Nombres premiers jumeaux

Npj
Npj
dans Shtam
Bonjour,
À chaque étape du crible d’Ératosthène on raye des nombres, et à chaque étape on peut calculer une nouvelle densité des nombres qui restent.
Est-ce que la tendance qu'ont les nombres premiers à se faire de plus en plus rare au fur et à mesure que l'on s'éloigne de zéro, peut nous amener à conclure que la densité des nombres premiers jumeaux situés entre x^2 et (x+1)^2 à une étape se rapproche de la densité des nombres premiers jumeaux de l'étape précédente et ce, au fur et à mesure que l'on s'éloigne de zéro ?

Ah oui "des nombres qui restent" :-)

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Heu ... à priori, si les premiers se raréfient, les premiers jumeaux aussi, voire disparaissent. Par contre, une suite de densités qui tend vers 0 a ses termes qui "se rapprochent" les uns des autres.

    Cordialement
  • babsgueye
    babsgueye
    Salut.
    Qui a dit qu'il y a des premiers jumeaux entre $x^2$ et $(x+1)^2$ ?

    Merci
  • Npj
    Npj
    Merci Gérard pour ta réponse, j'essaie de comprendre cette histoire de termes qui se rapprochent.

    Babsgueye bonjour, je ne propose pas qu'il y en ait de toute façon,
    je me demande si la quantité de nombres premiers jumeaux entre x^2 et (x+1)^2 a tendance à se rapprocher de la densité de premiers jumeaux de l'étape précédente dans le crible d’Ératosthène au fur et à mesure que l'on s'éloigne de zéro...
    Je pense mal m'exprimer j'espère que tu as compris...
    Je suis toujours à essayer de comprendre Gérard ;)
  • Npj
    Npj
    ... Je pense que pour les mêmes raisons j'aurais pu poser la question pour la quantité de nombres premiers jumeaux situés entre x et x^2... Non ?
  • gerard0
    gerard0
    Je m'aperçois que ma réponse n'est pas vraiment appropriée, la notion "d'étape suivante" m'ayant induit en erreur.

    En fait c'est beaucoup plus simple : A partir du moment où on barre des multiples d'un premier supérieur à (x+1)², la proportion de jumeaux parmi les nombres qui restent entre x² et (x+1)² ne change plus, puisqu'on ne touche plus à ces nombres.

    Ou alors j'ai encore mal compris, mais il faut dire que ce premier message est particulièrement flou. Par exemple il est écrit " la densité des nombres premiers jumeaux situés entre x^2 et (x+1)^2 à une étape" sans que soit donnée la signification de "densité".

    Cordialement.
  • babsgueye
    babsgueye
    Ben, les premiers jumeaux comme les nombres premiers vont certainement se raréfier.
    Justement pour la comparaison entre intervalles, c'est qu'on va rencontrer des intervalles où il n'y en a pas du tout, et d'autres plus loin où il y en aura. Que pourra-t-on en conclure ?


    Merci.
  • Npj
    Npj
    Merci pour vos réponses,
    pardon Gérard, en effet je manque de précision,
    je me disais que puisque à une étape le nombre de premiers jumeaux (potentiels) restants est déterminable et toujours positif,
    si à l'étape suivante le nombre de premiers jumeaux situés entre x^2 et (x+1)^2 tant à se rapprocher du nombre de premiers jumeaux de l'étape précédente, alors on aurait peut-être pu démontrer par ce biais qu'il en existe une infinité...
  • reuns
    reuns
    Si on arrive à dire beaucoup de choses sur la densité de nombres premiers et à montrer le PNT c'est parce que $$\log(\sum_{n=1}^\infty n^{-s})\approx \sum_p p^{-s}$$ Il n'existe pas de truc équivalent pour les nombres premiers jumeaux.
  • Npj
    Npj
    Merci Reuns pour ta réponse,
    Est-ce que tu es d'accord pour affirmer qu'à une étape du crible d'Eratosthène on sait définir le nombre de premiers jumeaux "potentiels" c'est à dire ceux qui n'ont pas été rayés par l'étape suivante ?

    et de ce que je comprends tu affirmes que ça ne suffit pas pour définir le nombre de premiers jumeaux entre x carré et (x +1) au carré
    C'est ça ?
  • reuns
    reuns
    Le crible d’Ératosthène est hyper compliqué et chaotique. Pour pouvoir dire des choses sur la densité de premiers quand $x \to \infty$, on a besoin d'un truc plus simple.
    Le produit eulérien $\sum_{n=1}^\infty n^{-s} = \prod_p \frac{1}{1-p^{-s}}$ encode le vrai crible d’Ératosthène dans toute sa complexité. Mais quand on remplace $\sum_{n=1}^\infty n^{-s}$ par une approximation du genre $\frac{1}{s-1}$ on obtient que $\sum_p p^{-s} \approx -\sum_p \log(1-p^{-s}) = \log(\zeta(s)) \approx \log (\frac{1}{s-1})$. Et ça c'est une énorme simplification, qui permet ensuite de montrer le PNT.

    Il n'existe pas de truc équivalent pour les nombres premiers jumeaux (hormis, dans un certain sens, le modèle probabiliste des nombres premiers, qu'on ne sait pas justifier rigoureusement).

    [Ératosthène de Cyrene (-276 ; -194) prend toujours une majuscule. AD]
  • Emphyrio
    Emphyrio
    Bonjour,

    Ce que je vais écrire va certainement être contesté mais la question de savoir combien il y a de nombres premiers dans l'intervalle [x2, (x+1)2] avec x > 1 est un sujet qui m'intéresse beaucoup..

    Selon la littérature la seule chose que l'on puisse affirmer c'est qu'il y a toujours au moins un nombre premier (et ce n'est pas démontré formellement) pourtant dans la pratique on constate qu'il y en a beaucoup et même de plus en plus quand x augmente.

    Mes recherches m'ont conduit à penser qu'il y a toujours au moins un couple de jumeaux non pas sur [x2, (x+1)2] mais sur [x2, (x+2)2].

    On sait que le nombre de premiers inférieurs à x quand x augmente tend vers x/ln(x) de sorte que la densité de premiers sur l'intervalle [1, x] tend vers 1/ln(x) autrement dit la probabilité statistique pour qu'un nombre entier pris au hasard sur cet intervalle soit un nombre premier vaut environ 1/ln(x).

    Ainsi, lorsque x est suffisamment grand on sait que 1/ln(x) ne variera quasiment pas sur [x2, (x+1)2] or il y a (2x+1) entiers dans cet intervalle si la densité de premiers est quasi constante et vaut donc 1/ln(x2) alors on doit s'attendre à trouver en moyenne (2x+1)/ln(x2) nombres premiers soit environ x/ln(x) premiers (Rappel x >> 1 dans la pratique quelques unités suffisent).

    On vérifiera que cette approximation est proche du dénombrement "manuel".


    Emphyrio
  • Breyer
    Breyer
    "Selon la littérature la seule chose que l'on puisse affirmer c'est qu'il y a toujours au moins un nombre premier (et ce n'est pas démontré formellement) "
    C'est la conjecture de Legendre, toujours ouverte, et il n'y a donc aucune affirmation, à ce jour, de l'existence d'au moins un nombre premier dans chacun de ces intervalles.
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