Nombres premiers de la forme $P(n)^2 + 4^k$

Soit P(n) le produit des nièmes nombres premiers autres que 2 ainsi :

P(1) = 3, P(2) = 3*5, P(3) = 3*5*7, P(4) = 3*5*7*11, etc...

Est-il toujours possible de trouver un entier k > 0 tel que pour tout n > 1 : P(n)² + 4^k soit un nombre premier ?

Nous savons que tous les nombres premiers se terminent nécessairement soit par 1, 3, 7 ou 9.

Nous savons que pour n > 1, P(n) se termine par 5 et donc P(n)² par 25 or les puissances de 4 se terminent en 4 ou 6 de sorte que P(n)² + 4^k se terminent tous soit par 1 ou 9 quelque soit n > 1 et k > 0.

On sait aussi qu'un nombre premier de la forme 4q + 1 est toujours formé par la somme de deux carrés. (Théorème de Fermat)

Vérifions que quelque soit n > 1 et k > 0 alors [P(n)² + 4^k] - 1 = [(P(n) - 1)(P(n) + 1) + 4^k] est bien un multiple de 4 (trivial).

Ainsi P(n)² + 4^k peut être un nombre premier de la forme (4q+1) quelque soit n ou k c'est une condition nécessaire mais pas suffisante.


Par ailleurs, un nombre premier est toujours de la forme 6q' ± 1 et on remarquera que P(n)² + 4^k est toujours de la forme 6q' + 1. En effet, P(n)² et (4^k - 1) sont toujours des multiples de trois et après mise en facteur de 3, il reste la somme de deux impairs cela fait donc bien un multiple de 6.


Avant d'aller plus loin, demandons nous s'il existe au moins un exemple de valeurs entières de n et k telles que P(n)² + 4^k soit bien un nombre premier (Rappel n > 1 et k > 0).

Si n = 2 alors P(2) = 15 alors P(2)² + 4^k = 225 + 4^k si k = 1, 2 ou 5 alors on obtient un nombre premier. il y a d'autres solutions pour k, sont-elles en nombre infini ? (Ndlr : oui probablement en nombre infini...)

Si n = 3 alors P(3) = 105 alors P(3)² + 4^k = 11025 + 4^k, la première possibilité c'est k = 5 mais il y a aussi k = 6

Il y a un nombre infini de premiers de la forme 4q + 1, on peut donc de demander s'il y a un nombre fini ou infini de couples d'entiers (n, k) tels que : P(n)² + 4^k soit justement l'un de ces nombres premiers (Rappel n > 1 et k > 0).

A priori, n et k sont des paramètres libres mais on sait qu'il y a toujours au moins un nombre premier entre P(n)² et 2P(n)², (Postulat de Bertrand), cherchons alors la valeur kmax telle que :

P(n)² + 4^kmax = 2P(n)² on trouve aisément que kmax = ln(P(n))/ln(2).


Il peut être légitime et intéressant de se demander s'il existe toujours au moins une valeur entière k < kmax telle que : P(n)² + 4^k soit un nombre premier. (Rappel n et k sont des entiers tels que n > 1 et 0 < k < kmax = ln(P(n))/ln2)

On remarquera que pour P(2) et P(3), les premières solutions trouvées numériquement pour k respectent effectivement la condition :

k < kmax = ln(P(n))/ln2

P(4)² = 1 334 025 on cherche avec k <= 10 on remarquera que k = 9 est solution puisque P(4)² + 4⁹ = 1 596 169 est bien premier.

P(5)² = 225 450 225 on cherche avec k <= 13 on trouve que k = 11 est solution puisque P(5)² + 4¹¹ = 229 644 529 est bien un premier.

Etc...


Peut-on voir dans [P(n)² + 4^k] avec (n > 1 et 0 < k < kmax = ln(P(n))/ln2), une formule heuristique pour découvrir assez facilement des nombres premiers de plus en plus grands ?


Emphyrio