matheux professionnels de travailler en s'enchaînant à un but de résoudre une devinette d'olympiade, car ça les stérilise. Aucun concept de fond n'a été découvert comme ça.

(Précision: j'ai tout dit, et ça n'a rien d'hostile, c'est juste que ta phrase m'a paru carrément catégorico-brutale et fausse. Bien entendu, si tu estimes que je me trompe tu répondras et je ne réagirai pas, non par manque de respect mais pour ne pas importuner la modération comme tu sais qui est allergique à nos échanges bagarreurs :-D )

Fin de partie · August 2017

Christophe:

Sauf que BrunoPB19 lie son formalisme à une conjecture ouverte. C'est donc normal de lui demander si son formalisme apporte quelque chose à la résolution de ce problème.

Christophe a écrit:

La quasi-totalité de l'activité scientifique respire heureusement avec plus de liberté en explorant de nombreux territoires inconnus sans préjuger a priori de ce qu'ils vont y trouver.

Et les gens s'engagent dans cette voie sans arrière-pensée? Je n'y crois pas une seule seconde. Je pense qu'il y a une idée directrice qui les guide mais ils ne s'interdisent pas les chemins de traverse et les détours.

Chalk · August 2017

cc a écrit:

Aucun concept de fond n'a été découvert comme ça.

Selon moi tu as tort. La démonstration du théorème de Fermat est un bon exemple des théories qui ont été développées majoritairement pour répondre à ce genre de problèmes. Les grandes conjectures motivent le développement de nouvelles théories.

Après tu parles d'accueil des nouveaux venus mais tu ne sembles pas connaître le phénomène des crackpots intrinsèquement liés à ce genre de forum.

christophe c · August 2017

J'ai bien précisé "en exagérant" :-D Il va de soi que la multitude des motivations publiées comme cachées est variée et complexe. De plus beaucoup démarrent la construction de.concepts dans un but bassement matériel ou honorifique puis se laissent emporter par la beauté du voyage et en oublient le but initial.

OK pour les "crackpots". Mais à mon avis il faut aussi prendre garde à ne pas trop blesser les gens d'autant qu'ils peuvent se braquer et s'obstiner dans leur aveuglement (éventuel!!) s'ils s'auto-retrouvent à la vitesse grand V avec un statut de "génie incompris" quand un accueil plus neutre pourrait leur ouvrir les yeux. Mais j'y pense: la rubrique shtam n'était-elle pas une invitation qui leur était adressée et leur promettait un accueil plus convivial au titre qu'en postant dedans d'eux mêmes ils économisaient des malentendus à d'autres rubriques ? (Un peu comme vixra)

Algèbre · August 2017

Pourquoi être sévère envers BrunoPB19 en lui balançant " Tu veux qu'on te dise quoi ? Que c'est une idée géniale et révolutionnaire alors qu'en réalité le contenu est justement complètement creux ?".

Algèbre · August 2017

Quand Christophe cite Fin de partie en tant que FDP j'ai tous d'abord cru qu'il l'insultait l'abérviation FDP faisant référence à autre chose pour moi.

Je sors.

Dom · August 2017

Oui l'abréviation "fdp" est malheureuse.
Sur les réseaux sociaux, c'est bel et bien une insulte.

Sur ce site, les participants réguliers savent qu'il s'agit d'un intervenant digne de ce nom.

BrunoPB19 · August 2017

A tous,

Désolé d’avoir généré involontairement un flux d’échange inutile et loin de l’intention initiale. Profitant de l’envoi d’un message à un collègue US, je l’ai partagé en l’état sur ce forum ...j’aurais été mieux inspiré de le traduire préalablement :-)

Pour revenir sur la question posée, voir fichier joint svp -
Merci

Dom · August 2017

Je ne saisis pas ce qu'il faut regarder.

Écrire des Mathématiques me semble nécessaire.
Les illustrations ne me gênent si elles accompagnent un discours clair.

Par exemple : qu'est-ce qu'un segment premier ?

Maxtimax · August 2017

Dom : si j'ai bien compris, l'idée est la suivante:

pour $k$ on considère l'ensemble $S_k = \{1 + nk \mid n \in \Bbb{N}\}$ des entiers congrus à $1$ modulo $k$. Un segment premier de longueur $l$ dans $S_k$ est une suite de $l$ éléments consécutifs $(1+ik, 1+(i+1)k,.... ,1+(i+l-1)k)$ de $S_k$ telle qu'aucun de ces éléments ne soit divisible non trivialement par un élément de $S_k$ (i.e. divisible par un élément autre que $1$ et lui-même).

La conjecture est alors que pour tout $k$, il existe une infinité de segments premiers de longueur $k$ dans $S_k$.

Pour $k=1$, $S_1 = \mathbb{N}^* $ et les "premiers de $S_1$" sont simplement les nombres premiers, et alors la conjecture est vraie (cf. Euclide)

Pour $k=2$, $S_2$ est l'ensemble des entiers impairs et donc les "premiers de $S_2$" sont les nombres premiers impairs et la conjecture devient dans ce cas équivalente à la conjecture des nombres premiers jumeaux.

Pour $k\geq 3$, c'est une nouvelle conjecture (à ma connaissance tout du moins)

BrunoPB19 · August 2017

@Maxtimax : Merci pour cette expression mathématique précise et concise.

On pourrait ajouter pour chaque Sk, une proposition sur l'infinité de segments "jumeaux".

Par ailleurs, je vous suggère une expression alternative (pour les segments premiers):
Pour tout naturel S, on considère les suites de naturels consécutifs n, n+1, ...,n+S-1 tels qu'aucun de ces nombres puisse être écrit sous la forme i+j+i*j*S où i et j sont deux naturels.
La conjecture serait alors que pour chaque S il existe une infinité de suites vérifiant cette propriété.

reuns · August 2017

De la même façon que $$\prod_{p \text{ premier}} \frac{1}{1-p^{-s}} = \sum_{n=1}^\infty n^{-s} = \zeta(s)$$ (produit eulérien)

On a $$\prod_{q \text{ irréductible } \in 1+k \mathbb{N}} \frac{1}{1-q^{-s}} = \sum_{n=0}^\infty (kn+1)^{-s} a_k(n), \qquad a_k(n) = \# \{ \text{factorisations } kn+1 = \prod_{i=1}^j q_i^{e_i}, q_i \equiv 1 \bmod k\}$$
où le produit à gauche est sur les $q \in 1+k\mathbb{N}$ irréductibles : qui ne sont divisibles par aucun autre entier $ \in 1+k\mathbb{N}$.

Le problème c'est que la factorisation des entiers de $1+k\mathbb{N}$ n'est pas unique quand $k \ne 1,2$. Par exemple $441$ a deux factorisations : $9. 49$ et $ 21.21$.

Résultat les coefficients $a_k(n)$ [small](qui donnent le nombre de factorisations de $kn+1$ en produit d'irréductibles)[/small] sont très compliqués, et on ne peut pas en faire grand chose.

Alors que dans le cas $k = 1$ ou $2$, par factorisation unique, on a $a_k(n) = 1$ pour tout $n$, ce qui donne $-\sum_p \log(1-p^{-s}) = \log \zeta(s)$ dont on déduit le théorème des nombres premiers et autre.

Des nombres premiers aux segments premiers

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