Sujet 3n+1 avec n négatifs
Bonjour, je fais un mémoire sur le sujet 3n+1. J'étudie plusieurs cas et là je suis en ce moment sur les nombres négatifs. J'ai remarqué en testant sur les nombres impairs de -1 à -201 que tous les nombres retombent à chaque fois sur un cycle. J'en ai remarqué 3.
(-1,-2)
(-5,-14,-7,-20,-10)
(-17,-50,-25,-74,-37,-110,-55,-164,-82,-41,-122,-61,-182,-91,-272,-136,-68,-34)
J'aimerais le prouver à l'aide des classes d'équivalences, mais avez-vous une idée de comment procéder ?
Merci d'avance.
(-1,-2)
(-5,-14,-7,-20,-10)
(-17,-50,-25,-74,-37,-110,-55,-164,-82,-41,-122,-61,-182,-91,-272,-136,-68,-34)
J'aimerais le prouver à l'aide des classes d'équivalences, mais avez-vous une idée de comment procéder ?
Merci d'avance.
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Réponses
Une trivialité. On peut définir une relation d'équivalence (il faut montrer que c'en est une) par : $m\sim n$ s'il existe $k$ et $\ell$ entiers tels que $f^k(m)=f^{\ell}(n)$, où $f$ est l'application définie par $f(x)=x/2$ si $x$ est pair et $f(x)=3x+1$ si $x$ est impair. C'est formel et ça ne sert à rien si on n'apporte pas une idée en plus.
Par ailleurs ça revient à faire $3n-1$ avec des nombres positifs