Coefficient de répartition, nombres premiers
dans Shtam
Bonjour,
Qu'est-ce que le coefficient de répartition pour une série d'entiers ?
C'est un coefficient qui calcule le fait de la distribution régulière ou irrégulière de nombres entiers sur une étendue E allant de 1 à x .
Quelle est sa formule ?
Soit une étendue E d'entiers allant de 1 à x ,
soit une quantité i d'éléments q choisis dans E ,
soient q1, q2...qi , avec 1 <= i <= x ,
alors on peut donner au coefficient de répartition le nom de "C" tel que
...........................................C = (( q1+q2+...+qi ) / i ) / ( x+1 )
C est compris dans le conditionnement : 0 < C < 1
Un exemple pour être clair :
Soit une étendue E pour laquelle x = 10
soit i = 4
soient q1=1, q2=5, q3=6, q4=10
C = (( 1+5+6+10 ) / 4 ) / 11 = 0,5....=> C = 0,5 est signe d'une répartition équilibrée de part et d'autre du milieu "physique" de E.
La notion de milieu physique ici est l'interstice entre 5 et 6 :
- à gauche de l'interstice ( 5 , 6 ) il manque les éléments 2, 3, 4
- à droite de l'interstice ( 5 , 6 ) il manque les éléments 7,8,9, de façon symétrique.
Pour x impair, le milieu physique est égal à Partie Entière( x / 2 ) + 1
Pour x = 9 le milieu physique est PE( 9 / 2 ) + 1 = PE( 4,5 ) + 1 = 4 + 1 = 5
Soit x = 9
i = 3
q1=1, q2=5, q3=9, alors C = (( 1 + 5 + 9 ) / 3 ) / 10 = 0,5....=> C = 0,5, signe d'une répartition équilibrée.
Cette notion de milieu physique est très importante pour étudier la répartition d'éléments dans un ensemble selon ma méthode : si les éléments
"q à gauche" du milieu physique sont les symétriques des éléments "q à droite", alors on aura une répartition homogène et régulière qui sera
décrite par un C = 0,5 , que x soit pair ou impair. Ce milieu physique est une notion méta-mathématique et s'avère essentielle.
Maintenant, direz-vous, on peut avoir des éléments n'offrant pas de régularité de répartition comme il est décrit ci-dessus.
Bien sûr, et c'est là où cela devient intéressant.
Soit x = 10
soit i = 3
soient q1=1, q2=3, q3=6, alors C = (( 1+3+6 ) / 3 ) / 11 = 0,303.....( A )
soient q1=3, q2=8, q3=9, alors C = (( 3+8+9 ) / 3 ) / 11 = 0,606.....( B )
=> Le C de la situation ( A ) est le reflet d'une répartition plutôt à gauche du milieu physique.
=> Le C .......................( B ).........................................................à droite..................................
Il s'ensuit que, considérant tous les "E" possibles dans l'ensemble des entiers naturels privés de zéro, tous les i éléments et les qi choisis,
on peut à chaque disposition donner une "photo" de répartition par un calcul approprié de C, coefficient de répartition.
J'ai choisi de m'intéresser à la répartition des nombres premiers, non par tranches de puissances de 10 : 100, 1000, 10000, 100000...etc
mais selon des étendues "E" fonction des nombres premiers :
- Les carrés des nombres premiers ( de 2 à 173 ) pour fixer "x" .
- Les cubes des nombres premiers ( de 2 à 31 ).........................
- Les factorielles de nombres premiers ( de 2(!) à 13(!) si (!) veut dire "factorielle de nombres premiers" ) pour fixer x.
Pour rester dans la convention mathématique actuelle, je considère que 1 n'est pas premier.
Il est remarquable que C prend une valeur C = 0,4... tendant lentement vers 0,5 plus on va vers de hautes valeurs de x.
Je tente de vous joindre mon fichier Excel de résultats de calculs, afin de les commenter avec vous.
Il est impossible de joindre un fichier Excel : c'est facheux ! Je vais tenter plus tard de joindre des fichiers jpeg.
J'aurai au moins introduit mon sujet.
Cordialement,
Qu'est-ce que le coefficient de répartition pour une série d'entiers ?
C'est un coefficient qui calcule le fait de la distribution régulière ou irrégulière de nombres entiers sur une étendue E allant de 1 à x .
Quelle est sa formule ?
Soit une étendue E d'entiers allant de 1 à x ,
soit une quantité i d'éléments q choisis dans E ,
soient q1, q2...qi , avec 1 <= i <= x ,
alors on peut donner au coefficient de répartition le nom de "C" tel que
...........................................C = (( q1+q2+...+qi ) / i ) / ( x+1 )
C est compris dans le conditionnement : 0 < C < 1
Un exemple pour être clair :
Soit une étendue E pour laquelle x = 10
soit i = 4
soient q1=1, q2=5, q3=6, q4=10
C = (( 1+5+6+10 ) / 4 ) / 11 = 0,5....=> C = 0,5 est signe d'une répartition équilibrée de part et d'autre du milieu "physique" de E.
La notion de milieu physique ici est l'interstice entre 5 et 6 :
- à gauche de l'interstice ( 5 , 6 ) il manque les éléments 2, 3, 4
- à droite de l'interstice ( 5 , 6 ) il manque les éléments 7,8,9, de façon symétrique.
Pour x impair, le milieu physique est égal à Partie Entière( x / 2 ) + 1
Pour x = 9 le milieu physique est PE( 9 / 2 ) + 1 = PE( 4,5 ) + 1 = 4 + 1 = 5
Soit x = 9
i = 3
q1=1, q2=5, q3=9, alors C = (( 1 + 5 + 9 ) / 3 ) / 10 = 0,5....=> C = 0,5, signe d'une répartition équilibrée.
Cette notion de milieu physique est très importante pour étudier la répartition d'éléments dans un ensemble selon ma méthode : si les éléments
"q à gauche" du milieu physique sont les symétriques des éléments "q à droite", alors on aura une répartition homogène et régulière qui sera
décrite par un C = 0,5 , que x soit pair ou impair. Ce milieu physique est une notion méta-mathématique et s'avère essentielle.
Maintenant, direz-vous, on peut avoir des éléments n'offrant pas de régularité de répartition comme il est décrit ci-dessus.
Bien sûr, et c'est là où cela devient intéressant.
Soit x = 10
soit i = 3
soient q1=1, q2=3, q3=6, alors C = (( 1+3+6 ) / 3 ) / 11 = 0,303.....( A )
soient q1=3, q2=8, q3=9, alors C = (( 3+8+9 ) / 3 ) / 11 = 0,606.....( B )
=> Le C de la situation ( A ) est le reflet d'une répartition plutôt à gauche du milieu physique.
=> Le C .......................( B ).........................................................à droite..................................
Il s'ensuit que, considérant tous les "E" possibles dans l'ensemble des entiers naturels privés de zéro, tous les i éléments et les qi choisis,
on peut à chaque disposition donner une "photo" de répartition par un calcul approprié de C, coefficient de répartition.
J'ai choisi de m'intéresser à la répartition des nombres premiers, non par tranches de puissances de 10 : 100, 1000, 10000, 100000...etc
mais selon des étendues "E" fonction des nombres premiers :
- Les carrés des nombres premiers ( de 2 à 173 ) pour fixer "x" .
- Les cubes des nombres premiers ( de 2 à 31 ).........................
- Les factorielles de nombres premiers ( de 2(!) à 13(!) si (!) veut dire "factorielle de nombres premiers" ) pour fixer x.
Pour rester dans la convention mathématique actuelle, je considère que 1 n'est pas premier.
Il est remarquable que C prend une valeur C = 0,4... tendant lentement vers 0,5 plus on va vers de hautes valeurs de x.
Je tente de vous joindre mon fichier Excel de résultats de calculs, afin de les commenter avec vous.
Il est impossible de joindre un fichier Excel : c'est facheux ! Je vais tenter plus tard de joindre des fichiers jpeg.
J'aurai au moins introduit mon sujet.
Cordialement,
Réponses
-
Si j'ai bien compris, tu dis que pour tout $n \in \N^*$, pour toute partie $A$ de $1,n$, alors :
$\sum_{p \in A} p < card(A)(n+1)$
(ce qui est vrai vu que $\forall p \in A, p<=n$, alors $\sum_{p \in A} p \leq card(A)n < card(A)(n+1) $
Ou bien je n'ai rien compris...
edit :effectivement, je n'ai pas compris la seconde partie -
Bonjour,
Je vous joins un fichier de calcul de C = (( q1+q2+...+qi) / i ) / ( x+1 ) pour des x choisis comme les carrés des premiers nombres premiers.
Vous verrez que le Cnp ( Coefficient de répartition rapporté au nombres premiers ) varie de 0,5 à 0,425 puis à 0,437 pour prendre pour
valeur 0,469 pour x=173²
Pour x=2² C = (( 2 + 3 ) / 2 / 5 = 0,5
Il est remarquable que pour les carrés de nombres premiers suivants, C tendent lentement vers 0,5 sans l'atteindre jamais, nous pourrons le voir.
Cordialement, -
Bonjour,
Nous venons de voir que le coefficient de répartition "C" rapporté aux nombres premiers ( Cnp ) en fonction d'étendues "E" fonction des carrés des nombres premiers tend lentement de 0,4... vers 0,5 :
Ce que je trouve remarquable, c'est que la distribution des nombres premiers est irrégulière, et que ce coefficient est quasi constant, légèrement évolutif vers 0,5
Ce qui montre qu'il y a plus de nombres premiers "à gauche du milieu physique" de x = p² qu'à droite : on sait que les nombres composés sont
plus nombreux que les nombres premiers lorsque l'on "déroule" N
J'ai calculé C pour les nombres composés : Ccp pour les mêmes étendues E avec x allant de p²=2² jusqu'à p²=173²
Ccp prend les valeurs que vous constatez dans le tableau ci-dessous : Ccp tend vers 0,5 "par le haut", ce qui tend à montrer que les nombres
composés sont plus nombreux "à droite du milieu physique" de p².
Ceci est conforme à la réalité.
Cordialement, -
Bonjour,
Le coefficient de répartition C = (( q1 + q2 +......+ qi ) / i ) / ( x + 1 ) a été rapporté aux q éléments premiers et à la borne x = p^3
de même qu'à la borne x = p ( ! ) où p ( ! ) veut dire "factorielle de nombres premiers".
Vous pourrez constater avec moi que C prend des valeurs quasi constantes et légèrement évolutive vers 0,5 : 0,46
Ce que je trouve remarquable, c'est que C est presque toujours le même malgré le fait que l'on fasse varier la borne x :
x = p² ( de 2² à 173² )
x = p^3 ( de 2^3 à 31^3 )
x = p ( ! ) ( de 2 ( ! ) à 13 ( ! )
La répartition des nombres premiers n'est pas équivalente !
Il semble que C = 0,46....... nous indique factuellement que les nombres premiers sont plus nombreux "à gauche du milieu physique" de x.
Le prochain envoi sera sur le coefficient de répartition des nombres composés sur x = p^3 et x = p ( ! ).
Cordialement, -
Bonjour,
Ci-dessous, le tableau de calcul du coefficient Ccp ( coefficient de répartition rapporté aux nombres composés ) pour x = 31^3 et 13 ( ! ) en valeurs maximales.
Ccp = 0,5037....
Le coefficient de répartition se rapproche de plus en plus de 0,5 : nous verrons qu'il ne peut pas atteindre cette valeur.
Toujours est-il que Ccp = 0,5037... nous amène à conclure qu'il y a plus de nombres composés "à droite du milieu physique" de x.
Pour x = 3^3 = 27
le milieu physique est Partie-Entière( 27 / 2 ) + 1 = 13 + 1 = 14
Les nombres composés se répartissent comme ci-dessous :
4 6 8 9 10 12 14 15 16 18 20 21 22 24 25 26 27 <= nous voyons clairement qu'il y a plus de nombres composés à droite de 14
Somme ( 4 à 27 ) = 277
i = 17
x + 1 = 28
Ccp = 277 / 17 / 28 = 0,581932773
De toutes façons, c'est une chose connue :
( A ) Au début de la numération, les nombres premiers sont plus nombreux ; ils s'espacent en allant vers les grands nombres.
( B ) En allant vers les grands nombres, ce sont les nombres composés qui sont les plus nombreux.
En ( A ) nous calculons un coefficient de répartition Cnp = 0,4694... pour de grandes valeurs de x.
En ( B ) nous calculons un coefficient de répartition Ccp = 0,5037... pour de grandes valeurs de x.
Vous pouvez visualiser Ccp dans le tableau ci-dessous.
Cordialement, -
Bonjour,
Le coefficient de répartition C = (( q1 + q2+....+ qi ) / i ) / ( x + 1 ) comme nous l'avons vu a été rapporté aux nombres premiers et aux nombres
composés.
Il apparaît dans les tableaux :
Cnp pour les nombres premiers
Ccp pour les nombres composés.
Cnp tend vers 0,5 par des valeurs 0,46...
Ccp tend vers 0,5 par des valeurs 0,503...
L'on pourrait penser que Cnp + Ccp tende peu à peu vers 1 ? Et bien non, Cnp + Ccp stagne à 0,97... comme nous pouvons le voir dans les tableaux ci-dessous.
Cordialement, -
Bonjour,
Si Cnp + Ccp "stagne" à 0,97... cela veut dire que Cnp ( 0,46... ) et Ccp ( 0,503... ) ne varient pas beaucoup.
L'étendue E avec x = p² ( p premier de 2 à 173 ) nous donne Cnp( 173² ) = 0,469438645 ce qui est un coefficient de répartition descriptif de la
répartition plutôt à gauche du milieu physique de 173².
Sur cette même étendue E où x = 173² , Ccp = 0,503730255, coefficient descriptif de la répartition plutôt à droite du milieu physique de 173².
Pour x = 173² , Cnp + Ccp = 0,973168901 => Cnp + Ccp = quasi constante => Cnp et Ccp quasi constants.
A l'analyse des tableaux, il ressort que ce sont les étendues E = p² qui décrivent le mieux une répartition sans trop de variation autour de 0,4...
Les autres étendues, rapportées aux nombres premiers atteignent 0,4694...avec moins de rapidité et semble-t-il , parce que
x = 173² , x = 31^3 et 13(!) ont des valeurs proches :
173² = 29.929 => C(173²) = 0,469438645
31^3= 29.791 => C(31^3) = 0,46947505
13(!)= 30.030 => C(13(!) ) = 0,469003756
Avant d'affirmer que Cnp, Coefficient de répartition
C = (( q1 + q2+....+qi ) / i ) / ( x + 1 ) rapporté aux nombres premiers est une quasi constante, il nous faut montrer pourquoi
Cnp et Ccp n'atteindrons jamais 0,5 dans leur progression apparente.
En effet, choisissons E une étendue de 1 à "n"
Prenons les n éléments de 1 à n ( soit i = n )
C = (( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +....+ n ) / n / ( n + 1 ) <= nous avons dit qu'une répartition équilibrée, comme c'est le cas ici, donne 0,5
0,5 = Somme ( 1 à n ) / n / ( n + 1 ) ou
Somme ( 1 à n ) / n / ( n + 1 ) = 0,5 => Somme ( 1 à n ) / n = 0,5 ( n+ 1 ) => Somme ( 1 à n ) = 0,5 ( n+ 1 ) n
c'est à dire............................................Somme ( 1 à n ) = n ( n + 1 ) / 2 .......( A )
La somme des entiers de 1 à n est un cas particulier du coefficient de répartition
.............................................................C = (( q1 + q2 +....+ qi ) / i ) / ( x + 1 )......( B )
Nous voyons ici que 1/2 de la formule ( A ) est 0,5 de la formule ( B ).
Pour obtenir 1/2 , la formule ( A ) déroule tous les entiers jusqu'à n ( nous considérons que ( A ) et ( B ) sont des formules de répartition
des entiers dans une étendue donnée E.
Ainsi, il est évident qu'en ( B ) , les nombres premiers que nous prenons comme éléments q1=2 , q2=3 , q3=5 , etc
ne représentent pas la totalité des entiers sur E puisque l'on exclut les nombres composés.
De même pour le calcul du coefficient de répartition pour les nombres composés sur E puisque l'on exclut les nombres premiers.
Il s'ensuit que Cnp, décrivant une répartition plutôt à gauche ( 0,4694.... ) n'atteindra jamais 0,5 de ( A )
et que
Ccp, décrivant une répartition plutôt à droite ( 0,5037... ) n'atteindra non plus jamais 0,5.
Ayant montré que Cnp et Ccp n'atteindrons jamais 0,5 ( il se trouve qu'il n'ont pas une distribution équilibrée puisque les nombres composés
dépendent directement des nombres premiers ), Cnp + Ccp n'atteindra jamais 1.
Nous avons vu que Cnp + Ccp = 0,97.. en valeur à peu près stable.
Donc Cnp et Ccp ne peuvent pas beaucoup varier.
C(173²) = 0,469438645 est donc une quasi constante dans la répartition erratique des nombres premiers.
A voir pour de plus grandes valeurs, bien évidemment,
Cordialement, -
Bonjour,
Je viens de calculer le coefficient de répartition rapporté aux nombres premiers pour les bornes x = 179² et x = 181² , Cnp(179²) et Cnp(181²) .
J'ai aussi calculé le coefficient de répartition rapporté aux nombres composés pour ces mêmes bornes , Ccp(179²) et Ccp(181²)
afin de calculer Cnp+Ccp pour voir s'il stagnait toujours à 0,97..
Cnp(179²) = 51576685 / 3436 / 34042 = 0,4684688...Ccp(179²) = 461752175 / 28604 / 32042 = 0,5038051 => Cnp+Ccp = 0,9722739
Cnp(181²) = 54037795 / 3512 / 32762 = 0,4696482...Ccp(181²) = 482620145 / 29248 / 32762 = 0,5036616 => Cnp+Ccp = 0,9733099
Cnp+Ccp stagne toujours à 0,97.. => Cnp et Ccp varient peu.
Peut-on conjecturer que Cnp(181²) = 0,4696482 est une quasi-constante dans la répartition des nombres premiers ?
Cordialement, -
Bonjour,
Nous avons dit au début que le coefficient de répartition C = (( q1 + q2 +.....+ qi ) / i ) / ( x + 1 ) était égal à 0,5 en cas de répartition régulière
sur l'étendue E bornée par x.
Nous pouvons ajouter les éléments q doivent être répartis de façon symétrique par rapport au milieu physique de E. Voyons pour x = 25
Prenons les impairs : ( 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25 ) , Somme( 1 à 25 ) = 169, i = 13 , x + 1 = 26 et calculons C ;
C = 169 / 13 / 26 = 13² / 13 / 26 = 13 / 26 = 1 / 2 = 0,5
Prenons les pairs pour x = 25 : ( 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24 ) , Somme( 2 à 24 ) = 156, i = 12 , x + 1 = 26 et calculons C ;
C = ( 156 / 12 ) / 26 = 13 / 26 = 1 / 2 = 0,5
Nous voyons que les deux séries de nombres impairs et de nombres pairs jusqu'à 25 sont complémentaires :
C ( impairs de 1 à 25 ) = Ca = 0,5
C ( pairs de 2 à 24 ).... = Cb = 0,5
En ce cas, et seulement en ce cas, Ca + Cb = 0,5 + 0,5 = 1
Pour une étendue E bornée par x, la série des nombres premiers est certes complémentaire des nombres composés sur la même étendue,
mais ces deux séries ne sont pas réparties de façon régulières et symétriques par rapport au milieu physique de E.
C'est pourquoi si Cnp = 0,471... tend lentement vers 0,5
....................et si Ccp = 0,503... tend lentement vers 0,5 ,
Cnp + Ccp ne peux pas être égal à 1 , même si x tend vers l'infini. ( Nous calculons que Cnp + Ccp = 0.97.... pour l'instant ).
Je continue à calculer Cnp et Ccp pour de plus en plus grandes valeurs ( j'en suis à x = 257² ).
Jusqu'à maintenant tout se tient.
Cordialement, -
Bonjour,
J'ai calculé le coefficient de répartition Cnp pour x allant de 179² ( 32.041 ) à 317² ( 100.489 ) concernant les nombres premiers inclus dans ces
étendues, ainsi que Ccp, le coefficient de répartition des nombres composés associés complémentaires des nombres premiers sur ces étendues,
et Cnp + Ccp.
Cnp(179²) = 0,46846878 , Ccp(179²) = 0,503805106 et pour 179², Cnp + Ccp = 0.972273886 ( voir tableaux ci-dessous )
...
Cnp(317²) = 0,473520274 , Ccp(317²) = 0,502817404 et pour 317², Cnp + Ccp = 0,976337678 ( .."........".............".......... )
Ces valeurs ( Cnp et Ccp ) varient très peu : Cnp(p²) = 0,468... puis 0,473... , Ccp(p²) = 0,503... puis 0,502...
Cnp + Ccp stagne à 0,97... Tout ceci tend à montrer que la répartition des nombres premiers et des nombres composé associés
............................................est relativement équilibrée si l'on prend un bornage au moins égal à x = p² si p est un nombre premier.
............................................Nous verrons dans le prochain envoi les étendues E bornées par x = p^3 et x = 10^n. -
Bonjour,
Ici, je calcule le coefficient de répartition rapporté aux nombres premiers pour des étendues bornées par x = p^3 ( p premier ) et 10^n ( n entier ).
Le constat est le même que précédemment ( voir tableaux ci-dessous ) : Cnp tend vers 0,5 ( par en dessous )
....................................................................................................................Ccp tend vers 0,5 ( par au-dessus )
................................................................................................................et Cnp + Ccp stagne à 0,97....
La borne x = 100.000 est proche de la borne x = 317² = 100.489 , d'où des Cnp et Ccp proches.
Mais gardons en tête le coefficient de répartition C = 0,473694184 pour x = 10^5 , ceci pour approximer des valeurs de sommes de nombres premiers pour des x = 10^n
Servons-nous de C = (( q1 + q2 +....+ qi ) / i / ( x + 1 ) => ( q1 + q2 +....+ qi ) = C.( x + 1 ).i , ou
pour un x donné en puissance de 10 et qi premiers Somme ( q1 à qi ) = C.i.( x + 1 )
Nous évaluerons i par i = x / ln ( x ) soit...........................Somme ( q1 à qi ) = 0,473694184.(( x / ln ( x )).( x + 1 )
Pour x = 1.000.000.000 ou x = 10^9 la somme des nombres premiers > 2 et < 10^9 est Sq( 10^9 ) telle que
..........................................................................Sq( 10^9 ) = 0,473694184.(( 10^9 / ln ( 10^9 )).1000000001
...........................................................................................= 0,473694184.( 48 254 942,4336946).1000000001
.........................................................................Sq( 10^9 ).= 2,286.10^16 ( environ... )
La valeur de Cnp peut être affinée ( plus proche de 0,5 ) en choisissant une borne x de plus en plus élevée, si possible en relation avec un carré de nombre premier ou un cube, sachant que Cnp et Ccp varient peu pour un Cnp + Ccp stagnant à 0,97....
Je redis une fois encore comme je trouve remarquable que ce coefficient de répartition C = (( q1 +q2 +....+ qi ) / i ) / ( x + 1 ) soit quasi constant,
avec une très faible évolution vers 0,5 , pour des nombres répartis de façon imprévisible comme les nombres premiers !
Donnant comme indication leur répartition relativement équilibrée ( on sait qu'il y a une infinité de nombres premiers, qu'il y en a plus en début de numération qu'en évoluant vers de grandes valeurs ) : ce coefficient de répartition est une indication intéressante :
il faudrait mettre tous les résultats présentés en tableaux : 0,5 est une limite pour Cnp et Ccp et Cnp + Ccp une quasi droite...
J'ai voulu montrer aussi que l'on pouvait utiliser le coefficient de répartition pour approximer des sommes de nombres premiers pour des
bornes x de grandes valeurs x = 10^n , x / ln ( x ) étant elle-même une approximation de plus en plus fine de la quantité des nombres
premiers pour de grandes valeurs de x.
Voici donc mes derniers tableaux.
Cordialement, -
Eh bien, l’obscurantisme a encore de beaux jours devant lui.
-
Bonjour,
En fait, je vais essayer de mettre ces résultats en courbes. Peut-être que cela vous sera plus parlant ?
Cordialement, -
@Dom
Ma formule du coefficient de répartition n'est pas en soi une conjecture, c'est un outil qui, effectivement, permet de faire des tests de répartition
régulière d'entiers choisis, ou irrégulière concernant les nombres premiers et les nombres composés ( issus des nombres premiers ).
Concernant les nombres premiers et les nombres composés, les valeurs calculées montrent qu'elles ne sont jamais que des tangentes à la
droite y = 0,5 si l'on mettait ces valeurs en courbes.
Cette formule, C = (( q1 + q2 +....+ qi ) / i ) / ( x + 1 ) , je l'ai sortie de mes neurones en mars 1999. Je sais montrer que C = 0,5 pour des
entiers régulièrement répartis sur une étendue E bornée par x, effectivement par des tests ( mais je vais m'atteler à la démonstration de cette
formulation ).
Ci-dessus, j'ai montré que la somme des entiers de 1 à n est un cas ( particulier ) de ma formule : Somme( 1 à n ) = 0,5.n.( n + 1 ) ,
d'où la conclusion que les nombres premiers ( les nombres composés ) n'étant pas régulièrement répartis, leur coefficient de répartition
n'atteindra jamais 0,5 , même si la borne x tend vers l'infini.
Ce que je nomme Cnp et Ccp varient très peu sur les bornages que j'ai pris : Cnp augmente plus vite que Ccp ne diminue,
cela implique que Cnp + Ccp augmente relativement lentement et prend une valeur 0,976... qui n'atteindra jamais 1 ( puisque Cnp et Ccp
n'atteindront jamais 0,5 ni l'un ni l'autre ).
J'espère avoir répondu selon ton attente.
Quoiqu'il en soit je vais fournir une démonstration de ma formule de coefficient de répartition ( je laisse tomber les courbes ).
Cordialement, -
Bonjour,
Pour démontrer la formule du coefficient de répartition C = (( q1 + q2 +....+ qi ) / i ) / ( x + 1 ) commençons par démontrer la formule dont nous
avons dit que c'est un cas particulier de C, à savoir Somme( 1 à n ) = 0,5.n.( n + 1 )
Deux cas sont à considérer : n est pair, et n est impair.
n pair : travaillons sur des exemples, pour que ce soit plus parlant.
n = 14
1.2.3.4.5.6.7.(7,5).8.9.10.11.12.13.14
J'appelle 7,5 le "milieu physique" de l'étendue de 1 à 14 : à gauche de 7,5 il y a 7 éléments ; 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
............................................................................................à droite de 7,5 il y a 7 éléments ; 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14
Ceci est bien équilibré autour du milieu physique 7,5 et de façon symétrique aussi.
On peut écrire les équivalences, par construction :
1 + 14 = 14 + 1
2 + 13 = 14 + 1
3 + 12 = 14 + 1
4 + 11 = 14 + 1
5 + 10 = 14 + 1
6 + 9...= 14 + 1
7 + 8...= 14 + 1
Somme( 1 à 14 ) = ( 1+14+2+13+3+12+4+11+5+10+6+9+7+8 ) = 7.( 14 + 1 ) = 14/2. ( 14 + 1 ) = 0,5.14.( 14 + 1 )
.......................................................Somme( 1 à 14 ) = 0,5.14.( 14 + 1 ) = 105
Nous remontons à l'expression du coefficient 0,5 de répartition équilibrée ( autour du "milieu physique" 7,5 ).
...........................................................Somme ( 1 à 14 ) / 14 / ( 14 + 1 ) = 0,5
Et, pour tout n pair, le processus est reconductible et donne en fin
...............................................................Somme ( 1 à n ) / n / ( n + 1 ) = 0,5
Dans l'exemple pris ci-dessus, n = 14 , on s'aperçoit que Somme( 1 à 14 ) / 14 est 105 / 14 = 7,5 ( ce que j'appelle le milieu physique et qui
est en fait une moyenne - je dois revoir mon vocabulaire.
Dans mon prochain envoi, je considérerai le cas n = impair pour Somme( 1 à n ) ) = 0,5.n.( n + 1 )
Cordialement, -
Heu...démontrer une formule connue depuis des lustres et dont un petit génie s'est Gaussé de son professeur...c'est bizarre, non ?
Je ne comprends pas ce que tu fais.
Tu parles de ce coefficient C. Ok !
Dans ce cas particuliers des entiers de $1$ à $n$.
Avec tes notations : $x=n$ et $i$ parcourt les entiers de $1$ à $n$.
Bon. La formule est une réécriture de la somme des $n$ premiers entiers non nuls.
Le mot démonstration est un peu fort...
Je pense même qu'on doit trouver que c'est une réécriture des sommes des termes de toute suite arithmétique.
Inutile de parler du cas impair, allons. -
@Dom
N'oublie pas que je suis sur Shtam, je suis censé être un amateur et j'en suis un, je suis autodidacte en ce qui concerne les nombres premiers.
Ne parlons plus de démonstration, mais laisse-moi parler du cas n = impair, car mon but est d'arriver à montrer que C peut concerner des
étendues "à trous" mais équilibrée et symétrique par rapport au point moyen.
Tout ceci pour remonter à ma formule de C, coefficient de répartition.
Merci de ne pas interrompre mon développement, sauf évidemment pour discuter puisque nous sommes sur un forum.
Cordialement, -
Je pense ne pas trop t'interrompre désormais.
-
@Dom
C'est vrai que tu y vas un peu fort. Et je crois pouvoir dire que ce n'est pas la première fois. -
Pour la défense de Dom.
"Ne parlons plus de démonstration" et "Merci de ne pas interrompre mon développement" ne nous vendent pas du rêve. -
Ha. Je ne pensais pas avoir cette image (d'y aller un peu fort).
Mais je veux bien faire mon Mea Culpa.
Rien ne me dérange, à vrai dire.
En effet "merci de ne pas interrompre" m'a semblé gonflé.
Mais qu'importe. Ce n'est pas grave. -
@Dom
Mais je déc.nne bien sûr. Tu n'es absolument pas du genre à y aller un peu fort. -
Bonsoir,
Merci à Millie pour son lien et pardon à Dom pour ma brusquerie.
Je continuerai ma présentation quand j'aurai un peu de temps.
Cordialement, -
Bonjour,
Je continue mon exposé :
n = impair
n = 15 par exemple
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 <= 8 est le milieu physique ( Partie-Entière(15/2)+1=7+1=8 )
7 éléments à gauche de 8, )
7 éléments à droite de 8.....) donnent une répartition équilibrée et symétrique par rapport à 8.
Ecrivons les équivalences qui par construction donnent
1 + 15 = 15 + 1 = 2.( 15 + 1 ) / 2
2 + 14 = 15 + 1 = 2.( 15 + 1 ) / 2
3 + 13 = 15 + 1 = 2.( 15 + 1 ) / 2
4 + 12 = 15 + 1 = 2.( 15 + 1 ) / 2
5 + 11 = 15 + 1 = 2.( 15 + 1 ) / 2
6 + 10 = 15 + 1 = 2.( 15 + 1 ) / 2
7 + ..9 = 15 + 1 = 2.( 15 + 1 ) / 2
........8 = ( 15 + 1 ) /2
D'où Somme( 1 à 15 ) = 1+15+2+14+3+13+4+12+5+11+6+10+7+9+8 = ( 7.2 + 1 ).( 15 + 1 ) / 2 = 0,5.15.( 15 + 1 )
et, finalement...............................................Somme( 1 à 15 ) = 0,5.15.( 15 + 1 )
L'on remonte à 0,5 comme coefficient de répartition équilibrée et symétrique par rapport au milieu physique :
.........................................................................Somme ( 1 à 15 ) / 15 / ( 15 + 1 ) = 0,5
Présentement, Somme( 1 à 15 ) = 120 et 120 / 15 = 8 <= il s'agit d'une moyenne, je peux le dire à la fin de l'exposé : puisque nous cherchions
à calculer la moyenne par formulation et non directement par addition.
Ainsi, Somme( 1 à n ) / n / ( n + 1 ) = 0,5 ressemble fort à C = (( q1 + q2 +....+qi ) / i / ( x+ 1 ) = 0,5
Au lieu d'une répartition suivie ( 1, 2, 3, 4, 5... ) choisissons une répartition à trous :
1, 2, 3.(4).(5).(6).7.(8).(9).(10).11.12.13 <= x = 13, i = 7 et x+1 = 14, la répartition est équilibrée
et symétrique par rapport à PE(13/2)+1= 7
Comme ci-dessus, nous avons
1 + 13 = 13 + 1 =2.( 13 + 1 ) / 2
2 + 12 = 13 + 1 =2.( 13 + 1 ) / 2
3 + 11 = 13 + 1 =2.( 13 + 1 ) / 2
........7 = ( 13 + 1 ) / 2
Somme( 1+2+3+7+11+12+13 ) = Somme( 1+13+2+12+3+11+7 ) = ( 3.2 + 1 ).( 13 + 1 ) / 2
.......................................................................................................= 7.( 13 + 1 ).0,5
et Somme( 1+2+3+7+11+12+13 ) / 7 / 14 = 0,5
..............................................49 / 7 / 14 = 0,5
Le processus est reconductible pour tout i impair et les éléments q choisis répartis de façon équilibrée
et symétrique par rapport au point moyen Somme ( q1+q2+...+qi ) / i valant aussi Partie-Entière( x/2 )+1
Choisissons maintenant une répartition équilibrée ( et symétrique... ) à trous pour i pair
1.(2).3.b]3,5[/b.4.(5).6 <= répartition équilibrée et symétrique autour du point moyen ( 1+3+4+6 ) / 4 = 3,5
Ecrivons :
1 + 6 = 6 + 1 = 2.( 6 + 1 ) / 2
3 + 4 = 6 + 1 = 2.( 6 + 1 ) / 2
alors Somme( 1+3+4+6 ) = 1+6+3+4 = ( 2.2 ).( 6 + 1 ) / 2 = 4.( 6 + 1 ) / 2
et.........................................14 / 4 / ( 6 + 1 ) = 0,5
Revenons maintenant au coefficient de répartition pour des éléments non répartis de façon équilibrée par rapport au point moyen.
a- Répartition plutôt à gauche du point moyen :
Etendue E = 99, i = 1, q1 = 1 et x + 1 = 100
C = (( q1 ) / i ) / ( x + 1 ) = 1 / 1 / 100 = 1 / 100 = 0,01
b- Répartition plutôt à droite du point moyen
E = 99, i = 1, q1 = 99 et x + 1 = 100
C = 99 / 1 / 100 = 0,99
L'on en tire la conclusion que 0,00.....01 <= C < 0,5 rend compte d'une répartition à trous à gauche du point moyen ( A )
...............................................0,5 < C <= 0,99....99 rend compte d'une répartition à trous à droite du point moyen......( B )
Si l'on revient aux tableaux de coefficient de répartition rapporté aux nombres premiers, nous sommes en situation ( A ), Cnp = 0,47...
..."...aux tableaux de coefficients de répartition rapportés aux nombres composés associés, nous sommes en situation ( B ), Ccp = 0,502...
Que rajouter sinon que ces répartitions à trous ne feront jamais atteindre des Cnp à 0,5 , ni des Ccp à 0,5. A fortiori Cnp + Ccp n'atteindra
jamais 1.
Il reste à retenir ceci que le coefficient de répartition C = (( q1+q2+...+qi ) / i ) / ( x + 1 ) fournit la donnée par ce calcul, si l'on choisit qi comme
éléments premiers que les nombres premiers ( et les nombres composés qui dépendent directement d'eux ), que, premiers ou composés,
ces nombres sont relativement répartis d'une façon proche de l'équilibre, si l'on prend pour les étendues E à analyser, des bornes x comme
x = p², x = p^3 ou x = p(!) - factorielles de nombres premiers.
Cf tableaux joints ci-dessus.
Cordialement, -
Bonjour,
Dans un autre article, je disais que l'on peut observer la chose suivante :
Soit P un nombre pair quel qu'il soit, et Q la quantité de nombres premiers à compter sur des intervalles donnés,
Q ( 0 , P/2 ) > Q ( P/2 + 1 , P ) et ceci parce que les nombres premiers sont de moins en moins nombreux quand on évolue vers l'infini.
Ce que l'on peut observer par un comptage, on peut aussi le calculer grâce au coefficient de répartition
Je fournis un exemple :
P = 100 => Q ( 0 , 50 ) = 15 , et 15 > Q ( 51 , 100 ) = 10
Calculons maintenant le coefficient de répartition pour l'étendue E ou x = P = 100 , i = 15 + 10 = 25 et x + 1 = 101
C = Somme( 2 à 97 ) / 25 / 101 = 0,41980198 <= répartition plutôt à gauche du milieu physique P/2 = 50
Voila encore un usage du coefficient de répartition C = (( q1 + q2 +.....+ qi ) / i ) / ( x + 1 )
Mais ce qui est le plus marquant, ce sont les résultats portés dans less tableaux ci-dessus où l'on voit que les nombres premiers grimpant
vers l'infini ont une tendance à une répartition harmonieuse, c'est à dire tendant vers le coefficient 0,5
Cordialement, -
En effet, par le théorème des nombres premiers, lorsque $x$ tend vers l'infini on a
\[\dfrac{\pi(x/2)}{\pi(x)}\sim\dfrac{\frac{x/2}{\ln x-\ln2}}{\frac{x}{\ln x}}\sim\frac12\,\frac{1}{1-\frac{\ln2}{\ln x}}\sim\frac12.\] Cela signifie que la proportion de nombres premiers inférieurs à $x/2$ parmi les nombres premiers inférieurs à $x$ tend vers $1/2$.
Et donc ? -
@Math Coss
@Dom
Bonjour
Votre formulation concernant la proportion de nombres premiers inférieurs à x/2 parmi les nombres premiers inférieurs à x tend vers 1/2 quand x tend vers l'infini est certainement exacte, et je vous remercie de me la soumettre.
Néanmoins, le coefficient de répartition 1/2 ( 0,5 ) intéresse des éléments q1, q2,..., qi choisis inférieurs ou égaux à x, éléments répartis de façon régulière et symétrique par rapport à ce que j'appelle le point moyen.
Ce coefficient 0,5 devient une limite quand on choisit des éléments q1, q2,..., qi nombres premiers inférieurs à p² ( voir les tableaux ) ou P,
nombre pair quant on calcule le coefficient de répartition afférent.
La similitude de nos limites, 1/2 la vôtre et 0,5 comme j'aime la nommer est pure coïncidence.
Votre formulation est juste, et mon coefficient de répartition appliqué aux nombres premiers est juste, tant qu'un calculateur le fera tourner...
C'est là où je peux rejoindre Dom dans son propos : mes calculs sont des tests et la conjecture que je peux exprimer est que, tant que l'on calculera le coefficient de répartition C = (( q1 + q2 +.....+ qi ) / i ) / ( x + 1 ) rapportés aux nombres premiers q pour un x = p² ( carré d'un nombre premier ) on aura 0,5 ( ou 1/2 ) pour limite.
Est-ce que c'est une bonne conclusion ?
Cordialement, -
Bonjour
Je m'adresse à Math Coss. En tant qu'autodidacte, j'ai l'impression de m'adresser à un géant des mathématiques.
Néanmoins, je vous fais partager ce que m'inspire votre équation tirée du TNP, que je résume ainsi :
A ~ B ~ C ~ 1/2 lorsque x tend vers l'infini, cela signifie donc que la proportion des nombres premiers inférieurs à x/2 parmi les nombres premiers inférieurs à x tend vers 1/2.
Si l'on fait tendre x vers l'infini dans A, on obtient une absurdité : Pi( x/2 ) / Pi ( x ) => x/2 avec x tendant vers l'infini est toujours l'infini, et donc Pi ( infini ) / Pi ( infini ) = infinité de nombres premiers / infinité de nombres premiers ne se pose pas ; infini / infini ne vaut ni 1 ni quoi que ce soit.
Donc, passons au B, sachant que B est ~ l'expression de A. Les réflexions que l'on peut poser sur x tendant vers l'infini dans ce membre B sont du même acabit que celles posées pour A : des divisions de l'infini par lui-même.
Donc, passons au C, sachant que C est ~ l'expression de B. Ici, effectivement lorsque x tend vers l'infini, C tend vers 1/2 puisque ln 2 / ln x tend vers zéro.
Pourtant passer de A à B, puis de B à C et de C à 1/2 par des ~ (approximativement) n'est pas une démarche rigoureuse : partant d'une expression du TMP on est arrive à un nombre approximativement égal à 1/2.
La loi de raréfaction des nombres premiers me fait poser ce postulat.
Soit E une étendue d'entiers allant de 1 à x,
soit E1 l'étendue regroupant les entiers allant de [ 1 à x/2 [
Soit E2 l'étendue regroupant les entiers allant de [ x/2 à x ]
Soit Q ( E1 ) la quantité de nombres premiers présents dans E1
Soit Q ( E2 ) la quantité de nombres premiers présents dans E2
Alors on a Q ( E1 ) > Q ( E2 ) Sachant que la raréfaction des nombres premiers est de plus en plus marquée lorsque l'on va vers l'infini.
Celui qui affirme Q ( E1 ) < Q ( E2 ) ou Q ( E1 ) = Q ( E2 ) est en dehors de la réalité observable.
Quand Math Coss écrit : En effet, par le TNP, lorsque x tend vers l'infini, on a A ~B ~ C ~ 1/2,
cela signifie que la proportion des nombres premiers inférieurs à x/2 parmi les nombres premiers inférieurs à x tend vers 1/2. il met dans la balance le TNP (qui est vrai) contre la loi de raréfaction des nombres premiers (qui est également vraie, en enfreignant le postulat ci-dessus puisque qu'il affirme Q ( E1 ) = Q ( E2 )
Q ( E1 ) est toujours supérieure à Q ( E2 ) même lorsque x tend vers l'infini (vers l'infini, les choses se troublent pour nous : restons en aux très grands nombres de nos calculateurs encore envisageables pour notre compréhension des choses) ;
l'équation de Math Coss, ne sachant opposer le TNP, la loi de raréfaction des nombres premiers et le postulat qui l'illustre doit être considérée comme obsolète.
En tout cas elle n'illustre pas du tout ma limite y = 0,5 concernant mon coefficient de répartition :
C = (( q1+q2+...+qi ) / i ) / x+1 appliqué aux étendue E de 1 à x², où x est un nombre premier de plus en plus grand.
0,5 limite "par en-dessous" lorsqu'il s'agit des nombres premiers, et
0,5 limite "par au-dessus" lorsqu'il s'agit des nombres composés.
Cordialement, -
Tu es un amateur ? Aurais-tu oublié les 2 polytechniciens qui t'assistent dans tes travaux sur le nombres premiers ? X:-(Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
-
Bonjour,
Lourrran, je vais me lâcher un peu : tu commence à m'échauffer la bile.
Et pourtant je te réponds : un autodidacte n'est pas forcément un amateur.
Et si les deux polytechniciens auxquels j'ai envoyé le sujet de mon article ne m'ont pas encore répondu c'est parce qu'ils ont des occupations qui dépassent les tiennes.
Et peu importe qu'ils soient polytechniciens, ce sont des personnes qui étudient sérieusement ce que je leur donne.
Tu ne parles pas du fond, tu en reste sur une forme superficielle, comme un mauvais garçon : on dirait que tu as décidé de m'en faire baver particulièrement (pour ne pas dire autre chose).
As-tu un avis sur le coefficient de répartition ? Qui décortique la chose sans toujours passer à ce ton de moquerie.
Cordialement, -
Sur cette question, un polytechnicien prendrait de la hauteur.
Il dirait. Soit $U_n$ une suite infinie d'entiers, croissante, et dont la densité décroît quand n grandit. Exemple la suite des nombres premiers, ou bien la suite des nombres de la forme $p\cdot q$, avec $p$ et $q$ premiers, ou toute autre suite du même genre (ex. les interpremiers définis ici)
Soit $C_n(n) =$ le coefficient de répartition, tel que tu l'as défini.
Alors, pour tout $n$ relativement grand, $C_n(n) < 0.5$ ,et $\lim_{\infty} C_n(n) = 0.5$
Et de façon tout aussi évidente, la suite complémentaire (celle constituée des nombres composés, ou celle constituée des nombres qui ne sont pas de la forme p*q avec p et q premiers), cette suite complémentaire vérifie les 2 propriétés : $C_p(n) >0.5$ ,et $\lim_{\infty} C_p(n) = 0.5$
Dans le cas des nombres premiers, on connaît assez bien la densité des nombres premiers en fonction de $n$. On peut donc assez bien estimer les valeurs de $C_n(n)$ pour $n$ très grand.
Si on prend comme estimation : le nombre de nombres premiers inférieur à $n$= est proche de $n/\ln(n)$, on obtient par exemple comme approximation :
$C_n(10^{50}) = 0.49601$
$C_n(10^{70}) = 0.49664$
Il y a bien évidemment des estimations plus précises du nombre de nombres premiers inférieurs à $n$, pour $n$ très grand. On peut donc améliorer ces estimations.
En principe, un polytechnicien équipé d'un tableur quelconque peut trouver ces résultats en 10 ou 20 minutes.
Idem, la propriété $C_n(n) +c_p(n) < 1$ est tout simplement une conséquence des 2 propriétés : les nombres premiers sont de moins en moins denses dans $\N$, et moins de la moitié des entiers inférieurs à $n$ sont des nombres premiers. On aura donc le même résultat avec les 2 suites que j'ai évoquées.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
Bonjour,
Merci. Voilà un Lourrran comme je les aime ! Tu as parfaitement interprété le fonctionnement de mon
coeficient de répartition. Merci pour l'avoir fait tourner pour de valeurs aussi importantes
que 10^50 et 10^70.
Personnellement, j'ai trouvé cette formule fortuitement sans être capable d'en faire la démonstration.
Dans un mail à un ancien de SUPELEC et à mes deux polytechniciens, je dis ceci en conclusion :
Conclusion
C.1 Observation des valeurs de C
Je crois, après observation des résultats de calcul de ma formule de C, que ce sont les étendues E bornées par [ 2 et p² ] si p est un nombre premier,
qui donnent les familles de coefficients de répartition les plus "fiables" ( régulières ).
Un C ( calculé pour un p^3 ) donnera une valeur proche d'un C calculé pour un p².
De même, je ne crois pas à la régularité des C pour les étendues E : 10, 100 , 1.000 , 10.000 et 100.000 , donnant des valeurs proches d'un p².
Tout cela serait à vérifier à l'ordinateur ( en effet, j'ai composé tous les tableaux à la main en saisissant des kilomètres de nombres premiers ).
C.2 Conjecture ou théorème
Rien ne venant appuyer le caractère strictement mathématique, il est difficile d'en faire un théorème de fonctionnement de répartition harmonieuse des nombres premiers ;
par contre, l'on peut conjecturer que tant que l'on fera tourner C vers des x infinis, Cnp tendra vers 0,5 "par le bas"
et Ccp tendra par le haut vers 0,5 , et que Cnp + Ccp tendra vers 0,976...
C.3 Ouverture et fin
Ayant réussi à démontrer ( en dehors de cette présentation ) que la formule de la Somme des entiers de 1 à n = n ( n + 1 ) /2
n'était qu'un cas particulier de C = (( q1+q2+...+qi ) / i ) / ( x+1 ) qui fonctionne très bien dans tous les cas de répartitions des i entiers qi
sur l'étendue E allant de 1 à x , il ne reste plus qu'à trouver un mathématicien qui démontre cette conjecture positivement en en faisant un théorème !
Cordialement, -
Je n'ai pas fait tourner un recensement exhaustif pour des nombres aussi grands, en quelques minutes !
J'ai juste utilisé les formules connues qui donnent une très bonne estimation du nombre de premiers inférieurs à un entier n quelconque.
Si n vaut 100 Milliards, on estime qu'il y a n/ln(n) = 3.948 Milliards de nombres premiers plus petits que n.
Si n vaut 110 Milliards, on estime qu'il y a n/ln(n) = 4.327 Milliards de nombres premiers plus petits que n.
Il y a donc environ 379 Millions de nombres premiers entre 100 Milliards et 110 Milliards, et la moyenne de tous ces nombres premiers est proche de 105 Milliards.
Et en répétant ce calcul, par tranches plus ou moins larges, on arrive à une très bonne estimation de tes indicateurs, même pour des nombres très grands.
Normalement, des polytechniciens qui s'intéressent au sujet auraient dû te suggérer cette démarche. Si en 6 mois, ils n'ont pas trouvé 5 minutes pour le faire, c'est que le sujet ne les intéresse vraiment pas, mais alors pas du tout.
Mais si cette fonction tend vers 0.5 avec des valeurs systématiquement inférieures à 0.5, c'est simplement une conséquence directe du fait : 'Les nombres premiers sont de moins en moins denses dans N'. On aurait la même propriété avec n'importe quelle suite de nombres similaires, ce n'est absolument pas une propriété spécifique aux nombres premiers.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
Bonjour,
Et ok, Lourrran.
Comme je l'écrivais au début de l'article :
Maintenant, direz-vous, on peut avoir des éléments n'offrant pas de régularité de répartition comme il est décrit ci-dessus.
Bien sûr, et c'est là où cela devient intéressant.
Tu me dis que ce n'est pas spécifique aux nombres premiers : très bien, alors si ma formule du coefficient de répartition
C = (( q1+q2+...+qi ) / i ) / x +1 est exacte pour n'importe quelle suite similaire, alors il faut trouver une
démonstration pour cette formule, pas seulement appliquée aux nombres premiers ou à des suites similaires de nombres.
Si mes polytechniciens et ancien SUPELEC n'ont pas réagi depuis 6 mois, c'est parce qu'il y a une semaine que je
leur ai proposé le problème.
Il ne s'agit pas de constater "grosso merdo" que ça fonctionne bien, il faut une démonstration en bonne et due forme,
ce que je n'arrive pas à faire.
Cordialement, -
Démontrer quelle formule ? Pour démontrer une formule , il faut qu'il y ait quelque chose à démontrer. Il faut qu'il y ait """coïncidence""" entre 2 calculs, et ensuite, démontrer que ce n'est pas un effet du hasard, mais que c'est le résultat d'une propriété.
Démontrer que C=((q_1+q_2 + ... + q_i)/i)/(x+1) , ça n'a pas de sens. Tu as défini ton coefficient C de cette façon, c'est une définition, pas une démonstration.
Ensuite, tu as une autre propriété, c'est que $C_n$ est inférieur à 0.5. Ici, tu as une fonction convexe : la densité des entiers parmi les nombres premiers. Ok ? D'accord pour dire que c'est une fonction convexe ? Tu vois ce que c'est une fonction convexe ? Le fait que C_n soit inférieur à 0.5 est une conséquence directe de la convexité de notre fonction. Je ne vais pas me lancer dans une démonstration, ça n'aurait aucun intérêt vu qu'on est dans la rubrique shtam.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
Bonjour Lourrran,
Je crois qu'il y a une ambiguïté que je vais devoir lever pour me faire comprendre ( de toi ).
Il est 19:27, j'ai un rendez-vous à 19:40
Donc, à demain, -
Bonjour Lourrran,
En fait, tu n'as pas fait tourner mon coefficient de répartition comme le prévoit la formule :
Choix d'une étendue E de 1 à x
Sommer les i nombres premiers q présents dans E
Diviser cette somme par i
Puis diviser le tout par ( x + 1 )
Tu me dis avoir utiliser la formule bien connue de Gauss x/ln(x) pour comptabiliser les nombres premiers inférieurs à x ;
tu me dis :
...en répétant ce calcul, par tranches plus ou moins larges, on arrive à une très bonne estimation de tes indicateurs, même pour des nombres très grands.
et :
...Mais si cette fonction tend vers 0.5 avec des valeurs systématiquement inférieures à 0.5, c'est simplement une conséquence directe du fait : 'Les nombres premiers sont de moins en moins denses dans N'. On aurait la même propriété avec n'importe quelle suite de nombres similaires, ce n'est absolument pas une propriété spécifique aux nombres premiers.
Mon coefficient de répartition fait cas des grands nombres en ce sens que si tu trouves un nombre premiers p immédiatement inférieur à 110 milliards, tu calcule p² => ce p² devient ma borne x de E = [ 2 , p² ] grâce à laquelle
tu sommes tous les nombres premiers de 1 à p², tu divises cette somme pas i, le nombre de nombre premier présents
dans E et tu divises cela par ( p² + 1 ).
=> tu n'as certainement pas fait ça pour tes grands nombres, 100 milliards et 110 milliards !
L'infini qu'on peut évoquer pour dire que les nombres premiers sont de moins en moins denses n'a pas de sens dans
mon propos : je calcule le coefficient de répartition pour des nombres premiers q de plus en plus grands et je choisis
la borne x = p²
=> le fait que le coefficient de répartition C = ((q1+q2+...+qi) /i ) / ( x + 1 ) tende vers 0,5 n'a rien à voir avec des
suites faisant intervenir des p.q ou des nombres interpremiers [ entre nous soit dit, ces nombres dépendent de la répartition des nombres premiers et leurs suites évoquées ne sont pas indépendantes... ] dont les termes tendent vers l'infini et qui forment des fonctions convexes dont la limite est 0,5.
Tu dis encore :
Démontrer quelle formule ? Pour démontrer une formule , il faut qu'il y ait quelque chose à démontrer. Il faut qu'il y ait """coïncidence""" entre 2 calculs, et ensuite, démontrer que ce n'est pas un effet du hasard, mais que c'est le résultat d'une propriété.
Démontrer que C=((q_1+q_2 + ... + q_i)/i)/(x+1) , ça n'a pas de sens. Tu as défini ton coefficient C de cette façon, c'est une définition, pas une démonstration.
Ensuite, tu as une autre propriété, c'est que Cn est inférieur à 0.5. Ici, tu as une fonction convexe : la densité des entiers parmi les nombres premiers. Ok ? D'accord pour dire que c'est une fonction convexe ? Tu vois ce que c'est une fonction convexe ? Le fait que C_n soit inférieur à 0.5 est une conséquence directe de la convexité de notre fonction. Je ne vais pas me lancer dans une démonstration, ça n'aurait aucun intérêt vu qu'on est dans la rubrique shtam.
Je sais bien que C = ((q1+q2+...+qi) / i ) / ( x + 1 ) est une formule ; la conjecture qu'il y a à démontrer, c'est que ce coefficient de répartition tend bien vers 0,5 quand x = ( p² + 1 ) [ p², nombre très grand ].
Tu ajoutes encore :
Pour démontrer une formule , il faut qu'il y ait quelque chose à démontrer. Il faut qu'il y ait """coïncidence""" entre 2 calculs, et ensuite, démontrer que ce n'est pas un effet du hasard, mais que c'est le résultat d'une propriété.
Tu as raison : il y a coïncidence entre le calcul de mon coefficient de répartition pour des p² très grands et tes suites
p.q et interpremiers => la limite est 0,5
Alors, aide-moi à trouver la propriété du coefficient de répartition et à démontrer que cette conjecture est vraie, pour en faire un théorème.
Cordialement, -
Effectivement, je n'ai pas recherché les nombres p² (avec p premier et p très grand). Au lieu de diviser par p², avec p² le plus proche possible de $10^{70}$ , j'ai divisé par $10^{70}$. Est-ce que ça change la face du monde ? évidemment non.
T'aider à démontrer cela et en faire un théorème ? Surtout pas. Je ne voudrais surtout pas me ridiculiser dans un théorème aussi nul. Tu dis régulièrement que tu as 2 polytechniciens et un Supelec qui t'aident dans tes travaux. Demande leur de faire la démonstration, ça devrait leur prendre 2 ou 3 heures maxi.
Tu peux aussi demander à un lycéen assez brillant, si tu en as dans ton entourage.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
Bonjour Lourrran,
Dans mon article GODBACH et de POLIGNAC ensemble, tu écris :
Je ne sais pas si Berkouk3 est de mauvaise foi ou s'il est idiot. Difficile à déterminer.
A mon humble avis, Berkouk3 est une variable que je remplacerais plus volontiers par Lourrran !
Donnant cette phrase :
Je ne sais pas si Lourrran est de mauvaise foi ou s'il est idiot. Difficile à déterminer.
En effet, tu écris ce fil Coefficient de répartition, nombres premiers :
Effectivement, je n'ai pas recherché les nombres p² (avec p premier et p très grand). Au lieu de diviser par p², avec p² le plus proche possible de 10^70 , j'ai divisé par 10^70. Est-ce que ça change la face du monde ? évidemment non
Tu devais diviser la somme des qi nombres premiers jusqu'à p² par i ( la quantité de nombres premiers de 2 jusqu'à p² ). Après quoi seulement, diviser par ( p² + 1 ).
Evidemment, cela change la face du monde que nous étudions !
Et puis, tu me rediriges vers mes chers polytechniciens et ancien SUPELEC, et maintenant vers un lycéen assez brillant ; tu me dis qu'en 2 ou 3 heures maxi ils auront réussi à démontrer un théorème aussi nul ( ce sont tes propos ), alors que toi-même te retire de la course !
Qui es-tu exactement ? Un type de mauvaise foi ? Un idiot ? Je ne crois pas. Tu veux travailler trop vite ( donner ton
avis trop vite ) : internet, dans sa rapidité, est un mauvais allié pour toi : il déverse trop rapidement dans le Forum
tes moqueries, sarcasmes... alors que tu as de bonnes idées :
dans mon article GOLDBACH et de POLIGNAC ensemble, tu poses une question très intéressante :
Si A = 200 560 490 130
et B = 200 560 490 132
si nA est le nombre de paires de Goldbach pour A, et
si nB est le nombre de paires de Goldbach pour B,
sachant que A = 2x3x5x7x11x13x17x19x23x29x31
qui de nA ou de nB est le plus grand.
J'ai fait une démonstration comme quoi nA est forcément supérieur à nB, tu as écris ceci :
Adoptons ce terme 'nombre saturé', il résume assez bien l'idée.Et donc oui, globalement, plus un nombre est saturé, plus il va y avoir de couples (p,q) premiers tels que p+q=n.
Et tu es revenu à la démonstration de BERKOUK3 ( dont tu te demandes s'il est de mauvaise foi ou idiot, en le traitant
par avance d'idiot dans ton for intérieur )
Et tu n'as pas approfondi ce que tu affirmais, à savoir : Et donc oui, globalement, plus un nombre est saturé, plus il va y avoir de couples (p,q) premiers tels que p+q=n.
Je le regrette, car les discussions du Forum deviennent avec toi des combats de coqs : quand ce n'est pas BERKOUK3
qui en prend pour son grade, c'est moi ou un autre.
Cordialement, -
So what ????
Oui , plus un nombre N est saturé, plus il y a de couples de nombres premiers (a,b) qui vérifient a+b=N. Dont acte, j'ai dit que tu avais raisonn, que tu avais trouvé la bonne réponse. En fait la question était surtout destinée à Berkouk3, parce que c'était le début d'une preuve que son raisonnement était complètement foireux.
D'ailleurs, tu n'as pas fait la démonstration que N_a était supérieur à N_B si A est saturé, tu as fait la constatation partielle, sur un certain nombre d'essais (je te rassure, moi non plus, je n'ai pas fait la démonstration)
Le Coefficient de Répartition....
Tu me dis qu'il faut diviser par (p²+1) , et après seulement diviser par i. Quoi ????? Tu ne sais pas qu'on peut inverser l'ordre des opérations, quand il s'agit de 2 divisions ? Tu ne sais pas que a/b/c, ou a/c/b, ça donne la même chose ?
Il me semble qu'on a à peu près le même âge, et il me semble avoir appris cela en primaire. Tu prétends t'intéresser aux nombres, et tu ne connais même pas les propriétés les plus basiques des opérations ?
Et pire, tu ne te remets pas en cause. Borné dans tes idées, tu te dis : 'Lourrran , il a inversé les 2 opérations, il est donc nul.' Avant de dire ça, pose toi la question 'Est-ce que par hasard, on ne peut pas inverser les 2 opérations'.
Dis-toi une chose, Dis toi que je suis polytechnicien. Apparemment, c'est une formation que tu respectes, et tu semble penser : 'un polytechnicien l'a dit, donc c'est vrai'.
Parle moi comme tu parlerais à un polytechnicien, ça t'évitera beaucoup de ridicule.
A propos deBerkouk3, je ne le traite pas d'idiot dans mon for intérieur. J'hésite fortement entre idiot et de mauvaise foi. Moitié-moitié.
Je n'ai pas approfondi ce que je disais : 'Plus un nombre n est saturé, plus il y a de couples (a,b) tels que a+b=n'
Effectivement, je n'ai pas approfondi. Eventuellement, je le ferai un jour, si je fais une découverte qui me semble intéressante à partager.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
@Gonzague de VILLEMAGNE je viens m'immiscer dans cette discussion pour te donner la démonstration que tu cherches... (je m'ennuyais et je traînais par là).
Tu as dis :de Villemagne a écrit:...la conjecture qu'il y a à démontrer, c'est que ce coefficient de répartition tend bien vers 0,5 quand x = ( p² + 1 ) [ p², nombre très grand ].
et effectivement c'est le cas, mais ce résultat est vrai sans aucune contrainte sur $x$. En voici la preuve (j'essaie de reprendre tes notations) :
on commence par remarquer que la somme des nombres premiers inférieurs à $x$ vérifie $q_1 + q_2 + ...+ q_i \thicksim \frac{x^2}{2ln(x)}$ (j'ai pompé sans vergogne ce résultat sur wikipedia).
puis on remarque que ton $i$ qui est le nombre de nombres premiers inférieurs à $x$ est en fait $\pi(x)$.
L'expression de ton coefficient de répartition vérifie alors :
$C=(q_1 + q_2 + ...+ q_i)/i/(x+1) \thicksim \frac{x^2}{2ln(x)\pi(x)(x+1)} \thicksim \frac{x^2 ln(x)}{2ln(x)x(x+1)} \thicksim \frac{x}{2(x+1)} \thicksim 0.5$.
(où on a utilisé le TNP $\pi(x) \thicksim x/ln(x)$)
Ton coefficient de répartition tend bien vers 0.5 lorsque $x \rightarrow +\infty$. Ceci dit ce n'est qu'une simple conséquence du théorème des nombres premiers... -
Ohhhhh !
Un sujet ouvert il y a 1 an. Malgré l'aide de tes 2 polytechniciens et de ton Supelec, ce sujet restait à l'état d'embryon. Pendant 1 an. STRICTEMENT aucune avancée.
Raoul S.arrive, et il apporte une démonstration. Et visiblement, il a écrit cette démonstration pendant l'heure de l'apéro, en moins d'une heure.
1 heure de travail de Raoul.S à l'heure de l'apéro , ça fait plus avancer le sujet que 1 an de collaboration plus ou moins active de 2 polytechniciens.
A mon avis, Gonzague, ouvre les yeux. Tes 2 polytechniciens se moquent de toi. Ils n'ont pas été foutus de consacrer une heure de leur temps, pendant 1 an, pour répondre à cette question ?Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
Bonjour
Lourrran, tu ne changeres pas...
Raoul.S : patience je travaille à ce que tu m'a transmis et pour quoi je te remercie. Ca à l'air simple comme ça, mais ça ne l'est absolument pas.
Je répondrai avec force détails, mais je suis très pris et mon accès au Forum est régulé par d'autres activités.
À bientôt.
Cordialement. -
Pourquoi voudrais-tu que je change ?
Tu dénigres l'institution 'Ecole Polytechnique', en disant que des polytechniciens te supportent dans tes travaux. C'est quelque chose que je ne peux pas laisser dire, désolé.
Arrête de dénigrer l'école Polytechnique, dis que tes 2 polytechniciens n'ont jamais existé, ou dis qu'ils n'en ont rien à battre de tes travaux sur Goldbach bla bla bla, et tout ira bien.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
Bonjour,
Pourquoi répondrais-je à Lourrran qui me donne l'impression de se regarder dans la glace en s'écoutant me
vilipender ?
Je disais donc, à bientôt Raoul.S
Cordialement, -
de Villemagne : a écrit:Pourquoi répondrais-je à Lourrran qui me donne l'impression de se regarder dans la glace en s'écoutant me vilipender ?
Je pense qu'après cela, on peut fermer ce sujet
Bruno -
Bonjour,
Je tiens d'abord à m'excuser auprès de Lourrran de la virulence de mon propos par rapport au sien.
Je remercie également raoul.S de sa démonstration de mon coefficient de répartition concernant les nombres premiers.
Je rappelle ici les termes de ma formule :
Soit une étendue E d'entiers allant de 1 à x ,
soit une quantité i d'éléments q choisis dans E ,
soient q1, q2...qi , avec 1 <= i <= x ,
alors on peut donner au coefficient de répartition le nom de "C" tel que
...........................................C = (( q1+q2+...+qi ) / i ) / ( x+1 )
C est compris dans le conditionnement : 0 < C < 1
J'avais choisis qi nombres premiers et x = p² si p est un nombre premier dans la suite croissante [ 2, 3, 5, 7, 11 etc... ]
Lourrran écrivait :Lourrran a écrit:Mais si cette fonction tend vers 0.5 avec des valeurs systématiquement inférieures à 0.5, c'est simplement une conséquence directe du fait : 'Les nombres premiers sont de moins en moins denses dans N'. On aurait la même propriété avec n'importe quelle suite de nombres similaires, ce n'est absolument pas une propriété spécifique aux nombres premiers
Je me suis intéressé à la suite de Fibonacci, suite pour laquelle ses termes sont répartis de façon de moins en moins dense lorsque l'on va vers de grandes valeurs, à l'instar de la suite des nombres premiers.
La suite de Fibonacci est définie comme suit : si F0 = 0 et F1 = 1 alors Fn = Fn-2 + Fn-1 pour n >= 2
Fn = { 0 , 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , 233 , 377 , 610 , 987 , 1.597 , 2.584 , 4.181 , 6.765 , 10.946 etc... }
Nous pouvons observer les résultats du calcul du Coefficient de répartition ( CFn ) pour les nombres de Fibonacci Fn dans le tableau joint.
La quantité des nombres de Fibonacci évoluant de 1 à 40, on s'aperçoit que CFn, au lieu de ggrimper vers 0,5 ( malgré une densité de plus en plus faible lorsque l'on évolue vers de grandes valeurs ) tend plutôt à descendre par petits paliers de 0,350000000 vers 0,065450848.
CFn tend plutôt vers 0, qu'il n'atteindra jamais puisque 0 < C < 1
C'est contraire à ce qu'énonçait Lourrran.
Dans le début de l'article, j'ai choisi d'étudier C en rapport avec des étendues E bornées par des x liés aux carréss des nombres premiers : j'ai remarqué que Cnp tend vers 0,5 sans jamais l'atteindre et que Ccp tend aussi vers 0,5.
Il a été démontré par raoul.S que C concernant les nombres premiers est une expression faisant intervenir le Théorème des Nombres Premiers, TNP, ainsi qu'une formule évaluant la somme des nombres premiers.
J'ai par ailleurs choisi d'étudier C en rapport avec des étendues E bornées par des x liés aux nombres de Fibonacci, Fn, de densité décroissante en allant vers de hautes valeurs : C ne tend pas vers 0,5 mais vers 0.
Cette formule du coefficient de répartition n'est pas faite simplement pour les nombres premiers ou pour les nombres de Fibonacci.
Il se trouve que C est un coefficient qui calcule le fait de la distribution régulière ou irrégulière de nombres entiers sur une étendue E allant de 1 à x et qu'il le fait de façon très exacte : la formulation est une formulation générale dans laquelle d'autres formulations particulières se reconnaissent : la somme des entiers de 1 à n, par exemple, et le fait de la limite à 0,5 pour la distribution des nombres premiers telle qu'envisagée.
N'oublions pas que les qi et x sont des variables à choisir : l'on peut étudier de nombreuses répartitions et trouver ou non une démonstration adéquate à la valeur trouvée pour C.
Cordialement, -
Bonjour
Salut @Gonzague de VILLEMAGNE.
je ne suis pas tout à fait d'accord avec ton coefficient de répartition en prenant n comme limite et donc n/2.
Car si tu prends le nombre de nombres premiers $< n$ et le nombre de nombres premiers entre $n$ et $2n$ où la limite $\frac{2n}{2} = n$ , donc la moitié , on est loin de 0,5 ...
il suffit de s'en référer au TNP qui dit que $\pi(n)$ vaut environ $\frac{n}{Ln\:n}$ ...etc
Mais ce même TNP à une conséquence directe qui est :
le nombre de nombres premiers entre $n$ et $2n$ vaut environ:
$\frac{n}{Ln\:2n}$ lorsque $n$ tend vers l'infini.
D'où en divisant le résultat de ces deux fonctions on tend vers 0,9... et non vers 0,5...
fait le test avec 1000 , 100 000 000, $10^9$ ...etc
La répartition des nombres premiers n'est peut être pas le fait d'un simple coefficient = 0,5... non ? qui n'apporte pas grand chose au nombre de premiers qu'il y a entre deux limites identiques de 1 à n et de n à 2n.
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