Question sur les équations exposant zéro

Pour ma démonstration, après relecture, je crois que je me suis planté. Will you spot the mistake ?

-20 = -20
16-36 = 25-45
4² - 4x9 = 5² - 5x9 (jusque là, OK)
4² - 4x9 + 81/4 = 5² - 5x9 + 81/4 (là aussi, OK)
4² - 2x4 x 9/2 + (9/2)² = 5² - 2x5 x 9/2 + (9/2)²

La suite est purement logique. Ce qui est noté précédemment en rouge est le spot d'incohérence... sauf si on part du principe que 1 est différent de 1 par approximation, vu que rien n'est stipulé dans la méthode de procédure. Le prof devrait préciser que 1 est strictement égal à 1 (comment le note-t-on en maths ?)

Suite logique :

(4 - 9/2) (4 - 9/2) = (5 - 9/2) (5 - 9/2)
(4 - 9/2)² = (5 - 9/2)²
4- 9/2 = 5 - 9/2
4 = 5
4-4 = 5-4
0 = 1

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Je sais que je m'égare du sujet, mais vous avez vous aussi probablement dû remarquer l'erreur. Si j'ai bon, et s'il y a des profs dans la salle, vous devez bien rigoler, parce que je viens d'invalider ma propre logique, tout en restant logique. Ou alors le calcul est juste et je me suis planté ailleurs.

_Sigma

Georges Abitbol a écrit : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1555340,1555444#msg-1555444

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Bonsoir Georges,

On prendra comme définition de la puissance, la formule : pour tous nombres réels x,y (avec x>0) x^y = exp[y ln(x)].

Une approche par continuité pose problème. En effet, on peut choisir trois fonctions {x->x^0} ; {y->0^y} ou {x->x^x} pour approcher par continuité (en passant à la limite) la valeur 0^0.

Or l'on a, pour tout nombre réel x non-nul x^0 = exp[0 ln(x)] = 1.

En prolongeant, par continuité, cette fonction quand x tend vers zéro, on trouve : 0^0 = 1.

Si pour tout nombre réel y non-nul, on prolonge par continuité : la fonction y->x^y pour x=0. Et quand y tend vers zéro, on trouve: 0^0 = 0.

En outre, pour tout nombre réel x strictement positif, on a :

x^x = exp[x ln(x)]

On cherchera, alors, la limite en 0 par : valeurs positives, notées 0+. Et l'on a donc :

Lim x^x = Lim exp[x ln(x)] = 1 car Lim x ln(x) = 0 et exp[0]=1.

x->0+ ; x->0+ ; x->0+

Il vient, donc : 0^0 = 1

La question se pose alors : quelle valeur choisir pour 0^0 ?

Soit f une fonction continue définie sur un intervalle I contenant 0 et telle que pour tout x appartenant à I, f(x) > 0.

Soit g une fonction définie sur une intervalle J contenant 0.

On supposera également que Lim f(x) = Lim g(x) = 0
x->0+ ; x->0+

On peut alors écrire pour tout x appartenant à I inter J f(x)^g(x) = exp[ g(x) ln(f(x))]

On constate aisément que l'on est en présence d'une forme indéterminée et donc qu'en choisissant convenablement f et g on peut trouver n'importe quelle valeur réelle positive finie, en passant à la limite par valeurs supérieures.

Par exemple, soit A un réel strictement positif.

Il suffit de choisir f(x) = exp(-A/x) et g(x) = x + x²

On a bien les conditions voulues et on a :

f(x)^g(x) = exp[(x + x²)ln(exp(-A/x)] = exp[-A (x+x²)/x]

C'est-à-dire : f(x)^g(x) = exp[-A(1+x)]

Et de là :

Lim f(x)^g(x) = Lim exp[-A(1+x)] = exp[-A]
x->0+ ; x->0+

Ainsi en choisissant convenablement A, on peut trouver comme limite n'importe quelle valeur réelle comprise entre 0 et 1.

En gardant f et en prenant g(x)= -( x + x²) on va trouver une limite supérieure à 1.

On notera, néanmoins, que si l'on choisit une fonction {u : R ->R+} telle que sa limite soit nulle quand x tend vers 0 par valeurs positives, on a alors :

u(x)^u(x) = exp[ u(x) ln(u(x))] et par composition des limites on trouve :

Lim u(x)^u(x) = Lim exp[ u(x) ln(u(x)) ] = exp[0] = 1
x->0+ ; x->0+

En effet, l'on a bien :

Lim u(x) ln(u(x)) = Lim X ln(X) = 0
x->0+ ; X->0+

en effectuant le changement de variable X = u(x)

X:-(

On peut, pour essayer de comprendre pourquoi 0^0=1, revenir à la définition donnée dans les petites classes de la fonction puissance notée ^.

Soit maintenant comme définition de la puissance : x^n = x * x *...* x (n fois)

Le nombre réel x est multiplié n fois par lui-même avec n un nombre entier. Alors cette définition nous amène à la relation suivante :

Pour tous entiers n et m on a :
x^(n + m) = (x^n)(x^m) [1]

Si on prend m=0 et n différent de zéro, alors on a x^n = (x^0)(x^n)
Si x est différent de zéro, alors cela implique que x^0 = 1
Il est alors très tentant d'étendre la relation à x = 0, et donc : 0^0=1

On notera que, si l'on pose 0^0=0, alors la relation reste vraie.

De plus la relation [1] implique la relation suivante:
(x^n)^m = x^(n*m) [2]

Encore une fois, si on prend n=0 dans la relation précédente on trouve (x^0)^m = x^0. Et il est encore très tentant, pour x non nul, de prendre x^0 = 1 et d'étendre cette relation à x = 0.

Mais on peut tout à fait prendre comme convention 0^0=0, sans que la relation en soit modifiée.

_Sigma

gerard0 écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1555340,1555462#msg-1555462

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Je viens pourtant de prouver que 0^0 = à la fois 0 et 1. Il suffit de choisir des conventions, un contexte, qui n'est pas précisé.

En quoi n'ai-je pas respecté les règles ?

_Sigma

0*0 = 1, c'est comme si "rien fois rien = quelque chose". Ou encore "rien exposant rien = quelque chose". C'est difficile à digérer mais ça fait partie du jeu.

Ben Nicolas m'a donné un exercice.

Je m'y suis soumis.

Pour le reste :

2^2 = 4
Donc 2x2 = 4

1^1 = 1
Donc 1x1 = 1

Par la même logique :

0^0 = 0
Donc 0x0 = 0

Sauf que ce jeu est truqué, parce que 0^0 = 1 et 0x0 = 0.

_Sigma

Du moins, c'est ainsi que cela se passe dans ma tête.

PS : je ne vois pas ce que la constante de Néper vient faire là-dedans.

Zut, zut et re-zut ! Je ne parviens pas à écrire ce que je veux en LaTeX sur le forum.

@Millie et @Dom :

Je vois SEULEMENT les fonctions. Donnez-moi une fonction de base (la plus basique possible) avec un graphe correspondant, s'il vous plaît.

Je ne connais ni les intégrales ni les dérivées et, malheureusement, comme vous le savez, j'ai dû m'absenter des cours en classe de rattrapage à cause de ma maladie, ce qui m'oblige à réviser seul chez moi.

1) Je ne sais pas ce que signifie u.

2) Que signifie ln ?

3) g : x tend vers (1+x)1/x, g(0,01) = f(100) = 1,01^100
3a) Qu'est-ce que g exactement ? Je pensais qu'une fonction s'écrivait f(x). Là on a g et f en même temps, Millie !
3b) Est-ce que x = n ? (x étant une variable, est-elle égale à n, càd n'importe quel nombre ?)

Comme vous le voyez, je reviens de loin.