Démonstration de la conjecture de Brocard
Cette démonstration de la conjecture de Brocard repose sur une nouvelle conjecture plus forte.
J'affirme dans une nouvelle conjecture que si on découpe la suite des entiers consécutifs de 1 à j*(j+4), pour tout nombre j > 8, en (j+4) tranches de longueur j, on trouve alors au moins un nombre premier dans chacune des tranches.
Ainsi on peut dire qu'il y a au moins 4 nombres premiers entre deux nombres premiers consécutifs élevés au carré, puisqu’il y a au moins 4 tranches de longueur j entre j^2 et (j+2)^2.
Cette nouvelle conjecture, a été vérifié jusqu'à j = 142 et on a effectivement toujours au moins un nombre premier pour chacune des (j+4) premières tranches pour tout j <= 142.
La conjecture de Brocard, qui suppose l'existence de 4 nombres premiers entre p(n)^2 et p(n+1)^2 pour tout n>1, (ici p(n) représente le n ième nombre premier), est un cas particulier de la nouvelle conjecture. En effet, on voit que l’énoncé est vrai pour n=2 car on a entre 3² et 5² les nombres premiers 11, 13, 17, 19 et 23. C’est vrai aussi pour n=3 car on a entre 5² et 7² les nombres premiers 29, 31, 37, 41, 43, 47. De même pour n=4 car on a entre 7² et 11² les nombres premiers 53, 59, 61, 67, 71, etc. Pour toutes les autres valeurs de n=k>4, c’est à dire les nombres premiers p(k) > 8, on peut alors s’appuyer sur la nouvelle conjecture pour affirmer qu’il y a au moins 4 nombres premiers entre les carrés de 2 nombres premiers successifs.
En effet, entre p(k)^2 et p(k+1)^2 il y a au moins 4 tranches de longueur p(k), car
p(k+1) >= p(k)+2 ce qui implique que p(k+1)^2 - p(k)^2 >= (p(k)+2)^2 - p(k)^2 = 4*p(k) + 4.
Comme il y a 1 premier par tranche on a donc 4 premiers entre p(k)^2 et p(k+1)^2.
On notera que la nouvelle conjecture est plus générale et plus forte que celle de Brocard car malgré la contrainte de j>8, j peut être un entier premier ou composé. Aussi, la nouvelle conjecture assure au minimum un nombre premier pour chacune des j+4 premières tranches et pas seulement pour les tranches j+1, j+2, j+3 et j+4 situées entre j^2 et (j+2)^2.
Cette nouvelle conjecture demande à être démontrée ou à être infirmée par un contre-exemple, ce que je n'ai pas réussi à faire malgré des efforts considérables. Votre aide serait appréciée.
J'affirme dans une nouvelle conjecture que si on découpe la suite des entiers consécutifs de 1 à j*(j+4), pour tout nombre j > 8, en (j+4) tranches de longueur j, on trouve alors au moins un nombre premier dans chacune des tranches.
Ainsi on peut dire qu'il y a au moins 4 nombres premiers entre deux nombres premiers consécutifs élevés au carré, puisqu’il y a au moins 4 tranches de longueur j entre j^2 et (j+2)^2.
Cette nouvelle conjecture, a été vérifié jusqu'à j = 142 et on a effectivement toujours au moins un nombre premier pour chacune des (j+4) premières tranches pour tout j <= 142.
La conjecture de Brocard, qui suppose l'existence de 4 nombres premiers entre p(n)^2 et p(n+1)^2 pour tout n>1, (ici p(n) représente le n ième nombre premier), est un cas particulier de la nouvelle conjecture. En effet, on voit que l’énoncé est vrai pour n=2 car on a entre 3² et 5² les nombres premiers 11, 13, 17, 19 et 23. C’est vrai aussi pour n=3 car on a entre 5² et 7² les nombres premiers 29, 31, 37, 41, 43, 47. De même pour n=4 car on a entre 7² et 11² les nombres premiers 53, 59, 61, 67, 71, etc. Pour toutes les autres valeurs de n=k>4, c’est à dire les nombres premiers p(k) > 8, on peut alors s’appuyer sur la nouvelle conjecture pour affirmer qu’il y a au moins 4 nombres premiers entre les carrés de 2 nombres premiers successifs.
En effet, entre p(k)^2 et p(k+1)^2 il y a au moins 4 tranches de longueur p(k), car
p(k+1) >= p(k)+2 ce qui implique que p(k+1)^2 - p(k)^2 >= (p(k)+2)^2 - p(k)^2 = 4*p(k) + 4.
Comme il y a 1 premier par tranche on a donc 4 premiers entre p(k)^2 et p(k+1)^2.
On notera que la nouvelle conjecture est plus générale et plus forte que celle de Brocard car malgré la contrainte de j>8, j peut être un entier premier ou composé. Aussi, la nouvelle conjecture assure au minimum un nombre premier pour chacune des j+4 premières tranches et pas seulement pour les tranches j+1, j+2, j+3 et j+4 situées entre j^2 et (j+2)^2.
Cette nouvelle conjecture demande à être démontrée ou à être infirmée par un contre-exemple, ce que je n'ai pas réussi à faire malgré des efforts considérables. Votre aide serait appréciée.
Réponses
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Moi je démontre la conjecture des nombres premiers en faisant la nouvelle conjecture que pour tout nombre entier $n$ pair il existe un nombre premier $p$ tel que $p+n$ est encore premier.
Cette nouvelle conjectire a été vérifiée jusqu'à $n=4$. -
Où est votre démonstration?
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Sha d'Ock c'est du sarcasme?
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Parce que je ne trouve pas sha drôle. Je sors.
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C'est trivial: il suffit de prendre $n=2$ dans ma nouvelle conjecture pour obtenir le théorème des premiers jumeaux.
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La conjecture concernant les premiers jumeaux dit qu'il y a une infinité de premiers jumeaux. Votre démonstration ne montre pas qu'il y a une infinité de nombres premiers tels qu'en ajoutant 2 on obtient un autre nombre premier.
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Effectivement, je me suis trompé (d'ailleurs tel qu'énoncé ce n'est pas une conjecture mais un théorème). Je voulais dire que pour tout nombre entier n pair il existe une infinité de nombres premiers p tel que p+n est encore premier.
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Si ! Elle démontre que si, pour tout $n$ pair, il existe une infinité de couples de nombres premiers de la forme $(p,p+n)$, alors il existe une infinité de nombres premiers jumeaux.
Edit: Grmbl, pourriez faire attention ! Du coup, la conjecture n'est pas vérifiée jusqu'à $n=4$...
Ce que veut dire Shah d'Ock, c'est que « démontrer » une conjecture en la remplaçant par une conjecture plus forte (et donc sans doute plus difficile), ça n'apporte sans doute pas grand-chose au problème initial. Il faut donc de bonnes raisons pour motiver la nouvelle conjecture. -
Je comprends qu'une démonstration qui repose sur une conjecture risque éventuellement d'être rejetée si par la suite on prouve que la conjecture est fausse. Toutefois il y a des démonstrations de théorèmes qui reposent sur la conjecture de Riemann bien que cette conjecture n'ai jamais été démontrée. J'ai de bonnes raisons de croire que la conjecture que j'ai énoncée est vraie car j'ai vérifié pour des tranches de nombres de plus en plus longues et elle se révèle correcte.
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Ce dont tu parle revient à démontrer "HR implique Machin". Tant que HR n'est pas démontré on ne saurait considérer que Machin l'est. Mais il peut être interessant toutefois de démontrer l'implication.
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Vous avez raison c'est simplement une implication qui est démontrée.
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J'ai poursuivi la vérification jusqu'à j=3000, donc une matrice de 3000 colonnes par 3004 lignes et effectivement on a toujours au moins un nombre premier par ligne pour toute les matrices de j lignes par j+4 colonnes, pour j variant de 9 à 3000.
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