géométrie pour le shtam

Salut

Ici un résultat de type shtam ( déjà ma démonstration est illisible ) et qui me permet d'utiliser les sept équations pour résoudre un problème que je détaille à la fin de mon propos

Soit $(ABC)$ une base affine du plan
on pose $A^{\prime }$ resp. $B^{\prime }$ resp. $C^{\prime }$ le milieu de $[BC]$ resp. le milieu de $[AC]$ le milieu de $[AB]$
et on pose $G$ le centre de gravité du triangle $ABC$
on note $(\overrightarrow {i},\overrightarrow {j})$ la base canonique donc selon $\overrightarrow {i}=\begin {pmatrix}1\\0 \end {pmatrix}$ et $\overrightarrow {j}=\begin {pmatrix}0\\1 \end {pmatrix}$
on note $a=BC,b=AC,c=AB$

ALORS

il existe une application périodique de période $T=\frac {2\pi}{n},n\in \mathbb {N}^*$ et dérivable $f(\theta):\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}_+^*$
telle que pour un nombre réel strictement positif fixé que l'on note $d>0$
on vérifie
$d=2(PA'+PB'+PC')-PA-PB-PC+3PG$
avec $P=G+f(\theta ).cos(\theta ).\overrightarrow {i}+f(\theta ).sin(\theta ).\overrightarrow {j}$
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avec ce résultat là (dont la démo n'est pas écrite ici) alors en posant
$A=\begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\0 \end {pmatrix}$,$B=\begin {pmatrix} 0 \\1 \\0 \end {pmatrix}$,$C=\begin {pmatrix}0 \\0 \\1 \end {pmatrix}$,$A^{\prime}=\begin {pmatrix} 0 \\ \frac {1}{2} \\ \frac {1}{2} \end {pmatrix}$,$B^{\prime}=\begin {pmatrix} \frac {1}{2} \\ 0 \\ \frac {1}{2} \end {pmatrix}$,$C^{\prime}=\begin {pmatrix} \frac {1}{2} \\ \frac {1}{2} \\0 \end {pmatrix}$,$G=\begin {pmatrix} \frac {1}{3}\\ \frac {1}{3} \\ \frac {1}{3}\end {pmatrix}$,$P=\begin {pmatrix} i_p \\j_p \\k_p \end {pmatrix}$

on peut facilement exploiter les sept égalités suivantes pour trouver le lieu des points $P$ vérifiants un $d>0$ fixé

$PG^2=b^2.\begin {pmatrix} i_p- \frac {1}{3} \end {pmatrix}.\begin {pmatrix} i_p+j_p- \frac {2}{3} \end {pmatrix}+c^2.\begin {pmatrix} i_p-\frac {1}{3} \end {pmatrix}.\begin {pmatrix} \frac {1}{3}-j_p \end {pmatrix}-a^2.\begin {pmatrix} \frac {1}{3}-j_p \end {pmatrix}.\begin {pmatrix} i_p+j_p- \frac {2}{3} \end {pmatrix}$
$PA^2=a^2.j_p.(i_p+j_p-1)+b^2.(i_p-1).(i_p+j_p-1)-c^2.j_p.(i_p-1)$
$PB^2=b^2.i_p.(i_p+j_p-1)+c^2.i_p.(1-j_p)-a^2.(1-j_p).(i_p+j_p-1)$
$PC^2=a^2.j_p.(i_p+j_p)+b^2.i_p.(i_p+j_p)-c^2.i_p.j_p$
$PA^{\prime 2}=b^2.i_p.\begin {pmatrix}i_p+j_p- \frac {1}{2} \end {pmatrix}+c^2.i_p.\begin {pmatrix} \frac {1}{2}-j_p \end {pmatrix}-a^2.\begin {pmatrix} \frac {1}{2}-j_p \end {pmatrix}.\begin {pmatrix}i_p+j_p -\frac {1}{2} \end {pmatrix}$
$PB^{\prime 2}=a^2.j_p.\begin {pmatrix}i_p+j_p- \frac {1}{2} \end {pmatrix}+b^2.\begin {pmatrix} i_p-\frac {1}{2} \end {pmatrix}.\begin {pmatrix}i_p+j_p -\frac {1}{2} \end {pmatrix}-c^2.j_p.\begin {pmatrix} i_p-\frac {1}{2} \end {pmatrix}$
$PC^{\prime 2}=b^2.\begin {pmatrix}i_p- \frac {1}{2} \end {pmatrix}.\begin {pmatrix}i_p+j_p-1 \end {pmatrix}+c^2.\begin {pmatrix} i_p-\frac {1}{2} \end {pmatrix}.\begin {pmatrix}\frac {1}{2}-j_p \end {pmatrix}-a^2.\begin {pmatrix} \frac {1}{2}-j_p \end {pmatrix}.\begin {pmatrix}i_p+j_p- 1 \end {pmatrix}$