calculer l'aire
dans Shtam
Bonjour
Je suis content d'échanger avec vous chers et chères forumeurs.
J'ai une question simple et j'ai besoin de vos avis svp;
Prenant une droite (D) d'équation : Y = aX + b..(D) coupe l'axe des (x) en -b/a quand Y=0. et coupe l'axe des (y) en b quand X=0. (D) forme deux aires avec l'axe des (x), une aire (A) quand x > -b/a qui s'étend à l'infiini; et une aire (B) quand x < -b/a.qui s'étend aussi à l'infini.
peut-on formuler ces deux aires (A) et (B) ??!!
-si oui à quoi est égale l'aire global (G) : G = A + B = ??
-prenant la droite V=f(P)=(8P-38)/27 pour exemple à étudier. -b/a = 19/4. l'aire (A) quand P>19/4. et (B) quand P<19/4.
-Méthode K.H. de formulation d'aire global (Gn) d'une droite quelconque y=ax+b
Merci.
..//..
Je suis content d'échanger avec vous chers et chères forumeurs.
J'ai une question simple et j'ai besoin de vos avis svp;
Prenant une droite (D) d'équation : Y = aX + b..(D) coupe l'axe des (x) en -b/a quand Y=0. et coupe l'axe des (y) en b quand X=0. (D) forme deux aires avec l'axe des (x), une aire (A) quand x > -b/a qui s'étend à l'infiini; et une aire (B) quand x < -b/a.qui s'étend aussi à l'infini.
peut-on formuler ces deux aires (A) et (B) ??!!
-si oui à quoi est égale l'aire global (G) : G = A + B = ??
-prenant la droite V=f(P)=(8P-38)/27 pour exemple à étudier. -b/a = 19/4. l'aire (A) quand P>19/4. et (B) quand P<19/4.
-Méthode K.H. de formulation d'aire global (Gn) d'une droite quelconque y=ax+b
Merci.
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Réponses
La réponse est non, à moins peut-être d'avoir une théorie de la démesure!
Amicalement
[small]p[/small]appus
je suis curieux de nature.
Prenant une droite (D) d'équation : Y = aX + b..(D) coupe l'axe des (x) en -b/a quand Y=0. et coupe l'axe des (y) en b quand X=0. (D) forme deux aires avec l'axe des (x), une aire (A) quand x > -b/a qui s'étend jusqu'à l'infini; et une aire (B) quand x < -b/a qui s'étend aussi jusqu'à l'infini.
prenant la droite V=f(P)=(8P-38)/27 pour exemple à étudier: -b/a=19/4.l'aire (A) sera quand P>19/4. et l'aire (B) quand P<19/4.
-1/Est-ce-que l'on peut formuler les aires (A) et (B) ?
-2/ En déduire l'aire global (G) : G = A + B ?
3/ Méthode K.H générale pour une droite quelconque .
Merci.
..//..
[Restons dans la discussion que tu avais déjà ouverte. Poirot]
Ici, l'aire d'un demi-plan.
Peut-être en renvoyant cela par projection stéréographique mais après, cela doit certainement poser des problèmes.
Je pense à la conservation des aires par translation, par exemple.
quand x > 19/4 on utilise les deux suites arithmétiques (Pn): Pn= -2+ 27n=25+27(n-1) ; P1=25 et rp=27. et (Vn): Vn= -2+ 8n=6+8(n-1) : V1=6 ; rv=8.
calcul des aires:
(K) que fait la droite avec l'axe des X quand : 19/4 < P <P1=25
K=( (25-19/4) * V1 )/2 = 81/4*6/2=243/4=60,75 (ua).
(H) quand: -2 < P < 19/4
H=( (2+19/4)*2 )/2 =27/4= 6,75 (ua)
H = 1/9K <=> K=9H.
calcul des aires A1 quand P1<P<P2
A1= ( (P2-P1) * V1) +(P2-P1) * (V2-V1)/2 = rp * V1 + rp*rv/2 = 27*6 + 27*8/2 = 40H.
A2 quand P2<P<P3,
A2=( P3+P2) * v2 + (P3-P2) * (V3-V2)/2= rp*V2 + rp*rv/2= 27*14 +108 = 72H = A1 + 32H
par récurrence on calcule l'aire A(n-1) quand P(n-1) < P < Pn;
A(n-1) =( Pn - P(n-1) )* V(n-1) + rp*rv/2 = rp * V(n-1) + 108 = 27(6+8(n-2)) +108
A(n-1)=40H+32H(n-2). c'est la forme d'une suite arithmétique A(n-1)= Ap+r(n-1-p).
p=1, A1=40H, r=32H = 32*27/4 = 8*27 = rx * ry = rx' * ry'.
( pour vérifier qu'on ne s'est pas trompé r doit être égale à la valeur absolue de la raison de (Wn): r=(rw) ).
on déduit que les aires sont successifs de la suite A(n-1) chaque fois qu'on passe d'un terme de (Pn) à l'autre. la somme des termes de A(n-1) est Sna
(A) est l'aire de la droite quand x > -b/a: A = K+ Sna = 9H + Sna
(1) Effectuer une éversion de la sphère.
(2) Peindre...
https://fr.wikipedia.org/wiki/Retournement_de_la_sphère
Pour vérifier qu'on ne s'est pas tremper: si (no) est le zéro de la dérivée (Sna)' de Sna, Sno= -K si K existe, si K=0 , Sno=0.
A=Sna +K= Sna + 9H = 16Hn2 -8Hn + H = 108n2 - 54n + 27/4.
An=16Hn2 -8Hn +H= 108n2 - 54n + 27/4. An=f(n); n est entier de N.
cherchons P=a tel que 19/4<a<P1=25 et 0<V(a)<V1=6.
Ao=8H est l'aire limitée par la droite et l'axe des x tel que a<P<P1=25. et l'aire restante H=K-Ao de K est limitée quant 19/4<P<a.
on aura:
1/ H=(a-19/4)*V(a)/2 <=> 8H / (4a-19)=V(a) <=> 6+V(a)=(24a-60)/(4a-19) ; (H=27/4).
2/ Ao=8H= V(a)*(P1 -a)+ (V1 -V(a))*(P1 -a)/2 = (P1 -a)*(V(a) + (V1 - V(a))/2) =(P1 -a)*(2Va +V1 -V(a))/2 = (P1 -a)*(V(a) +V1)/2.
donc 16H=(25-a)*(6+V(a)).
utilisons 6+V(a) de /1/ dans /2/ on trouvera: 24a2 -228a -552=0 <=> 2a2 -19a -46=0
a1 = -2 et a2 = 23/2. . a1=-2<19/4 on sait déjà que H=1/9K quand: -2=a1 <P<19/4. donc a=a2=23/2 que Ao=8H tel que a2=23/2<P<P1=25. .
Ao =8H est l'aire limitée par la droite et l'axe des x quand 23/2 <P< P1=25.
H=K-Ao .. .. ... ... ... ... quand 19/4 < P< 23/2.
A=K + Sna =H + Ao +Sna
Ce n'est qu'une mauvaise plaisanterie!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Dès le premier message, on sentait le dérapage : " la droite V=f(P)=(8P-38)/27" ?? alors que précédemment il écrivait "Prenant une droite (D) d'équation : Y = aX + b." ce qui est compris par tout le monde. Mais il y avait ces portions de plan illimitées dont il voulait "calculer l'aire". Et ça finissait par une phrase cryptique : "méthode K.H. de calcul d'aire global (Gn) d'une droite quelconque y=ax+b". L'aire d'une droite, ça c'est nouveau X:-(
Depuis, l'auteur parle tout seul .... Est-il utile de laisser ce sujet en géométrie ? De le laisser continuer ?
Cordialement.
- « Bizuth, comment peindre l'intérieur d'une sphère en bleu ? »
- « Redoublant ridicule, il suffit de retourner la sphère et ensuite d'en peindre l'extérieur ! »
Amitiés à Soland.
quand x>0 , les valeurs de x et y sont les suites arithmétiques (Xn) et (Yn).
Xn=-2+27n : X1=25 , rx=27.
Yn=-2+8n : Y1=6 , ry=8.
quand x<0, les valeurs sont les suites arithmétiques (X'n) et (Y'n) :
X'n=-2-27n : X'o=-2 ; rx'= -27.
Y'n=-2-8n : Y'o= -2 ; ry'= -8.
(Wn) est la suite arithmétique de BASE de la droite y=(8x-38)/27. Wn=f(n)=(8n-38)/27. à n=0 on a Wo=f(0)= -38/27. rw = 8/27 = ry/rx = ry'/rx'
W(X1) = W(25) = 6 = Y1. W(X2)=W(52)=14=Y2; W(X3)=Y3; ......W(Xn)=Yn.
Les démonstrations sur ces suites par congruence ou autrement étaient faites sur la partie 1 du sujet "trois pêcheurs". ici on traite la partie 2. ce qui concerne les aires de la droite.
quand x< -b/a on utilise les deux suites arithmétiques (X'n): X'n= -2 -27n ; X'o=-2 et rx'=-27. et (Y'n): Y'n= -2 -8n : Y'o=-2 ; ry'=-8.
calcul des aires:
Bo quand X'1<x<X'o <=> -29 < x < -2. et -10< y < -2.
Bo= ( (-X'1+X'o) * (-Y'o) +(-X'1+X'o) * (-Y'1+Y'o)/2 = -rx' *( -Y'o) + rx'*ry'/2 = 27*2 + 27*8/2 = 24H.
B1 quand X'2< x < X'1 <=> -56 < x < -29.
B1= rx'*Y'1 + x'p*ry'/2= 27*10 +108 = 56H = Bo + 32H
par récurrence on calcule l'aire B(n-1) quand X'n < x < X'(n-1);
B(n-1) =( -X'n + X'(n-1) )*( -Y'(n-1)) + rx'*ry'/2 = -rx' * -Y'(n-1) + 108 = 27(-6+8n)) +108
B(n-1)= -54 +216n= -54 +216(n-1) + 216=.24H + 32H(n-1). c'est la forme d'une suite arithmétique B(n-1)= Bo+r(n-1).
Bo=24H, r=32H = 32*27/4 = 8 * 27 = ry * rx = ry' * rx'.
( pour vérifier qu'on s'est pas trompé r doit être égale à la valeur absolue de la raison de (Wn): r=(rw) ).
on déduit que les aires sont successifs de la suite B(n-1) chaque fois qu'on passe d'un terme de (X'n) à l'autre. la somme des termes de B(n-1) est Snb
(B) est l'aire de la droite quand x < -b/a : B= H+ Snb .
Pour vérifier qu'on ne s'est pas tremper: si (no) est le zéro de la dérivée (Snb)' de Snb, Sno= -H si H existe, si H=0 , Sno=0.
B=Snb +H = 16Hn2 +8Hn + H = 108n2 + 54n + 27/4.
Bn=16Hn2 + 8Hn +H. Bn=f(n); n est entier de N.
ps: An et Bn ne sont pas des terme de A(n-1) et B(n-1). on peut noter l'aire tel que x > -b/a par E et quand x < - b/a par F par exemple. donc:
En = H + Ao + Sna = 16Hn2 - 8Hn + H , et Fn = H + Snb = 16Hn2 + 8Hn + H.
Les positions de E et de F par rapport à l'axe des abscisses sont aléatoires, E et F peuvent être au-dessus ou au-dessous. cela dépend de la droite si elle est croissante (a>0) ou décroissante (a<0). donc E est définie quand x > -b/a; et F quand x < -b/a quelles que soient leurs positions opposées.
Bo=24H=16H + 8H =16H + Ao; (Ao n'appartient pas à A(n-1); il appartient à K).
A(n-1) = A1, A2, A3, A4, .... A(n-1).
B(n-1))= Bo B1 B2 B3 B4 .....B(n-1).
B(n-1) =16H+Ao, 16H+A1,16H+A2,16H+A3, 16H+A4 ........ 16H+A(n-1).
Snb= 16Hn + Ao + Sna.
cas particulier:
les droites y=ax ; (b=0). passent toutes par l'origine:
A(n-1) = B(n-1); Sna=Snb=En=Fn ; H=K=0. Gn=En + Fn = Sna + Snb = 2 Sna = 2 Snb.
Une infinité de suites arithmétiques peuvent s'aligner dans la même droite y=ax+b. Une seule d'entre elle notons-la (Wn) est la suite de BASE de cette droite: qui lui donne FORME. a=r et b=Wo , Wn=Wo + r*n. -b/a = - Wo/r. à l'aide de (Wn) on peut diviser les aires E et F de la droite en plusieurs termes d'aire des suites arithmétiques d'aire (An-1) et (Bn-1) des quelles on déduit leurs sommes Sna et Snb qui donnent En et Fn. et finalement: Gn= En + Fn.
Go=2H=27/2. G1=Bo+Go+Ao. G2=B1+G1+A1. G3=B2+G2+A2.......Gn=B(n-1)+G(n-1)+A(n-1).
Gn=B(n-1)+B(n-2)+....+B3+B2+B1+Bo+2H+Ao+A1+A2+A3+...+A(n-2)+A(n-1).
calcul de l'aire entre les demi-paraboles Sna=f(n) et Snb=f(n) ; (n entier de N).
Snb= 16Hn + Ao + Sna. donc: Snb - Sna = 16Hn + 8H.
traçons les deux demi-courbes (Ca) et (Cb) de Sna=f(n) et Snb=f(n). (Cb) est au dessus de (Ca). l'aire entre les courbes quand n tend vers l'infinie est le même que celui que fait la droite y=16Hn + 8H de leur différence avec l'axe des x en traçant la droite dans le même graphique.
en général tous deux polynômes y1 et y2 de même degrés sauf le dernier tel que leur différence égale à y1 - y2 =ax+b. l'aire entre leurs courbes quand n tend vers l'infinie est le même que celui de la droite de leur différence y1 - y2=ax+b.
Ce qui est fantastique, c'est que les élucubrations de Sirepico aient déjà provoqué plus de 400 vues.
Cela devrait nous faire réfléchir et nous rendre plus modeste!
Amicalement
[small]p[/small]appus
La méthode K.H générale pour formuler les aires (En), F(n) et (Gn) de toute droite y=ax+b a le même principe que l'exemple étudié de y=(8x-38)/27; et -b/a= 19/4.
On a vu que quand x> -b/a on a utilisé deux suites arithmétiques: (Yn) sur l'axe des (y) et (Xn) sur l'axe des (x) telles que Yn=f(Xn).pour définir la suite A(n-1) et ensuite en déduire sa somme Sna qui donne (En).
De même que quand x< -b/a on a utilisé deux autres suites (Y'n) des (y) et (X'n) des (x) telles que Y'n=f(X'n) pour définir la suite B(n-1), et ensuite en déduire sa somme Snb qui donne (Fn).
La suite arithmétique (Wn) que j'ai appelée "suite de base" de sa droite y=ax+b appartient a l'axe des y. Wn=an +b;(Wo=b; rw=a; -b/a=- Wo/rw me donne deux suites arithmétiques (Un) et (Vn) sur l'axe des y. La raison ru de (Un) est celle de (Wn) ru=rw. La raison de A(n-1) et de B(n-1) est la valeur absolue de la raison rw de (Wn): r(An-1)=r(Bn-1)=(rw)=(a) ; la raison rv de (Vn) est l'opposée de celle de (Wn) rv= -rw= -a .
(Wn) dans la méthode K.H agit pareillement avec (Un); (Vn); A(n-1) et B(n-1) qu'avec (Yn); (Y'n); A(n-1) et B(n-1) dans l'exemple étudié.(point de vue leurs raisons respectives j'ai chois rk=1 et rh=-1; ça simplifie les raisons ).
Donc j'ai besoin de deux suites arithmétiques sur l'axe des (x).
Deux cas se présentent : soit -b/a est un réel de R non entier relatif ou -b/a est un entier relatif de Z.
1 ier cas: -b/a est un réel non entier relatif .
Je pose deux entiers relatifs successifs h et k : h + 1= k; ( h et k minuscules) pour encadrer -b/a tels que h < -b/a < k.
Je crée deux suites arithmétiques (Hn) et (Kn) telles que
pour couvrir l'aire (En)
Kn = K(n-1) + 1= k+n.; Ko=k et rk=1.
Un = f(Kn) = U(n-1) + ru = Wk + an. Uo = Wk = f(k) si k<0 , ru = rw = a.
pour couvrir l'aire (Fn).
Hn = H(n-1) - 1 = h -n ; Ho=h et rh=-rk=-1.
Vn = f(Hn) = V(n-1) + rv = Wh - an ; Vo = Wh = f(h) si h<0.. rv = -rw = -a.
Finalement il reste les deux aires H et K :
H = (-b/a-h)*(Vo)/2. quand h < x < -b/a
K = (b/a+k)*(Uo)/2. quand -b/a < x < k. ( (Uo) et (Vo) sont les valeurs absolues de Uo et de Vo ).
H et K majuscules sans indice sont les aires des deux triangles rectangles qui entourent -b/a en unité d'aire (ua)
,La dérivée S'na s'annule à no= -K; et la dérivée S'nb s'annule à n'o= -H.
cas particulier: quand (a)=2 et -b=2k-1=2h+1, (b est un relatif impair).
-b/a est le ZERO AIRE en unité d'aire (ua). De -b/a commence En et Fn. si H et K existent, Eo=k et Fo=h.
dans ce cas -b/a est équidistant de h et de k: -h-b/a=k+b/a=1/2. donc Uo=f(k)=f(h)=Vo. et H=K=(Uo)/4 = (Vo)/4.
on on une symétrie centrale par le point M(-b/a,0). Fn est l'image de En.
A(n-1) = B(n-1) ; Sna = Snb et En=Fn=Sna+H=Snb+K = n2 + 4Kn + K = n2 + 4Hn + H.
.
En utilisant la méthode K.H plus précise qui donne la valeur de l'aire par chaque intervalle des termes des suites (Kn) et (Hn) d'entiers relatifs de Z ; on aura:
y = f(x) = 8/27 *x - 38/27 : (le zéro aire -b/a=19/4)
h=4 et k=5. 4< 19/4 <5.
W4 = - 2/9. W5 = 2/27
H= - W4 * (19/4 - 4)/2 = 2/9 * 3/4 /2 = 1/12 (ua).
K= W5 * (5 - 19/4)/2 = 2/27*1/4 /2 = 1/108 (ua).
K=1/108=1/9 * 1/12 = 1/9H <=> H=9K.
ici c'est l'inverse: K est plus petit que H.
Kn = 5 + n; Ko=k=5 et r=1.
Un = 2/27 + 8/27*n ; Uo=W5=2/27. et ru=rw=8/27.
Hn = 4 - n ; Ho=h=4 et r= -1.
Vn = -6/27 - 8/27*n ; Vo=W4= -6/27 et rv=-rw=-8/27.
A(n-1) = -2/27 + 8/27*n ; Ao=6/27 et r=(rw)=8/27. ( A(n-1) possède n termes).
B(n-1) = 2/27 + 8/27*n ; Bo=10/27 et r=(rw)=8/27. ( B(n-1) possède n termes).
Sna= (4n2 + 2n) /27. Snb= (4n2 + 6n) /27. En= (16n2 +8n +1) /108. Fn= (16n2 + 24n +9) /108.
Gn= (16n2 +16n +5) /54 = 8/27*n2 + ( (2/27)+(-6/27) )*n + 5/54 = (a)n2 + ( (Uo) + (Vo) )*n + H+K. ( (a) est la valeur absolue de a, pareil pour Uo et Vo).
2ieme cas: -b/a est un entier relatif de Z:
Ce cas est plus simple et bref que le 1ier. On a au point M( -b/a ,0) une symétrie centrale,(facile à voir avec un changement d'origine). F est l'image de E. donc En = Fn = Sna = Snb,(H=K=0). La suite A(n-1) = B(n-1) ; Gn =En + Fn = 2 En = 2 Fn = Sna + Snb = 2 Sna = 2 Snb. Donc il suffit de formuler l'aire d'une demi-droite (- l'infini,- b/a) qui donne l'aire F; ou ( -b/a, + l'infini) qui donne l'aire E.
h et k seront tels que: h = -b/a = k. ; ( h et k minuscules).donc : Ho = h = - b/a = Ko = k. Ho et Ko sont confondus sur le zéro aire -b/a. H=K=0.
La suite arithmétique (Kn) sera telle que pour couvrir l'aire (En) :
Kn= K(n-1) + 1= -b/a + n.; Ko = k = -b/a = h = Ho: et r=1.
Un = f(Kn) = U(n-1) + ru = an ; Uo = Vo = Wk = Wh = W(-b/a) =f(k)=f(h)=f(-b/a) = 0. , ru = rw = a.
Finalement il reste les deux aires H et K , ( H et K majuscules sans indice n'existent plus car h=-b/a=k.. les deux triangles rectangles qui entourent -b/a sont les mêmes:c'est le triangle rectangle KH. il forme,Ao et Bo : KH=Ao=Bo): H=K =0.
(En=Sna=Fn=Snb) , donc les dérivées S'na=S'nb s'annulent à no= -K = -H= 0;
cas particulier: avec un changement d'origine vers M( -b/a,0) on trouvera Y=a'X ; (b' = 0 ). c'est le cas particulier qu'on a déjà vu: les droites y=ax (b=0) appartient à ce 2ieme cas de la méthode K.H quand le zéro aire - b/a est un relatif de Z.
-/ 1ier cas: y=ax+b et le zéro aire (- b/a) est réel non relatif de Z : h+k=1 et h<-b/a<k et H et K existent non nulles .
H=(-b/a -h)*(Vo)/2 quand h <x< -b/a.
K=(b/a +k)*(Uo)/2 quand -b/a <x< k.
Kn = k +n . Ko=k et rk=1.
Un = Uo + ru*n. ru=rw=a
Hn = h - n. Ho=h et rh=-1.
Vn = Vo + rv*n. rv=-rw=-a.
traçant la droite y=ax+b.
étudions chaque terme de la suite A(n-1) de (E) quand x>-b/a. après -b/a on a le triangle rectangle K puis Ao, A1,A2,.....A(n-1).
Ao= rectangle + trigle rectangle =(Uo)*rk + ( (U1)-(Uo) )* rk/2 = (Uo) +(ru)*1/2=(Uo)+(ru)/2=(Uo)+(a)/2.. ( ce qui est entre deux parenthèses c'est la valeur absolue ).
Notons KH l'aire du triangle rectangle: KH=(ru)/2=(rv)/2=(rw)/2=(a)/2 en unité d'aire.. il sera pareil pour tous les termes de A(n-1) et B(n-1). le rectangle (Uo) à pour aire (Uo) en unité d'aire. Chaque terme de A(n-1) qui suit Ao possède d'abord le rectangle (Uo) puis un nombre n de rectangles chacun d'eux est le double de KH puis le triangle final KH.
Ao=(Uo) + KH
A1=(Uo) + 2KH + KH = (Uo) + 3KH.
A2=(Uo) + 2KH + 2KH + KH = (Uo) + 5KH.
A3=(Uo) + 2KH + 2KH + 2KH + KH = (Uo) + 7KH.
A(n-1)=(Uo) + (2n-1)KH.
les aires des triangles rectangles KH se suivent sous forme de suite arithmétique des nombre impairs.
A(n-1)=Ao,A1,A2,A3,.......A(n-1).
A(n-1)=(Uo)+KH ; (Uo)+3KH ; (Uo)+5KH ; (Uo)+7KH......(Uo)+(2n-1)KH
Sna=(Uo)+KH+(Uo)+3KH+(Uo)+5KH+(Uo)+7KH+....(Uo)+(2n-1)KH.
=n(Uo) + KH(1+3+5+7+...+(2n-1) )
=n(Uo) + KH(1+2n-1)n/2
=n(Uo) + KHn2
Sna=KHn2 + (Uo)n.
pareil pour Snb mais avec la valeur absolue de Vo, Snb= KHn2 + (Vo)n.
En=Sna + K = KHn2 + (Uo)n + K.
Fn=Snb + H = KHn2 + (Vo)n + H.
KH=(ru)/2=(rv)/2=((rw)/2=(a)/2
En+Fn=Gn=2KHn2 + ( (Uo)+(Vo) )n +(H+K)
Gn=(a)n2 + ((Uo)+(Vo))n +(H+K).
-/ 2ieme cas: le zéro aire (-b/a) est un relatif de Z:
KH=Ao=Bo=(ru)/2=(rv)/2=(rw)/2=(a)/2
H=K=0.
par symétrie centrale en M(-b/a,0) Gn=2En ; En=Fn=Sna=Snb et A(n-1) = B(n-1)
Ao=KH; A1=3KH ; A2=5KH ; A3=7KH ; ......A(n-1)=(2n-1)KH
En=Fn=Sna=Snb=KH+3KH+5KH+7KH+....+(2n-1)KH
=KH(1+3+5+7+...+(2n-1) )
=KH(1+2n-1)n/2
=KHn2
=1/2(a)n2
Gn=2En=2Fn=2KHn2=(a)n2.
En est la moitié de l'aire que fait la droite quand x > -b/a. Fn l'autre moitié quand x < -b/a. les positions opposées de En et Fn par rapport à l'axe des abscisses sont aléatoires,(au-dessus ou au-dessous selon la droite si elle est croissante a>0 ou décroissante a<0) . En et Fn sont séparées par le du zéro aire (-b/a).
le triangle rectangle KH est une caractéristique de sa droite y=ax+b son aire KH=(a)/2 (ua).
1ier cas: le zéro aire (-b/a) est un réel de R non relatif:
on a: h et k deux relatifs successifs de Z tels que: h+1=k et h < -b/a < k. les triangles rectangles H et K existent tels que leurs aires sont:
H = (-h-b/a) (Vo)/2 et K = (k+b/a)(Uo)/2.
A(n-1) = (Uo) + (a)/2 + (a)(n-1) : Ao = (Uo) + (a)/2 et r = (a). sa somme Sna = 1/2(a)n2 + (Uo)n. donc En=Sna + k.
B(n-1) = (Vo) + (a)/2 + (a)(n-1) : Bo = (Vo) + (a)/2 et r = (a) ; sa somme Snb = 1/2(a)n2 + (Vo)n.. donc Fn=Snb + h. en fin Gn = En + Fn.
2ieme cas: le zéro aire (-b/a) est un relatif de Z:
on a h=-b/a=k donc les deux triangles rectangles H et K n'existent plus: H=K=0 et Uo=Vo=0.
A(n-1) = B(n-1) = (a)/2 + (a)(n-1) : Ao = Bo = KH = (a)/2 et r = (a). Sna=Snb=En=Fn= 1/2(a)n2. en fin Gn=2En=2Fn= 2KHn2 = (a)n2.
la méthode K.H :
1ier cas: -b/a n'est pas relatif :
quand x>-b/a: En = Sna + K = 1/2(a)n2 + (Uo)n + K. et quand x<-b/a: Fn = Snb + H = 1/2(a)n2 + (Vo)n + H. En et Fn ont la forme de la primitive F(x) plus la cte est donnée: K pour En et H pour Fn. En et Fn sont des primitives précises et calculent l'aire directement sans calculer les intégrales.
2ieme cas -b/a est un relatif :
h=-b/a=k donc H=K=0:
En = Sna = Fn = Snb = 1/2(a)n2.
ps: le graphique pour le message suivant.
1ier cas: -b/a est non relatif:
si l > -b/a cette aire appartient à En.l = K(l-k) et m = K(m-k). l'aire entre l et m est la somme des aires depuis l'aire A(l-k) située entre l et l+1, jusqu'à l'aire A(m-1-k) située entre (m-1) et m. le nombre des aires entre elles est m-1-k-l+k+1=m-l. avec A(n-1)=(Uo)+(a)/2 + (a)(n-1) on calcule A(l-k) et A(m-1-k). l'aire demandée est: (A(l-k) + A(m-1-k) )*(m-l)/2. ( (Uo) c'est la valeur absolue de Uo=f'(k) ).
-on utilisant En=Sna +K; cette aire est: E(m-k) - E(l-k)l = Sa(m-k) - Sa(l-k).
si m< -b/a cette aire appartient à Fn. m = H(h-m) et l = H(h-l). l'aire m et l est la somme des aires depuis l'aire B(h-m) située entre m et m-1, jusqu'à l'aire B(h-l-1) située entre l+1 et l. le nombre des aires entre elles est h-l-1-h+m+1=m-l. on calcule B(h-m) et B(h-l-1) à l'aide de B(n-1)=(Vo)+(a)/2 + (a)(n-1). l'aire demandée est: (B(h-m) + B(h-l-1) )*(m-l)/2. ((Vo) c'est la valeur absolue de Vo=f'(h) )
-on utilisant Fn=Snb +H; cette aire est: F(h-l)l - F(h-m) = Sb(h-l) - Sb(h-m).
2ieme cas: -b/a est un relatif de Z.
cette aire sera pareille que l >-b/a ou m< -b/a . qu'elle soit de En ou de Fn H=K=0 et Uo=Vo. on calcule A(l-k)=B(h-m) et A(m-k-1)=B(h-l-1) à l'aide de A(n-1)=B(n-1)=(a)/2 +(a)(n-1). l'aire demandée est: (A(l-k) + A(m-1-k) )*(m-l)/2 = (B(h-m) + B(h-l-1) )*(m-1)/2.
on utilasant En=Fn=Sna=Snb; cette aire est: E(m-k) - E(l-k) = F(h-l) - F(h-m) = Sa(m-k) - Sa(l-k) = Sb(h-l) - Sb(h-m).
ps: regarde le graphique du message précédent.
il faut bien ajouter une vue pour s'apercevoir qu'il ne fallait pas regarder!
JCR