Une méthode pour calculer la racine n-ième

On vit à l'ère de l'ordinateur. L'activité d'un mathématicien n'est plus de produire des valeurs approchées à la main comme on a pu le voir dans le passé, par exemples, la controverse sur la vingtième décimale du nombre d'Euler-Mascheroni ou le fait que Ludolph van Ceulen ait passé une bonne partie de sa vie à calculer des décimales de $\pi$.

Il existe des algorithmes très efficaces qui produisent des valeurs très précises de $\sqrt[p]{q}$ et qui sont programmables.
Quand j'étais en troisième on m'a montré comment extraire une racine carrée par une méthode probablement similaire à celle que tu exposes dans un cadre plus général mais ce sont des méthodes moins efficaces que d'autres qui se programment bien sur un ordinateur.

Un lien sur l'article de Wikipedia qui décrit des méthodes d'extraction de racines carrées:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Racine_carrée#Extraction_de_racines_carrées

Dans les algorithmes connus on en connait qui permettent (asymptotiquement) de doubler le nombre de décimales exactes du nombre dont on cherche à calculer la racine carrée (par exemple) à chaque itération.

PS:
Ce qui signifie, pour le dire vite, qu'on calcule une suite de nombres décimaux $U_n$. Si $U_n$ partage les p premières décimales exactes avec le nombre qu'on cherche à approcher alors $U_n$ en partagera 2p. Ce qui est bien plus efficace que de calculer décimale par décimale.

Ah ! C'est novateur, ça, tiens !

C'était une blague, je ne pensais pas à mal (vraiment !). En effet, cette méthode a été découverte et redécouverte plein de fois. Par exemple, c'est ce qu'on obtient en appliquant la méthode de Newton à la fonction $x\mapsto x^2-2$.

Pour (essayer de) dire quelque chose de plus constructif... Je me suis demandé pourquoi cette méthode dite de Héron n'était pas celle qu'on apprenait à l'école quand on y faisait ces calculs à la main. En effet, non seulement il y a beaucoup moins d'étapes à suivre que dans un algorithme qui fonctionnerait chiffre par chiffre ou deux par deux (disons $n$ ou $n/2$ manipulations élémentaires pour un nombre à $n$ chiffres à la fin), comme tu l'as fait remarquer, mais en plus, les erreurs éventuelles sont automatiquement corrigées par la méthode. Mais quelqu'un m'a fait remarquer (Gérard peut-être, sur ce forum ?) qu'une étape de calcul impliquait de manipuler toutes les décimales connues, soit pour une division $n$ opérations élémentaires à chaque étape. Bref, à la main, c'est peut-être plus long (mais plus robuste face aux erreurs).