Je viens d'avertir l'auteur de cette recherche ; il me répond entre autres :
"The most important discovery I have made is that you can calculate all non-trivial zeros of the zeta function knowing one of them. They are all algebraically related."
Ok, Fin de partie, je vais demander à Pedro Caceres s'il peut répondre lui-même
Pour la première formule, la mienne, je sollicite ton indulgence car j'ai quitté le giron universitaire en 1969, autant dire qu'il ne m'en reste pas grand-chose ; je fais avec.
Dear all, enchante de faire votre connaissance. S'il vous plait, laissez moi contribuer a cette discussion. Mes excuses, mon francais est limite et j'utiliserai l'anglais et le francais dans mes reponses.
Regarder $\lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N n^{-2s}$ n'a aucun sens.
Pour $\Re(s) > 1$ et par prolongement analytique pour $\Re(s) > 0$ $$\zeta(s)-\frac{1}{s-1} = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^N n^{-s} - \frac{N^{1-s}-1}{1-s} = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^N n^{-s} - \int_1^N x^{-s}dx =1+\sum_{n=2}^\infty\underbrace{( n^{-s} -\int_{n-1}^n x^{-s}dx)}_{= \mathcal{O}(n^{-s-1})}$$
C'est la seule façon de continuer analytiquement la série de Dirichlet $\sum_{n=1}^\infty n^{-s}$.
@Pedro Do you understand what I wrote ? Also it proves for $\Re(s) > 0$ : $\sum_{n=1}^N n^{-s} = \frac{N^{1-s}}{1-s}+\zeta(s)+\mathcal{O}(\frac{N^{-s}}{s})$
In my paper I defined a "Tau" transformation to be able to break up the Zeta function in two that is based on the expression that you mention in the analytic continuation after the 2nd (=). The difference between the limit and the integral can lead to express Zeta(z)= A(z) - B(z).
if z*=a*+i b* = non trivial zero, then |A(z*)|=|B(z*)| and that only happens IFF a*=1/2. I prove that in my paper.
I hope you have the opportunity to read it and give me your comments.
C'est l'explication de mes formules. Encore une fois, en utilisant la fonction Harmonique, nous pouvons calculer tous les zéros non triviaux de Zeta en connaissant l'un d'entre eux.
Tu peux approximer $\zeta(1/2+it)$ par $\displaystyle \big(1+\gamma(-it)\big)\sum_{n=1}^{\sqrt{2\pi t}}
n^{-1/2-it}$, c'est l'équation fonctionnelle approchée, et tu obtiens la formule de ton lien en regardant $$ \bigg|\sum_{n=1}^{\sqrt{2\pi t}} n^{-1/2-it}\bigg|^2 = \Re\bigg(\bigg|\sum_{n=1}^{\sqrt{2\pi t}} n^{-1/2-it}\bigg|^2\bigg) = \sum_{n=1}^{\sqrt{2\pi t}}\sum_{m=1}^{\sqrt{\pi t}} (nm)^{-1/2} \cos\big(t \log(n/m)\big)$$ pour $t =\dfrac{N^2}{2\pi}$.
Premièrement, l'expression que vous écrivez dans votre message est incorrecte, il y a deux détails importants qui ne sont pas inclus dans l'expression que vous écrivez. Si vous essayez numériquement votre formule, vous la trouverez incorrecte. Ma formule est correcte.
Deuxièmement, si vous comprenez la formule, vous pourrez lier:
- les zéros non triviaux de zêta à la fonction harmonique
- décrire mon expression algébrique pour lier TOUS les zéros non triviaux de zêta
Je n'ai jamais lu cela dans aucun journal et je maintiens que c'est innovant.
And I thank you very much for your comments. I really appreciate them. I hope my French is correct
@Pedro : Tu m'énerves... Pourquoi tu n'étudies pas des livres sur $\zeta(s)$ et la théorie analytique des nombres ?
Qu'est-ce qui n'est pas correct, es-tu capable d'écrire des formules et des arguments mathématiques clairs ?
(clique sur "citer" pour voir le code Latex de nos messages)
Comme je l'ai dit, on ne peut utiliser la relation fonctionnelle approchée que localement, donc aucun moyen d'étudier l'hypothèse de Riemann comme ça.
L'équation fonctionnelle approchée ou pas n'est pas spécifique à $\zeta(s)$, beaucoup d'autres séries de Dirichlet ont aussi une équation fonctionnelle sans pour autant avoir une hypothèse de Riemann (par exemple les combinaisons linéaires de fonctions L de Dirichlet)
A function in R to calculate the non-trivial zeros of Riemann Zeta
One of the most interesting discoveries of my research on the Riemann Zeta function is that there is an expression in the Real plane that connects the Harmonic function to the non trivial zeros of Zeta with z=1/2+ßi. Actually you can use this expression for all non-trivial zeros of zeta.
for those of you that like WolframAlfa, you can try this approximation (for a very low n=20 as WolframAlfa does not want to work for higher values on n):
1- Link algebraically all non-trivial zeros of zeta through the Harmonic function. We can calculate all non-trivial zeros knowing one of them because if z1=0.5+ß1*i and z2=0.5+ß2*i are both non-trivial zeros of zeta, then:
n/(ß1^2+0.25) - sum_(k=1)^n (2*sum_(j=k+1)^n (k^(-1/2)*j^(-1/2)*cos(ß1*ln(k/j)))) =
n/(ß1^2+0.25) - sum_(k=1)^n (2*sum_(j=k+1)^n (k^(-1/2)*j^(-1/2)*cos(ß2*ln(k/j))))
2. Create a simple code to calculate non-trivial zeros of zeta based on the previous expression knowing that the first one is z=1/2+14.13175*i
Merci de continuer votre échange public en français sur notre forum francophone.
Nous nous verrions obligés de fermer la discussion dans le cas contraire.
C'est comme si la musique des nombres primes s'effondrait aux zéros du zêta de la forme (1/2 + ib)
(*) Monsieur le modérateur, mes excuses pour ne pas utiliser le Français dans mon post précédent.
Ce postprouve que pour $\sigma > 0$ : $$ \sum_{n=1}^N \sum_{m=1}^N (nm)^{-\sigma} \cos(t \log (n/m)) =|\sum_{n=1}^N n^{-\sigma-it}|^2=|\zeta(\sigma+it)- \frac{(N+1)^{1-\sigma-it}}{\sigma+it-1}+\mathcal{O}(\frac{s N^{-\sigma}}{\sigma} )|^2 $$
où le terme $\mathcal{O}(\frac{s N^{-\sigma}}{\sigma} )$ c'est $\sum_{n=N+1}^\infty \int_n^{n+1} (n^{-s}-x^{-s})dx=\sum_{n=N+1}^\infty \int_n^{n+1} \int_n^x s t^{-s-1}dtdx$
Ma formulation va plus loin et dit aussi que la dernière somme que vous montrez tend vers une droite comme n-> inifinite quand t=Im(z *), avec z * un zéro non-trivial de zeta dans la ligne critique, et sigma=1/2, avec une pente egal a 1/(t^2+0.25).
@Pedro : Non ce n'est pas comme ça qu'on fait des maths.
Convergence, comparaison asymptotique, $o(...)$, $\mathcal{O}(...)$, $\lim_{N \to \infty}$ sont les outils de base de l'analyse que tu ne maîtrises visiblement pas du tout.
Reviens quand tu auras compris que c'est ce que tu dois étudier.
il m'est très difficile d'écrire des formules ici. pouvez-vous s'il vous plaît laissez ma savoir comment le faire? De cette façon, je vais partager les équations. J'ai essayé de partager des résultats qualitatifs mais je comprends que vous voulez voir les formulations explicites.
Cher Reuns, merci beaucoup. Permettez-moi d'essayer d'écrire d'une meilleure manière la formulation sur laquelle j'ai travaillé pour la fonction Zeta Riemann:
a) Comme tu le dis bien:
\begin{align*}
\sum_{n=1}^N \sum_{m=1}^N (nm)^{-\sigma} \cos(t \log (n/m)) &= 2\sum_{n=1}^N \sum_{m=n+1 }^N (nm)^{-\sigma} \cos(t \log (n/m)) +\sum_{n=1}^N \sum_{m=n }^n (nm)^{-\sigma} \cos(t \log (n/m))\\
&= 2\sum_{n=1}^N \sum_{m=n+1 }^N (nm)^{-\sigma} \cos(t \log (n/m)) +\sum_{n=1}^N n^{-2\sigma}
\end{align*}
b) Ce que j'ai pu obtenir est:
$\displaystyle 2\sum_{n=1}^N \sum_{m=n+1 }^N (nm)^{-\sigma} \cos(t \log (n/m)) +\sum_{n=1}^N n^{-2\sigma} = N/(t^2+0.25) + O(N)$
quand $t=Im(z)$ avec $z=1/2+t i$ a zéro non-trivial de zêta dans la ligne critique.
et $\lim(O(N))=0$ when $N \to \infty$
c) Comme le tableau suivant montre les lignes pour de plusieurs zéros non-triviaux de zêta dans la ligne critique:
Ben non tu ne peux pas trouver quelque chose d'innovant sur $\zeta(s)$, comme ça, alors que c'est la fonction la plus étudiée depuis 1 siècle.
Pour comprendre pourquoi $\sum_{n=1}^N n^{-1/2-it}$ (donc tes sommes) donnent pour certains $t \approx 2\pi N^2$ des valeurs proches de $\zeta(1/2+it)$ fois les facteurs $\Gamma$ de l'équation fonctionnelle, il faut regarder (et démontrer) La_relation_fonctionnelle_approchée, qui est détaillée dans tous les livres sur $\zeta(s)$ et le théorème des nombres premiers.
Réponses
A partir de n=6, on a les coefficients 691/638512875, 2/18243225 .... http://www.wolframalpha.com/input/?i=zeta(2n),+n=1+to+20
alors que dans l'approximation de zeta impair, les dénominateurs sont des entiers.
La précision de l'approximation de zeta(2m+1) semble être globalement 10^(-m)
Exemples :
http://www.wolframalpha.com/input/?i=zeta(31)+-+pi^31/(integerpart((2^31-1)(pi^31)/2^31)-1
http://www.wolframalpha.com/input/?i=zeta(401)+-+pi^401/(integerpart((2^401-1)(pi^401)/2^401)-1
(si wolfram dit vrai à une telle grandeur)
zeta(2m) avec cette même formule donne une semblable précicion http://www.wolframalpha.com/input/?i=zeta(100)+-+pi^100/(integerpart((2^100-1)(pi^100)/2^100)-1
Plots pour n : http://www.wolframalpha.com/input/?i=zeta(n)+-+pi^n/(integerpart((2^n-1)(pi^n)/2^n)-1
"The most important discovery I have made is that you can calculate all non-trivial zeros of the zeta function knowing one of them. They are all algebraically related."
Je suis curieux de voir la preuve de cette affirmation.
La première formule donnée dans ce fil de messages pose problème (écrite ainsi)
Les deux séries que tu soustraits sont plus que probablement divergentes.
Pour la première formule, la mienne, je sollicite ton indulgence car j'ai quitté le giron universitaire en 1969, autant dire qu'il ne m'en reste pas grand-chose ; je fais avec.
Thanks/merci
pedro caceres
Merci
Regarder $\lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N n^{-2s}$ n'a aucun sens.
Pour $\Re(s) > 1$ et par prolongement analytique pour $\Re(s) > 0$ $$\zeta(s)-\frac{1}{s-1} = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^N n^{-s} - \frac{N^{1-s}-1}{1-s} = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^N n^{-s} - \int_1^N x^{-s}dx =1+\sum_{n=2}^\infty\underbrace{( n^{-s} -\int_{n-1}^n x^{-s}dx)}_{= \mathcal{O}(n^{-s-1})}$$
C'est la seule façon de continuer analytiquement la série de Dirichlet $\sum_{n=1}^\infty n^{-s}$.
http://www.les-mathematiques.net/phorum/addon.php?5,module=embed_images,file_id=69544
is regarding the Zeta function using ONLY prime numbers terms in the infinite Zeta sum.
https://drive.google.com/file/d/1UinHP73IbQmsEorbjohXnsZP_u0QKn3u/view?usp=sharing
thanks
pedro
Reuns, thanks, I do understand.
In my paper I defined a "Tau" transformation to be able to break up the Zeta function in two that is based on the expression that you mention in the analytic continuation after the 2nd (=). The difference between the limit and the integral can lead to express Zeta(z)= A(z) - B(z).
if z*=a*+i b* = non trivial zero, then |A(z*)|=|B(z*)| and that only happens IFF a*=1/2. I prove that in my paper.
I hope you have the opportunity to read it and give me your comments.
Thanks
pedro
With $s = 2z$ or $s = 2\alpha$ it doesn't change that.
pi^n/(integerpart((2^(n)-1)pi^(n)/2^(n))-1)
et de
zeta(n) est étonnante
https://drive.google.com/file/d/1t2k690rHr0zes5YrS1dvF7ZWFP1PxEEx/view?usp=sharing
'https://drive.google.com/file/d/1t2k690rHr0zes5YrS1dvF7ZWFP1PxEEx/view?usp=sharing'
Et pour les valeurs de Zeta dans le plan réel, la meilleure approximation que j'ai trouvée est:
zeta* (n) = 1/(1-pi(-n)-2(-n))
Je crois que ces résultats sont assez innovants.
Merci
pedro
Tu peux approximer $\zeta(1/2+it)$ par $\displaystyle \big(1+\gamma(-it)\big)\sum_{n=1}^{\sqrt{2\pi t}}
n^{-1/2-it}$, c'est l'équation fonctionnelle approchée, et tu obtiens la formule de ton lien en regardant $$ \bigg|\sum_{n=1}^{\sqrt{2\pi t}} n^{-1/2-it}\bigg|^2 = \Re\bigg(\bigg|\sum_{n=1}^{\sqrt{2\pi t}} n^{-1/2-it}\bigg|^2\bigg) = \sum_{n=1}^{\sqrt{2\pi t}}\sum_{m=1}^{\sqrt{\pi t}} (nm)^{-1/2} \cos\big(t \log(n/m)\big)$$ pour $t =\dfrac{N^2}{2\pi}$.
Non, je pense que vous vous trompez.
Premièrement, l'expression que vous écrivez dans votre message est incorrecte, il y a deux détails importants qui ne sont pas inclus dans l'expression que vous écrivez. Si vous essayez numériquement votre formule, vous la trouverez incorrecte. Ma formule est correcte.
Deuxièmement, si vous comprenez la formule, vous pourrez lier:
- les zéros non triviaux de zêta à la fonction harmonique
- décrire mon expression algébrique pour lier TOUS les zéros non triviaux de zêta
Je n'ai jamais lu cela dans aucun journal et je maintiens que c'est innovant.
And I thank you very much for your comments. I really appreciate them. I hope my French is correct
thanks
pedro
Qu'est-ce qui n'est pas correct, es-tu capable d'écrire des formules et des arguments mathématiques clairs ?
(clique sur "citer" pour voir le code Latex de nos messages)
Comme je l'ai dit, on ne peut utiliser la relation fonctionnelle approchée que localement, donc aucun moyen d'étudier l'hypothèse de Riemann comme ça.
L'équation fonctionnelle approchée ou pas n'est pas spécifique à $\zeta(s)$, beaucoup d'autres séries de Dirichlet ont aussi une équation fonctionnelle sans pour autant avoir une hypothèse de Riemann (par exemple les combinaisons linéaires de fonctions L de Dirichlet)
One of the most interesting discoveries of my research on the Riemann Zeta function is that there is an expression in the Real plane that connects the Harmonic function to the non trivial zeros of Zeta with z=1/2+ßi. Actually you can use this expression for all non-trivial zeros of zeta.
H(n) = + n/(ß^2+0.25) - sum_(k=1)^n (2*sum_(j=k+1)^n (k^(-1/2)*j^(-1/2)*cos(ß*ln(k/j))))
for those of you that like WolframAlfa, you can try this approximation (for a very low n=20 as WolframAlfa does not want to work for higher values on n):
1) for ß=14.134725, n=20
****** 20/(ß^2+0.25)-H(20) = 20/(ß^2+0.25)-sum_(k-1)^n (1/k) = -3.49776
****** sum_(k=1)^n (2*sum_(j=k+1)^n (k^(-1/2)*j^(-1/2)*cos(ß*ln(k/j)))) = -3.491098
1) for ß=37.586178, n=20
***** 20/(ß^2+0.25)-H(20) = 20/(ß^2+0.25)-sum_(k-1)^n (1/k) = -3.58359
***** sum_(k=1)^n (2*sum_(j=k+1)^n (k^(-1/2)*j^(-1/2)*cos(ß*ln(k/j)))) = -3.57838
with n>500, the error is less than 0.0001.
This discovery has allowed me to do two things:
1- Link algebraically all non-trivial zeros of zeta through the Harmonic function. We can calculate all non-trivial zeros knowing one of them because if z1=0.5+ß1*i and z2=0.5+ß2*i are both non-trivial zeros of zeta, then:
n/(ß1^2+0.25) - sum_(k=1)^n (2*sum_(j=k+1)^n (k^(-1/2)*j^(-1/2)*cos(ß1*ln(k/j)))) =
n/(ß1^2+0.25) - sum_(k=1)^n (2*sum_(j=k+1)^n (k^(-1/2)*j^(-1/2)*cos(ß2*ln(k/j))))
2. Create a simple code to calculate non-trivial zeros of zeta based on the previous expression knowing that the first one is z=1/2+14.13175*i
More on this at:
https://drive.google.com/file/d/1UinHP73IbQmsEorbjohXnsZP_u0QKn3u/view?usp=sharing
And you can see the calculations for several non-trivial zeros of Zeta in the following table:
https://drive.google.com/file/d/1t2k690rHr0zes5YrS1dvF7ZWFP1PxEEx/view?usp=sharing
Read the books on $\zeta(s)$, the Riemann-Siegel formula, the approximate functional equation.
Nous nous verrions obligés de fermer la discussion dans le cas contraire.
jacquot, modérateur.
L'équation que j'ai partagée hier est plus précise car 'n' tend vers l'infini, mais il est déjà assez précis quand n> 500.
En fait, je vais le montrer graphiquement.
Après mon dernier post avec une formule qui lie les zéros non-triviaux de zeta de la forme z = 1/2 + ib.
H(n) = sum_(k=1)^n (1/k)
X(n) = n/(ß^2+0.25)
Y(n) = - sum_(k=1)^n (2*sum_(j=k+1)^n (k^(-1/2)*j^(-1/2)*cos(ß*ln(k/j))))
et:
H (n) = X (n) + Y (n)
ou exprimé d'une manière différente:
H (n) -Y (n) = X (n) doit être une LIGNE DROITE de pente 1 / (b ^ 2 + 0.25).
Nous pouvons voir cela dans l'image.
https://drive.google.com/open?id=1c--u6CJR2Rj4p8YmSteaYbWdNTaztdvS
La question est de savoir ce qui se passe quand Re(z) n'est pas 1/2. La réponse est que ces courbes ne sont jamais une ligne droite:
https://drive.google.com/open?id=1zHy-C3UM89IRK5Q4SQiCszx_-VeD3T1M
https://drive.google.com/open?id=1x1OlpuDBzvKGeV_CiDgWIZEyZYm1ARoI
https://drive.google.com/open?id=1cE-68BlcvQjGX8NviHYQJk4wS6vR3D90
C'est comme si la musique des nombres primes s'effondrait aux zéros du zêta de la forme (1/2 + ib)
(*) Monsieur le modérateur, mes excuses pour ne pas utiliser le Français dans mon post précédent.
où le terme $\mathcal{O}(\frac{s N^{-\sigma}}{\sigma} )$ c'est $\sum_{n=N+1}^\infty \int_n^{n+1} (n^{-s}-x^{-s})dx=\sum_{n=N+1}^\infty \int_n^{n+1} \int_n^x s t^{-s-1}dtdx$
Et bien sûr $\sum_{n=1}^N \sum_{m=1}^N (nm)^{-\sigma} \cos(t \log (n/m)) = 2\sum_{n=1}^N \sum_{m=n+1 }^N (nm)^{-\sigma} \cos(t \log (n/m)) +\sum_{n=1}^N \sum_{m=n }^n (nm)^{-\sigma} \cos(t \log (n/m))$ $= 2\sum_{n=1}^N \sum_{m=n+1 }^N (nm)^{-\sigma} \cos(t \log (n/m)) +\sum_{n=1}^N n^{-2\sigma}$
C'est correct.
Ma formulation va plus loin et dit aussi que la dernière somme que vous montrez tend vers une droite comme n-> inifinite quand t=Im(z *), avec z * un zéro non-trivial de zeta dans la ligne critique, et sigma=1/2, avec une pente egal a 1/(t^2+0.25).
Merci
Pedro
https://drive.google.com/open?id=1t2k690rHr0zes5YrS1dvF7ZWFP1PxEEx
Convergence, comparaison asymptotique, $o(...)$, $\mathcal{O}(...)$, $\lim_{N \to \infty}$ sont les outils de base de l'analyse que tu ne maîtrises visiblement pas du tout.
Reviens quand tu auras compris que c'est ce que tu dois étudier.
il m'est très difficile d'écrire des formules ici. pouvez-vous s'il vous plaît laissez ma savoir comment le faire? De cette façon, je vais partager les équations. J'ai essayé de partager des résultats qualitatifs mais je comprends que vous voulez voir les formulations explicites.
Merci per votre aide
pedro
Toute la théorie de $\zeta(s)$ est expliquée sur wiki ce lien cliquable.
[Rétablissement du lien. Poirot]
a) Comme tu le dis bien:
\begin{align*}
\sum_{n=1}^N \sum_{m=1}^N (nm)^{-\sigma} \cos(t \log (n/m)) &= 2\sum_{n=1}^N \sum_{m=n+1 }^N (nm)^{-\sigma} \cos(t \log (n/m)) +\sum_{n=1}^N \sum_{m=n }^n (nm)^{-\sigma} \cos(t \log (n/m))\\
&= 2\sum_{n=1}^N \sum_{m=n+1 }^N (nm)^{-\sigma} \cos(t \log (n/m)) +\sum_{n=1}^N n^{-2\sigma}
\end{align*}
b) Ce que j'ai pu obtenir est:
$\displaystyle 2\sum_{n=1}^N \sum_{m=n+1 }^N (nm)^{-\sigma} \cos(t \log (n/m)) +\sum_{n=1}^N n^{-2\sigma} = N/(t^2+0.25) + O(N)$
quand $t=Im(z)$ avec $z=1/2+t i$ a zéro non-trivial de zêta dans la ligne critique.
et $\lim(O(N))=0$ when $N \to \infty$
c) Comme le tableau suivant montre les lignes pour de plusieurs zéros non-triviaux de zêta dans la ligne critique:
https://drive.google.com/open?id=1c--u6CJR2Rj4p8YmSteaYbWdNTaztdvS
Les ondes de la fonction zêta s'effondrent en une ligne sur les zéros non triviaux de zêta dans la ligne critique.
d) Le code suivant dans Python a été utilisé pour dessiner ces lignes
https://drive.google.com/open?id=18G0dfR-Tb4uGoSCSLLM0U54gjXNl4V9G
J'espère que c'est plus intelligible et que je montre quelque chose d'innovant.
Merci encore
Pedro
Pour comprendre pourquoi $\sum_{n=1}^N n^{-1/2-it}$ (donc tes sommes) donnent pour certains $t \approx 2\pi N^2$ des valeurs proches de $\zeta(1/2+it)$ fois les facteurs $\Gamma$ de l'équation fonctionnelle, il faut regarder (et démontrer) La_relation_fonctionnelle_approchée, qui est détaillée dans tous les livres sur $\zeta(s)$ et le théorème des nombres premiers.
$\displaystyle C_2 (x,a,b) =2*x^{-a}\sum_{k=1}^{x-1} k^{-a} \cos(b \log (x/k))$
Vous pouvez lire les caractéristiques de cette fonction dans le document suivant:
https://drive.google.com/open?id=1p8cIPDMLsyv_iPEcypSOr-6h3mWDJkJH
Résumé:
1) $C_2 (x,a,b)$ a des zéros seulement quand:
$a = 1/2$
$b = Im (z)$ avec Zeta(z) = 0
$x = b^{2} + 1/2^{2}$
2) $\lim (C2 (x, 1/2, b)) = 1 / (b^{2} +1/2^{2})$
Un graphique pour $C_2 (x,a,b)$:
https://drive.google.com/open?id=1y9DFmFiKxLehlmbu0pFt38KmomowMasZ
Vous pouvez vérifier C2 avec:
C2(x=200, a=1/2, b= 14.13472514) = abs(2*sqrt(200)*sum_(k=1)^199 ((k^-1/2)*cos(14.13472514*ln(200/k))))<0.001 TRUE
C2(x=442, a=1/2, b= 21.02203963) = abs(2*sqrt(442)*sum_(k=1)^441 ((k^-1/2)*cos(21.022039638771554*ln(442/k))))<0.001 TRUE
C2(x=1878, a=1/2, b= 43.32707328) = abs(2*sqrt(1878)*sum_(k=1)^1877 ((k^-1/2)*cos(43.3270732809149995*ln(1878/k))))<0.001 TRUE
et n'oubliez pas que C2(x,a,b)=0 quand:
a =1/2
b=Im(z) avec Zeta(z) = 0
x=b^2+1/4
Merci et Joyeux Noël à tous
Pedro