Résolution de : $x_n^2 + y_n^2 = z_n^2$

Résolution de l'équation entière : x_n² + y_n² = z_n² avec (x_n - y_n) = +/- 1 (1)*

Première solution n=1 avec le triplet (3, 4, 5) soit : 3² + 4² = 5²

Deuxième solution n=2 donnée par le triplet (20, 21, 29) : 20² + 21² = 29²


Soit : U_n = x_n + y_n, on démontre que : U_n = [2z_n² - 1]^1/2 donc (2z_n² - 1) est toujours un carré parfait.


Ainsi, la seule connaissance des z_n permet de trouver tous les x_n et y_n qui sont solutions de (1)* via U_n. On démontre par récurrence que tous les z_n suivent la relation suivante : z_n+2 = 6z_n+1 - z_n


De plus, on démontre que tous les U_n respectent la même relation soit U_n+2 = 6U_n+1 - U_n


Ainsi, à partir des z_n et des U_n, on obtient tous les triplets (x_n, y_n, z_n) qui sont solutions de (1)*


Dès lors, toutes les solutions suivantes qui sont donc en nombre infini sont construites avec z₁ = 5 et z₂= 29 et avec U₁= 7 et U₂ = 41


Ainsi : z₃ = 6*29 - 5 = 169 et U₃ = 6*41 - 7 = 239 = x₃ + y₃


Soit : 119² + 120² = 169²


Puis : z₄ = 6*169 - 29 = 985 et U₄ = 6*239 - 41 = 1393 = x₄ + y₄


Soit 696² + 697² = 985²


Etc...


Emphyrio


Ps ; On remarquera que le terme z_n est souvent un nombre premier, par ailleurs on peut démontrer que lorsque le terme impair du couple (x_n, y_n) est un multiple de 3 alors z_n est un nombre premier.

On démontre aussi que tous les termes impairs des couples (x_n, y_n) peuvent s'obtenir par récurrence sans la connaissance des z_n comme le produit de V_n+1V_n avec V_n+2 = 2V_n+1 + V_n où V₁ = 1 et V₂=3.