"Encore un trisecteur d'angle"

Bonjour à tous,

Le titre du topic pourra en amuser plus d'un, mais il vise à diviser un angle en trois parties égales, en utilisant une règle dépourvue de graduations, un crayon et un compas. N'ayant aucune prétention d'être rigoureux jusqu'au bout, je tenais à vous faire partager ce résultat sur le problème Antique de la trisection de l'angle, en étant ouvert à votre critique, vos objections (mais fermé sur vos opinions, au vu de précédents posts).

Le but de ce qui suit vise à prouver que le problème de la trisection de l'angle, ou découpage d'un angle selon des fractions rationnelles n'est pas impossible, à la règle et au compas.

Me concernant: je n'ai pas rédigé un seul ouvrage de mathématique, certains éléments du langage pouvant porter à confusion, j'ai volontairement mis beaucoup d'images pour que vous arriviez à comprendre mon propos, et éventuellement me corriger sur la terminologie, personne n'est parfait. On m'a toujours dit qu'un schéma ne prouve rien, j'avance donc une méthode destinée à être éprouvée, en y allant avec beaucoup de pincettes.

Définitions :
Compas : Instrument servant à tracer cercles, arcs de cercle, comparer des distances ou les reporter.
Règle: Instrument servant à tracer des lignes droites.
Problème de la trisection de l'angle : dit comme l'un des trois grands problèmes de l'Antiquité, sont le but est de diviser un angle en trois parties.

Note à ceux ayant assimilé, compris, approuvé les travaux du respectable Pierre-Laurent Wantzel : coucou, ce monsieur n'a pas tort et ce que j'avance n'a aucune destinée de le contredire.

La preuve :

Pour ce type de résolution, j'ai besoin de distinguer six cas : angles aigus, droits, obtus, plats et rentrant et pleins. Les cinq derniers cas peuvent se résoudre à partir de constructions se ramenant au premier (type bissection ou bissection de bissection, voir à la fin). Allons-y pour le premier cas.

Avant de commencer, la seule objection que j'ai trouvé à mon argumentation vient du fait que je "gradue" sur la figure à l'aide d'un compas, si vous admettez que la bissection d'un angle par tracé de bissectrice (qui se fait à l'aide de graduations / arc de cercle d'un compas, méthode vue en ce2) est recevable pour un problème analogue de bissection d'angle, alors la méthode qui suit ne devrait pas vous choquer outre mesure. Libre à vous d'objecter, à condition bien sûr d'avoir lu ce qui suit en entier. Pour cadrer au problème, je ne construit pas de règle graduée, mobile pour le résoudre, ni ne construit ma figure autour d'une règle graduée, je prends juste des repères sur ma figure initiale, construits avec un compas, cadrant ainsi avec les limites du problème.

Soit un angle aigu, portion d'un plan délimité par deux demi-droites (d1, et d2) se "touchant" en un point d'intersection noté P.



A l'aide d'un compas, je peux graduer chaque demi-droite de telle manière à ce qu'une graduation de l'une, vaille celle de l'autre. 4 graduations suffisent.



Je trace le segment S1 passant par les 3e graduations des droites d1 et d2 (graduations notées G1 et G2).



A ce stade, j'ai besoin de poser que la section de S1, découpée en 2, 4, ... morceaux, peut diviser l'angle en proportions similaires à celles effectuées sur S1, en traçant les droites passant par P, et les sections de S1.
Par exemple, si S1 est divisé en deux morceaux égaux (bissectrice), dont la limite des portions est représentée ci-dessous par le point I, alors la droite passant par I et P divise l'angle en deux (les longueurs PG1 et PG2 étant identiques).



Je peux donc ramener mon problème à la division d'un segment en trois parties égales, puisque la division de ce segment peut correspondre, par projection / tracé, à la division de mon angle (en respectant l'égalité PG1 = PG2).

Et si par hasard, un mathématicien avait pu établir la mesure d'une portion d'un segment, par projection ? J'invoque Thalès.

Reprenons la figure 3, je trace S2, segment qui passe par les 4e graduations des droites d et d'. Au passage, j'effectue une "quadrisection" de mon segment S1, par tracé de bissectrice de bisection du segment S1. Je note le premier quart du segment S1 : G1I, la mesure G1-I vaut alors 1/4 de la longueur de S1.



Une fois que c'est fait, je trace la droite PI venant couper mon segment S2 en I2; j'introduis les points G3 et G4, extrémités de S2 pour les besoins de la chose, ces points sont situés à la 4e graduation des droites d et d' de telle sorte que, PG3 = PG4.



On a alors le résultat suivant selon Thalès (configuration valide car S1 et S2 sont des segments parallèles) :

PG1 / PG3 = PI / PI2 = G1I / G3I2

Pardon pour les notations barbares des distances, mais l'égalité ci-dessus donne : (3/4) / 1 = PI / PI2 = (1/4) / (G3I2)

D'où : (G3I2) = (1/4) / (3/4) = 1/3 !

En terme de proportions, l'échelle de base est le segment S1, en conséquence, la mesure G3I2 est à S1, ce qu'est 1/3 pour la longueur S1. La proportion peut donc se retrouver dans la figure, et donc se reporter au compas de S2 vers S1.

On a donc la longueur G3I2, reportée en rouge sur S1. (au passage, je trace la droite passant par P et le bout de la portion reportée).



Par tracé-projection, l'intersection du bout de la portion reportée, et P, divise mon angle aigu en un tiers.

Si je double la longueur de la portion reportée, avec un compas sur le segment S1 (section verte), j'obtiens une mesure de 2/3 de S1 en additionnant la portion rouge et verte.



Par tracé-projection, l'intersection du bout de la section des 2/3 de S1 et P, divise mon angle aigu en un autre tiers.

Et voici comment diviser un angle aigu en trois parties. (Les images sont dégueu, n'ayant que GeoGebra et Paint faute de mieux, mais si vous avez suivi les explications, les figures ne doivent pas vous arrêter).

Je pense être passé par quelques raccourcis ou abus de langage qui en feront grincer certains, n'hésitez pas à m'en faire part.

Autres cas :

- Cas de l'angle droit : peut se rapporter au cas de l'angle aigu.
- Cas de l'angle obtus : peut se rapporter au cas de l'angle aigu par bissection et report de mesure (je peux développer au besoin, on arrive donc à diviser l'angle en 1/6, ce qui à l'aide du compas peut se reporter sur l'angle initial pour former des tiers).
- Cas de l'angle plat : peut se rapporter au cas de l'angle droit, par bissection.
- Cas de l'angle rentrant : peut se rapporter au cas de l'angle aigu, en prolongeant la bissectrice de la "partie aigue", on arrive à couper l'angle rentrant en deux parties égales qui forment un angle soit obtus soit plat (pour un angle plein de 360°), on se rapporte au cas de l'angle obtus, donc un angle aigu.

Cette méthode, en jouant sur les graduations pour faire varier la portion de segment créer sur S2, peut suffire à découper un angle en fractions rationnelles.

Cette "démonstration", incorrecte ou non est de mon chef et par conséquent soumis à une licence CC BY-SA (aussi longtemps que j'aurais la "paternité" de ce post), les propriétaires en sont l'administration du forum et moi-même. Une version épurée a été soumise au site viXra sous les mêmes conditions de Licence.

Merci d'avoir pris le temps de me lire jusqu'au bout ! En attendant vos retours