Une méthode pour calculer la racine n-ième
dans Shtam
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De M Sekiou Nouredine enseignant de maths à Merouana Batna Algérie
Ce document contient une méthode pour calculer la racine n-ième d'un nombre
De M Sekiou Nouredine enseignant de maths à Merouana Batna Algérie
Ce document contient une méthode pour calculer la racine n-ième d'un nombre
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Réponses
Belle présentation d'une méthode de calcul élémentaire.
Même s'il est maintenant difficile de trouver des références, cette méthode est très ancienne. Le cas n=2 était enseigné en collège jusqu'aux années 1970 en France. Depuis l'arrivée des calculettes et leur utilisation de programmes plus performants, elle n'a plus d'intérêt pratique.
Cordialement.
Je suis arrivé à cette méthode en 2002 quand je tentais à donner une explication à la méthode enseigné en collège pour extraire la racine carré.
cette méthode n'est pas comme ma méthode , car dans cette méthode on partage le nombre en tranche de deux chiffres à partir de la droite .
On baisse des tranches non des chiffres donc elle est différent ,
Quel est votre avis ?
Quelle est la différence entre cette méthode et les autres méthodes d'extraire la racine n'-ième ?
Il existe des algorithmes très efficaces qui produisent des valeurs très précises de $\sqrt[p]{q}$ et qui sont programmables.
Quand j'étais en troisième on m'a montré comment extraire une racine carrée par une méthode probablement similaire à celle que tu exposes dans un cadre plus général mais ce sont des méthodes moins efficaces que d'autres qui se programment bien sur un ordinateur.
Un lien sur l'article de Wikipedia qui décrit des méthodes d'extraction de racines carrées:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Racine_carrée#Extraction_de_racines_carrées
Si tu veux en savoir plus, apprends les techniques actuelles de calcul approché (analyse numérique, algorithmique, calcul numérique,...)
Cordialement.
NB : Moi-même, j'ai eu la flemme de regarder dans le détail ta méthode ! Calculer chiffre par chiffre est déjà trop lent.
PS:
Ce qui signifie, pour le dire vite, qu'on calcule une suite de nombres décimaux $U_n$. Si $U_n$ partage les p premières décimales exactes avec le nombre qu'on cherche à approcher alors $U_n$ en partagera 2p. Ce qui est bien plus efficace que de calculer décimale par décimale.
Soit à calculer une valeur approchée à 10 décimales de $\sqrt{2}$.
On considère la suite,
$U_{n+1}=\frac{1}{2}\left(U_{n}+\frac{2}{U_n}\right)$ avec $U_0=1$.
Voici les premières valeurs de cette suite.
En fait, on arrondit à 20 décimales et on prend cette valeur $V_n$ pour calculer la suivante qu'on arrondira à 20 décimales etc.
$V_0=1$
$V_1=1,5$
$V_2=1,41666666666666666666$
$V_3=1,41421568627450980392$
$V_4=1,41421356237468991062$
A comparer avec,
$\sqrt{2}=1.41 42 13 56 23 7...$
A la quatrième itération de la suite on a déjà $11$ décimales exactes.
PS:
Un ordinateur ne manipule que des nombres décimaux, c'est à dire des nombres réels avec un développement décimal fini. Un ordinateur ne sait pas manipuler $0,33333333333333333....$ par exemple.
PS2:
Dans le cas d'espèce on aurait pu calculer sur des fractions ce qu'un ordinateur sait faire et produire à chaque itération une valeur approchée de la fraction obtenue.
Pourquoi cela devrait être novateur?
Quand certains mathématiciens considérés comme géniaux par la suite redécouvrent des trucs mathématiques (déjà connus) dans leur jeunesse on utilise ces anecdotes pour confirmer leur génie supposé.
Quand un amateur redécouvre une méthode (correcte et déjà connue depuis longtemps) c'est tout juste s'il ne se fait pas insulter. Deux poids, deux mesures...
PS:
Je n'ai pas lu complètement le pdf du premier message mais je me demande si ce message est bien à sa place dans la rubrique $shtam$.
Pour (essayer de) dire quelque chose de plus constructif... Je me suis demandé pourquoi cette méthode dite de Héron n'était pas celle qu'on apprenait à l'école quand on y faisait ces calculs à la main. En effet, non seulement il y a beaucoup moins d'étapes à suivre que dans un algorithme qui fonctionnerait chiffre par chiffre ou deux par deux (disons $n$ ou $n/2$ manipulations élémentaires pour un nombre à $n$ chiffres à la fin), comme tu l'as fait remarquer, mais en plus, les erreurs éventuelles sont automatiquement corrigées par la méthode. Mais quelqu'un m'a fait remarquer (Gérard peut-être, sur ce forum ?) qu'une étape de calcul impliquait de manipuler toutes les décimales connues, soit pour une division $n$ opérations élémentaires à chaque étape. Bref, à la main, c'est peut-être plus long (mais plus robuste face aux erreurs).
à l'époque de ma jeunesse, où les calculettes n'existaient pas, l'algorithme "progressif" était enseigné, car, pour trouver quelques chiffres, on ne manipulait que des additions, soustractions et multiplications sur des petits nombres. Par contre, l'algorithme dit "de Héron" nécessite dès la première étape, une division à chaque étape, ce qui peut être coûteux.
A cette époque (disons avant 1975), on utilisait largement des tables de racines carrées et cubiques, et d'inverses, pour accélérer les calculs (dans les tables pour collégiens, on avait inverses, carrés et cubes des entiers de 1 à 10.0); on utilisait aussi beaucoup l'interpolation linéaire, pour approximer par exemple la racine carrée de 3152 à partir de celles de 3100 et 3200 (déduites de la table). La précision n'était pas terrible ! Donc on factorisait pour se ramener à des produits de nombre de la table, ou, à partir de la terminale, on utilisait les tables de logarithmes.
Cordialement.