Courbe elliptique, fonction Weierstrass...

Soit $4x^3-ax-b = 4(x-e_1)(x-e_2)(x-e_3) \in K[x]$ un polynôme cubique séparable. On pose $h'(x) = (4x^3-ax-b)^{-1/2}$ et $h(x) = \int h'(x)dx$ l'intégrale elliptique, et $\wp(z) = h^{-1}(z)$ sa fonction réciproque. Alors $\wp'(z) = \frac{1}{h'(\wp(z))}$ et $$\wp'(z)^2 = 4 \wp(z)^3 - a \wp(z) - b \tag{1}$$ Soit $\gamma$ un contour $x_0 \to x_0$ qui encercle une des racines $e_1$. Quand $h$ est continuée analytiquement sur $\gamma$, $h(\gamma(0))\ne h(\gamma(1))$ donc $h\circ \gamma$ est une courbe $z_0 \to z_0+\omega_1$ ( $z_0= h(x_0)$) et $0 =\int_\gamma dx = \int_{h \circ \gamma} d\wp(z) = \wp(z_0+\omega_1) -\wp(z_0)$.

$(1)$ implique $\wp'(z_0) = \pm \wp'(z_0+\omega_1)$ (si le signe est négatif on pourrait doubler $\omega_1$) donc on obtient $\wp(z_0)=\wp(z_0+\omega_1),\wp'(z_0) = \wp'(z_0+\omega_1)$ qui donne avec l'équation différentielle $(1)$ que $\wp$ est $\omega_1$-periodique. En refaisant la même chose avec un contour encerclant une autre racine on obtient une seconde période $\omega_2$ qui est $\mathbb{R}$-linéairement indépendante de $\omega_1$ (...) et donc $\wp$ est doublement $\omega_1,\omega_2$-périodique. À partir de ça, il n'est pas très difficile de montrer que ça donne un isomorphisme $\varphi : \mathbb{C}/(\omega_1\mathbb{Z}+\omega_2 \mathbb{Z}) \to E(\mathbb{C}), \ \ \varphi(z) = (\wp(z),\wp'(z))$.