Il s'agit de la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique (ici de raison 1).
Si $(u_k)_k$ est une suite arithmétique, alors :
$\sum_{k=1}^n u_k = \dfrac{n(u_1+u_n)}{2}$ où le facteur $n$ au numérateur est le nombre de termes dans une formule un peu plus générale.
Pour les entiers $a$ et $b$ tels que $a<b$ :
$\sum_{k=a}^b k = \dfrac{(b-a+1)(a+b)}{2}$
Mais cherches-tu quelque chose de précis, au fait ?
Salut.
En réfléchissant un peut à cette vidéo j'ai trouvé une fonction qui donne une valeur pour $n$ négatif grâce à la tangente hyperbolique. https://fr.wikipedia.org/wiki/Sigmoïde_(mathématiques)#.C3.89criture_alternative Ce n'est ni plus ni moins qu'une petite modification de la fonction (n(n+1))/2
Par contre je n'ai pas trouvé de fonction qui soit plus carrée et qui passe par 0.
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+\frac{2}{1+e^{-10001}}-1)(\frac{2}{1+e^{-10001}}-1)}{2}$
Après réflexion il serait plus sage d’écrire.
En commanssant par compter à partir de n=0
$\displaystyle \sum_{k=0}^{n}k=\frac{n(n+\frac{2}{1+e^{-\infty impaire}}-1)(\frac{2}{1+e^{-\infty impaire}}-1)}{2}$
Examples:
0 pour n=0
0+1pour n=1
0+1+2 pour n=2
0-1 pour n=-1
0-1-2 pour n=-2
J'aimerais trouver une fonction qui soit quant même mieux que $\dfrac{2}{1+e^{-n}}-1$
Il doit être possible de faire de même pour toutes les valeurs de s de zeta.
C'est à dire réécrire les fonctions pour que n soit juste pour l'ensemble des entier relatif voir des entier relatif imaginaire
PS: Mon niveau en mathématique ne me permet pas de traiter les zetas non triviaux.
Cordialement.
Formule générale pour les nombres triangulaires par paquet.
m détermine la taille des paquets.
$\forall n \wedge m \in \mathbb{Z}^*$
$\sum_{k=1}^{mn+\frac{m-1}{2}}k=\frac{m^2-1}{8}+m^2\sum_{k=1}^{n}k=\frac{(mn+\frac{m-1}{2})^2+mn+\frac{m-1}{2}}{2}$
On peut se demander si il est possible de trouver une formule par paquet pour le Carré parfait voir trouver une formule générale pour tous les zêta entier relatif.
PS: pour m=0 on trouve $\frac{-1}{8} \neq \frac{5}{16}$ et pour tous les m paires je n'est pas encore vérifier, "pas évident".
pour m impaires je pense que c'est bon.
Au passage.
Acceleration des paquets.
$\sum_{k=1}^{\frac{n(n+1)}{2}-1}k=3\sum_{k=1}^{n+1}\frac{k(k+1)}{2}$ https://en.wikipedia.org/wiki/Tetrahedral_number
A se demander si on ne peut pas obtenir le Pentatope numbers a partir du Tetrahedral number?
Je conclus que l'équation est juste pour les nombres impair.
J'ai trouvé une autre formule pour les nombres pair, rien de passionnant.
Se qui pourrait être intéressant serait de faire l'inverse forser les nombres impair à suivre les nombres pair et trouver l'inégalité -1/12.
rigolo, le débat s'est lancé (ailleurs sur FB) concernant cette même somme mais je n'ai pas eu le temps de regarder la démo qui donne $\dfrac{-1}{8}$, qqun peut me faire un résumé?
Question subsidiaire: $\pi$ nombre univers???
voilà, troller n'est amusant qu'avec des gens de bonne compagnie! (dixit Kurt Gödel je crois... ou son psychiatre)
Décaler une somme arithmétique convergent ne pose pas de problème, mais pour une somme arthritique divergente!
Je remercie Ramanujan pour cette inégalité.
Sans Ramanujan je n' aurais jamais découvert la fonction zéta.
Il me reste pas mal de chemin avant d'avoir une vision globale.
Au passage:
-1/12 est l'aire entre la fonction $\frac{n(n+1)}{2}$ et l'axe des abscisses.
-1/8 est la tangente de la fonction $\frac{n(n+1)}{2}$ en $n=\frac{-1}{2}$
Les zéros triviaux on une aire nul mais la tangente en $n=\frac{-1}{2}$ n'est pas nul.
Example:
Tangente du carré parfait en $n=\frac{-1}{2}$, $y=\frac{-2n-1}{24}$.
Merci Cidrolin pour cette passionnante vidéo. Je n'arrive à la visualiser que dans un petit rectangle, que je n'arrive pas à agrandir, est-ce normal ?
Mon opinion est qu'il ne faut pas avoir une réaction de rejet systématique devant la sommation de certaines séries divergentes. Si de grands esprits mathématiques comme Euler, Borel, Hardy, et maintenant Ramis, n'ont pas dédaigné ce sujet, on ne peut l'écarter sommairement.
Bien sûr il faut le faire sérieusement et ne pas affirmer n'importe quoi pour autant.
On en avait déjà parlé ici : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1492270,1494832#msg-1494832
Bonne journée.
Fr. Ch.
N.B. Incidemment, quelqu'un sait-il si Jean-Pierre Ramis (1943-) a un degré de parenté avec feu l'inspecteur général Edmond Ramis (1918-1996) ?
Merci beaucoup, depasse.
Avant d'être Inspecteur général, Edmond Ramis est l'auteur d'ouvrages qui peuvent être encore utiles aujourd'hui. Personnellement je lui voue une grande reconnaissance car il m'a confié des Terminales C puis une classe préparatoire, et m'a manifesté de l'estime pour mes activités mathématiques.
Il a dû être très heureux de voir la carrière de son fils.
Il serait intéressant d'avoir une biographie d'Edmond Ramis. C'était un méridional je pense.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
Salut, je ne savais pas quoi faire de ma soirée. $$\sum_{k=1}^{no}k=n^2(\sum_{l=1}^{o}l)-o\sum_{m=0}^{n-1}m$$ $$\sum_{k=1}^{no}k=n^2\frac{o(o+1)}{2}-o\frac{n(n-1)}{2}$$ l'histoire du $\frac{-1}{8}$ est due au fait que $x^2 \mod 8 =1 $ pour $x$ impair et que celui qui présente la vidéo ne respecte pas la borne supérieure. Exemple : $x=2y-1$ $$\frac{{(2y-1)}^2-1}{8}=\sum_{k=1}^{y}k$$ $x=4y$ $$\frac{{(4y)}^2}{8}=-4+6\sum_{k=1}^{y}k$$ $x=4y-2$ $$\frac{{(4y-2)}^2+4}{8}=-3+4\sum_{k=1}^{y}k$$ Reste a fouiner avec d'autres modulo. Avec 4 ça fonctionne par exemple, 3 ça fonctionne aussi. $$\frac{{(3y-2)}^2+2}{3}=2+\sum_{k=1}^{y}-7\sum_{l=1}^{k}6=2-7y+6\sum_{k=1}^{y}k$$ Bref on peut écrire une tripoté d’équations qui met en relation $x^2$ et $\sum x$ Avec un peu de réflexion on pourrait même prouver que $1+2+3+\ldots=\frac{-1}{3}$ à condition d'oublier la borne supérieure.
Réponses
a et b doivent être positif je chercherais demain pour a et b négatif.
Si $(u_k)_k$ est une suite arithmétique, alors :
$\sum_{k=1}^n u_k = \dfrac{n(u_1+u_n)}{2}$ où le facteur $n$ au numérateur est le nombre de termes dans une formule un peu plus générale.
Pour les entiers $a$ et $b$ tels que $a<b$ :
$\sum_{k=a}^b k = \dfrac{(b-a+1)(a+b)}{2}$
Mais cherches-tu quelque chose de précis, au fait ?
Pardon pour le dérangement.
En réfléchissant un peut à cette vidéo j'ai trouvé une fonction qui donne une valeur pour $n$ négatif grâce à la tangente hyperbolique.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Sigmoïde_(mathématiques)#.C3.89criture_alternative
Ce n'est ni plus ni moins qu'une petite modification de la fonction (n(n+1))/2
Par contre je n'ai pas trouvé de fonction qui soit plus carrée et qui passe par 0.
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+\frac{2}{1+e^{-10001}}-1)(\frac{2}{1+e^{-10001}}-1)}{2}$
Après réflexion il serait plus sage d’écrire.
En commanssant par compter à partir de n=0
$\displaystyle \sum_{k=0}^{n}k=\frac{n(n+\frac{2}{1+e^{-\infty impaire}}-1)(\frac{2}{1+e^{-\infty impaire}}-1)}{2}$
Examples:
0 pour n=0
0+1pour n=1
0+1+2 pour n=2
0-1 pour n=-1
0-1-2 pour n=-2
J'aimerais trouver une fonction qui soit quant même mieux que $\dfrac{2}{1+e^{-n}}-1$
Il doit être possible de faire de même pour toutes les valeurs de s de zeta.
C'est à dire réécrire les fonctions pour que n soit juste pour l'ensemble des entier relatif voir des entier relatif imaginaire
PS: Mon niveau en mathématique ne me permet pas de traiter les zetas non triviaux.
Cordialement.
m détermine la taille des paquets.
$\forall n \wedge m \in \mathbb{Z}^*$
$\sum_{k=1}^{mn+\frac{m-1}{2}}k=\frac{m^2-1}{8}+m^2\sum_{k=1}^{n}k=\frac{(mn+\frac{m-1}{2})^2+mn+\frac{m-1}{2}}{2}$
On peut se demander si il est possible de trouver une formule par paquet pour le Carré parfait voir trouver une formule générale pour tous les zêta entier relatif.
PS: pour m=0 on trouve $\frac{-1}{8} \neq \frac{5}{16}$ et pour tous les m paires je n'est pas encore vérifier, "pas évident".
pour m impaires je pense que c'est bon.
Au passage.
Acceleration des paquets.
$\sum_{k=1}^{\frac{n(n+1)}{2}-1}k=3\sum_{k=1}^{n+1}\frac{k(k+1)}{2}$
https://en.wikipedia.org/wiki/Tetrahedral_number
A se demander si on ne peut pas obtenir le Pentatope numbers a partir du Tetrahedral number?
Je conclus que l'équation est juste pour les nombres impair.
J'ai trouvé une autre formule pour les nombres pair, rien de passionnant.
Se qui pourrait être intéressant serait de faire l'inverse forser les nombres impair à suivre les nombres pair et trouver l'inégalité -1/12.
rigolo, le débat s'est lancé (ailleurs sur FB) concernant cette même somme mais je n'ai pas eu le temps de regarder la démo qui donne $\dfrac{-1}{8}$, qqun peut me faire un résumé?
Question subsidiaire: $\pi$ nombre univers???
voilà, troller n'est amusant qu'avec des gens de bonne compagnie! (dixit Kurt Gödel je crois... ou son psychiatre)
F.D.
j'ai vu le e-day et non je ne crois pas que ce soit mieux qu'une conjecture, comme $\pi$, snif...
F.D.
PS: vidéo vue, c'est de la meumeu pour neuneu...
* Ramanujan
$A=+1-1+1-...=1-A=\frac{1}{2}$
puis $B=+1-2+3-...=\frac{1}{4}$
$N=+1+2+3+...=\frac{-1}{12}$
* MuchLowerThanThat
$N=1+2+3+...=1+9N=\frac{-1}{8}$
Décaler une somme arithmétique convergent ne pose pas de problème, mais pour une somme arthritique divergente!
Je remercie Ramanujan pour cette inégalité.
Sans Ramanujan je n' aurais jamais découvert la fonction zéta.
Il me reste pas mal de chemin avant d'avoir une vision globale.
Au passage:
-1/12 est l'aire entre la fonction $\frac{n(n+1)}{2}$ et l'axe des abscisses.
-1/8 est la tangente de la fonction $\frac{n(n+1)}{2}$ en $n=\frac{-1}{2}$
Les zéros triviaux on une aire nul mais la tangente en $n=\frac{-1}{2}$ n'est pas nul.
Example:
Tangente du carré parfait en $n=\frac{-1}{2}$, $y=\frac{-2n-1}{24}$.
ici
cordialement
Paul
Amicalement
Mon opinion est qu'il ne faut pas avoir une réaction de rejet systématique devant la sommation de certaines séries divergentes. Si de grands esprits mathématiques comme Euler, Borel, Hardy, et maintenant Ramis, n'ont pas dédaigné ce sujet, on ne peut l'écarter sommairement.
Bien sûr il faut le faire sérieusement et ne pas affirmer n'importe quoi pour autant.
On en avait déjà parlé ici :
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1492270,1494832#msg-1494832
Bonne journée.
Fr. Ch.
N.B. Incidemment, quelqu'un sait-il si Jean-Pierre Ramis (1943-) a un degré de parenté avec feu l'inspecteur général Edmond Ramis (1918-1996) ?
Amicalement
Amicalement
Paul
merci pour le cours sur les fonctions résurgentes, ils ne sont pas courants sur le web
F.D.
Chaurien, pas sûr que j'aie su t'envoyer mon MP sur la filiation ci-dessus.
Une source de plus que la mienne: ici
Cordialement
Paul
Avant d'être Inspecteur général, Edmond Ramis est l'auteur d'ouvrages qui peuvent être encore utiles aujourd'hui. Personnellement je lui voue une grande reconnaissance car il m'a confié des Terminales C puis une classe préparatoire, et m'a manifesté de l'estime pour mes activités mathématiques.
Il a dû être très heureux de voir la carrière de son fils.
Il serait intéressant d'avoir une biographie d'Edmond Ramis. C'était un méridional je pense.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
Exemple : $x=2y-1$ $$\frac{{(2y-1)}^2-1}{8}=\sum_{k=1}^{y}k$$
$x=4y$ $$\frac{{(4y)}^2}{8}=-4+6\sum_{k=1}^{y}k$$
$x=4y-2$ $$\frac{{(4y-2)}^2+4}{8}=-3+4\sum_{k=1}^{y}k$$
Reste a fouiner avec d'autres modulo.
Avec 4 ça fonctionne par exemple, 3 ça fonctionne aussi.
$$\frac{{(3y-2)}^2+2}{3}=2+\sum_{k=1}^{y}-7\sum_{l=1}^{k}6=2-7y+6\sum_{k=1}^{y}k$$
Bref on peut écrire une tripoté d’équations qui met en relation $x^2$ et $\sum x$
Avec un peu de réflexion on pourrait même prouver que $1+2+3+\ldots=\frac{-1}{3}$ à condition d'oublier la borne supérieure.
C'est expliqué de manière très simple.