Nombre infini de racines
![[Utilisateur supprimé]](https://w0.vanillicon.com/06e033c229d2c3b99cf35e0f43a173e8_100.png)
Bonjour,
je me posais une question récemment, la voici.
On sait qu'un polynôme de degrés $n$ possède $n$ racines complexes.
En gros, mon questionnement est : est-ce qu'il y aurait des choses intéressantes à dire au niveau mathématique sur une somme infinie (degrés $n$ à l'infini) de terme $a_k x^k$ possédant, si l'on extrapole sur les polynômes, un nombre infini de racines. Si oui, connaît-on de tels cas ?
Bien cordialement.
je me posais une question récemment, la voici.
On sait qu'un polynôme de degrés $n$ possède $n$ racines complexes.
En gros, mon questionnement est : est-ce qu'il y aurait des choses intéressantes à dire au niveau mathématique sur une somme infinie (degrés $n$ à l'infini) de terme $a_k x^k$ possédant, si l'on extrapole sur les polynômes, un nombre infini de racines. Si oui, connaît-on de tels cas ?
Bien cordialement.
Réponses
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Les fonctions trigonométriques peut-être ?
Ce ne sont pas des polynômes mais des fonctions développables en série entière, une sorte de "prolongement des polynômes à des degrés infinis". -
Bonsoir TurboLanding.
$\sum\limits_{k=0}^{+\infty} a_kx^k$ est une "série entière". Si tu lis un cours sur les séries entières, tu verras que certaines sont très connues, et ont une infinité de "racines".
Bonne lecture ! -
Bonjour,
Et le plus drôle, c'est qu'il y a de telles fonctions qui n'ont aucune racine. -
Merci de vos réponses.
Ce n'est donc pas la règle que des séries entières aient un nombre infinie de racines.
Dans un cours, je pourrai trouver spécifiquement des éléments de réponses sur ce point ? -
Oui.
Tu trouveras que des séries entières donnent sin ou cos, une autre l'exponentielle, etc. -
J'ai trouvé des exemples où des séries donnent de telles fonctions qui s'annulent une infinité de fois donc.
(par exemple : http://www.panamaths.net/Documents/Formulaires/FORMU_DSEUSUELS.pdf). -
Attention, il y a une sacrée différence entre un cours sur les séries entières, et un cours qui aborde l'annulation de telles fonctions (généralement au niveau des fonctions entières, mais il faut connaître un peu d'analyse complexe).
-
Ma question était précisément de savoir s'il y avait un cours spécifique sur l'annulation de telles fonctions. Pourriez-vous m'indiquer un lien peut-être ?
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Bonjour!
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