Sujet 3n+1 avec n négatifs

Marinou · November 2017

Bonjour, je fais un mémoire sur le sujet 3n+1. J'étudie plusieurs cas et là je suis en ce moment sur les nombres négatifs. J'ai remarqué en testant sur les nombres impairs de -1 à -201 que tous les nombres retombent à chaque fois sur un cycle. J'en ai remarqué 3.
(-1,-2)
(-5,-14,-7,-20,-10)
(-17,-50,-25,-74,-37,-110,-55,-164,-82,-41,-122,-61,-182,-91,-272,-136,-68,-34)

J'aimerais le prouver à l'aide des classes d'équivalences, mais avez-vous une idée de comment procéder ?

Merci d'avance.

Math Coss · November 2017

Si le sujet « 3n+1 » désigne la conjecture de Syracuse, je ne suis guère optimiste pour une démonstration quelconque.

Marinou · November 2017

Oui c'est ça. Non je sais bien que de toute façon ce sujet n'a pas été démontré pour les nombres positifs. Mais là je suis dans le cas des nombres négatifs, et ça serait juste pour savoir comment partir si je veux classer tous les nombres qui retombent sur les 3 cycles présentés précédemment en classe d'équivalence.

Math Coss · November 2017

Y a-t-il la moindre espèce d'indice qui suggère l'ombre d'une possibilité que le problème soit plus facile pour les entiers négatifs que pour les entiers naturels ?

Une trivialité. On peut définir une relation d'équivalence (il faut montrer que c'en est une) par : $m\sim n$ s'il existe $k$ et $\ell$ entiers tels que $f^k(m)=f^{\ell}(n)$, où $f$ est l'application définie par $f(x)=x/2$ si $x$ est pair et $f(x)=3x+1$ si $x$ est impair. C'est formel et ça ne sert à rien si on n'apporte pas une idée en plus.

Shah d'Ock · November 2017

Si tu as trouvé trois cycles en testant jusqu'à $-201$, il me paraît assez probable qu'il y ait beaucoup de cycles.
Par ailleurs ça revient à faire $3n-1$ avec des nombres positifs

Sujet 3n+1 avec n négatifs

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