Question sur Goldbach
Bonjour,
Libre aux modérateurs de déplacer cette question en shtam s'ils l'estiment nécessaire.
Soit $\displaystyle{ f : n\mapsto -\sum_{k=2}^{\infty}\left[\dfrac{n}{k}\right]\mu(k) }$ où $ n $ est un entier naturel au moins égal à $ 2 $. J'appelle "rayon de primalité" d'un entier $ m $ tout entier positif $ r $ tel que $ m-r $ et $ m+r $ sont premiers (et dire que je trouve que ma mère rabâche ! ). La conjecture de Goldbach équivaut à l'existence d'un rayon de primalité pour tout entier supérieur à $ 2 $ .
J'ai une question : est-il vrai que $ r<n-2 $ est rayon de primalité de $ n $ si et seulement si $ f(n^{2}-r^{2})=f(n^{2}-r^{2}-1) $?
Merci d'avance et bonne nuit.
Libre aux modérateurs de déplacer cette question en shtam s'ils l'estiment nécessaire.
Soit $\displaystyle{ f : n\mapsto -\sum_{k=2}^{\infty}\left[\dfrac{n}{k}\right]\mu(k) }$ où $ n $ est un entier naturel au moins égal à $ 2 $. J'appelle "rayon de primalité" d'un entier $ m $ tout entier positif $ r $ tel que $ m-r $ et $ m+r $ sont premiers (et dire que je trouve que ma mère rabâche ! ). La conjecture de Goldbach équivaut à l'existence d'un rayon de primalité pour tout entier supérieur à $ 2 $ .
J'ai une question : est-il vrai que $ r<n-2 $ est rayon de primalité de $ n $ si et seulement si $ f(n^{2}-r^{2})=f(n^{2}-r^{2}-1) $?
Merci d'avance et bonne nuit.
Réponses
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Salut Sylvain,
c'est intimement lié au nombre de nombres que l'on peut écrire correctement en français avec les mots : "vingt", "cent", "mille", "quatre".
Je déconne :-)
mais à chaud combien en trouveras-tu mentalement avant de t'endormir ?
S -
J'ai horreur d'écrire les nombres en lettres, et ce depuis le CE (fin des années 80). Pourquoi ne pas vouloir écrire un roman avec des chiffres aussi ?
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Tant pis, tu aurais découvert et compris quelque chose.
S -
Est-ce que $[.]$ désigne la partie entière?
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Oui.
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Alors je suis peut-être très fatigué mais il me semble que l'on a $f(n)=n-1$ pour tout $n\geqslant 1$, non? (preuve: on montre facilement que $f(n)-f(n-1)=-\sum_{d\mid n, d\geqslant 2}\mu(d)=1$ pour tout $n\geqslant 2$ et puisque $f(1)=0$ on conclut par récurrence).
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Ah, peut-être. Je n'aurais pas dû sommer jusqu'à l'infini. Quid si on se restreint aux diviseurs de $ P_n$ supérieurs à 1 où $ P_n $ est le produit des $ \pi(\sqrt{2n-3}) $ premiers nombres premiers ?
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Et avant de proposer des conjectures tralala, les vérifier sur quelques exemples.
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La deuxième version, je l'ai testée pour $ n=16 $ et $ r=3 $ ainsi que pour $ n=20 $ et $ r=3 $ .
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$2 \times 2^2 + 7 = 15$ n'est pas premier.
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Heu ... $15=2\times 1^2+13$ et $13$ est premier.
Dit autrement : Si $n$ est impair, $\{n-2m^2/ m\in \mathbb N,\, n-2m^2>0\}$ contient un nombre premier.
Je ne sais pas si c'est vrai, mais pour de petits entiers je ne vois pas de contre-exemple.
Ça marche pour tous les entiers premiers (m=0), ceux de la forme p+2 où p est premier (m=1).
Cordialement. -
Désolé, j'avais mal lu la question.
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"Dans la veine de ce topic"
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Tel que c'est exprimé, l'assertion est : quels que soient $n$ et $m$ entiers, $n-2m^2$ est un nombre premier. Ce qui est faux bien sûr : $n=17$, $m=1$.
Est-ce que la question serait : pour tout $n$, il existe un entier $m$ et un nombre premier $p$ tel que $n=2m^2+p$ ? Cette conjecture semble fausse, le plus petit contre-exemple pourrait être $5777$ (le suivant $5993$ ; pas d'autres avant $100\,000$).
Edit : Précision : j'ai autorisé $m=0$. Si on force $m\ge1$, il y a d'autres contre-exemples plus petits, cf la page https://oeis.org/A060003 pointée ci-dessous. -
effectivement, c'était mal rédigé, mal quantifié. Mais comme, rédigé ainsi, il était évident que c'est faux, j'avais interprété.
Merci Math Coss pour le contre exemple.
Cordialement. -
Tu l'as testé sur DEUX exemples? Tu te fiches du monde?
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Math Coss a vu juste.
C'est en fait une conjoncture peu connue de Goldbach
https://blogdemaths.wordpress.com/2015/08/28/lautre-conjecture-de-goldbach/ .
Voir aussi OEIS A060003
Merci pour votre participation.
On ne sait jamais trop sur quel pied danser avec les conjonctures mais après les vérifications sur de très grands nombres comme 10^40, on peut dormir sur ses oreilles. Ainsi pour n =1, 2, 3 ...on vérifie bien que
[n^17+9] et [(n+1)^17+9] n'ont pas de facteurs communs ...non ? -
Je m'aperçois que la recherche Google donne le résultat
https://oeis.org/A010034
Source http://www.lifl.fr/~jdelahay/pls/062.pdf page 103 -
Ah, mon pauvre monsieur, tout ça c'est la faute à la conjoncture !C'est en fait une conjoncture peu connue de Goldbach -
@Shah : mon raisonnement est que si $ m $ est divisible par un diviseur de $ P_n $, alors $ f(m)>f(m-1) $ . Du coup si $ f(n^2-r^2)=f(n^2-r^2-1) $ avec $ r<n-2 $ , $ m : =n^2-r^2 $ est soit une puissance d'un nombre premier soit le produit de deux premiers, auquel cas $ r $ est rayon de primalité de $ n $ .
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[small]@Sylvain[/small] $\sum_{k=1}^n \mu(k) \lfloor n/k \rfloor=\sum_{k=1}^\infty \mu(k) \lfloor n/k \rfloor=1$ c'est la base du principe d'exclusion-inclusion utilisé dans les cribles et pour étudier les fonctions arithmétiques. Voir le bouquin d'Apostol.
Si tu t'intéressais vraiment à la conjecture de Goldbach, tu étudierais les méthodes utilisées dans la démonstration de la conjecture faible de Goldbach (théorème de Vinogradov) -
$ f(n) : =-\sum_{k\mid P_n, k>1}\mu(k)\left[\dfrac{n}{k}\right] $ compte le nombre d'entiers inférieurs à $ n $ divisibles par un premier inférieur à $ \sqrt{2n-3} $. En passant d'un entier $ m $ à son successeur, la valeur de $f(m) $ est augmentée de $ 1 $ si et seulement si $ m+1 $ est divisible par l'un de ces premiers. Dans le cas contraire ( $ f(m+1)=f(m) $ car $ f $ est croissante), on a a priori 3 possibilités :
1) $ m+1 $ est premier : impossible si $ m+1=n^2-r^2 $ avec $ r<n-2 $
2) $ m+1 $ est une puissance d'un nombre premier
3) $ m+1=(n-r)(n+r) $ est le produit de deux premiers, et alors $ r $ est rayon de primalité de $n $
Il reste à éliminer le cas 2). -
Si $P_n = \prod_{p \le n} p$ alors $\sqrt{2n-3}$ n'a rien à faire là dedans.
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Non, $ P_{n}=\prod_{p\le\sqrt{2n-3}} p$ .
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$\displaystyle\sum_{k | \ell} \mu(k) \lfloor n/k \rfloor = \sum_{k \mid \ell} \sum_{mk \le n} \mu(k) = \sum_{m \le n} \sum_{k \mid \gcd(m,\ell)} \mu(k) = \sum_{m \le n} 1_{gcd(m,\ell) = 1}$.
Donc pour $r \in\, ]\sqrt{n},n]$ : $\displaystyle\sum_{k \mid \prod_{p \le r} p} \mu(k) \lfloor n/k \rfloor = \sum_{m \le n} 1_{gcd(m,\prod_{p \le r} p) = 1}=\pi(n)-\pi(r)$.
Et alors ? Tu en déduis quoi ? Ben rien du tout, parce que ce qu'on est capable de déduire en quelques lignes de façon élémentaire est dans les bouquins comme celui d'Apostol. -
J'en déduis que $ f(n)=n-\pi(n)+\pi(\sqrt{2n-3}) $ .
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