Ce n'est pas normal !
[Nota: Pas vraiment Shtam, mais nous sommes le 1er avril ...]
Bonjour,
Le professeur Schpotzermann de l'université d'Erfurt me communique (1) un résultat important concernant le développement décimal du nombre $10$ élevé à une puissance irrationnelle :
"Le développement décimal du nombre 10 élevé à une puissance irrationnelle ne peut comporter tous les chiffres de 0 à 9 dans le cas où l'exposant est un nombre transcendant."
On peut vérifier par exemple avec Mathematica®, que le nombre $\pi$ étant transcendant, le développement de $10^{\pi}$ ne comporte pas le chiffre $2$ :
In[1]:= N[10^Pi, 50]
Out[1]= 1385.4557313670110891409199368796880650665655394450
De la même manière, le nombre $e$ étant transcendant, le développement de $10^e$ ne comporte pas le chiffre $8$ :
In[2]:= N[10^E, 50]
Out[2]= 522.73529967043665490529945073376950047923329535951
Inversement, pour un exposant algébrique irrationnel comme $\sqrt{3}$, tous les chiffres sont présents :
In[3]:= N[10^Sqrt[3], 50]
Out[3]= 53.957374288096381139622449174540717880503977639844
Il est alors intéressant de remarquer que le développement décimal de $10^{(\pi+e)}$ n'utilise pas le chiffre $3$, ce qui laisse présumer la transcendance de cette somme, fameux problème ouvert (2)!
In[4]:= N[10^(Pi + E), 50]
Out[4]= 724226.61691625852647546850954690701176725020951417
(1) Schpotzermann, H. "Nur ein transzendental Hirngespenst" (communication personnelle)
(2) Bailey, D. H. "Numerical Results on the Transcendence of Constants Involving pi, e, and Euler's Constant." Math. Comput. 50, 275-281, 1988.
Bonjour,
Le professeur Schpotzermann de l'université d'Erfurt me communique (1) un résultat important concernant le développement décimal du nombre $10$ élevé à une puissance irrationnelle :
"Le développement décimal du nombre 10 élevé à une puissance irrationnelle ne peut comporter tous les chiffres de 0 à 9 dans le cas où l'exposant est un nombre transcendant."
On peut vérifier par exemple avec Mathematica®, que le nombre $\pi$ étant transcendant, le développement de $10^{\pi}$ ne comporte pas le chiffre $2$ :
In[1]:= N[10^Pi, 50]
Out[1]= 1385.4557313670110891409199368796880650665655394450
De la même manière, le nombre $e$ étant transcendant, le développement de $10^e$ ne comporte pas le chiffre $8$ :
In[2]:= N[10^E, 50]
Out[2]= 522.73529967043665490529945073376950047923329535951
Inversement, pour un exposant algébrique irrationnel comme $\sqrt{3}$, tous les chiffres sont présents :
In[3]:= N[10^Sqrt[3], 50]
Out[3]= 53.957374288096381139622449174540717880503977639844
Il est alors intéressant de remarquer que le développement décimal de $10^{(\pi+e)}$ n'utilise pas le chiffre $3$, ce qui laisse présumer la transcendance de cette somme, fameux problème ouvert (2)!
In[4]:= N[10^(Pi + E), 50]
Out[4]= 724226.61691625852647546850954690701176725020951417
(1) Schpotzermann, H. "Nur ein transzendental Hirngespenst" (communication personnelle)
(2) Bailey, D. H. "Numerical Results on the Transcendence of Constants Involving pi, e, and Euler's Constant." Math. Comput. 50, 275-281, 1988.
Réponses
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Ce résultat trop peu connu suggère un analogue en base $2$ : si $a$ est transcendant, le développement en base $2$ de $2^a$ ne peut pas comporter tous les chiffres de $0$ à $1$. J'en étudie la validité depuis quelques mois.
-
;-)Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement.
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Excellent !!
Cela me fait penser à $\displaystyle \exp\Big({\sum_{k\geq1}\dfrac{1}{k(10^k+1)}}\Big)$, un nombre dont l'écriture décimale ne contient pas de $7$. -
Il me semble qu'il y a une erreur. Les références doivent en effet s'écrire entre crochet et non entre parenthèses. Il aurai fallu écrire [1] et non (1). Je pense que ceci remet en cause le résultat, ou tout du moins, que ce papier aura besoin d'une révision majeure avant de pouvoir être accepté.
-
Un grand merci Breyer. Il n'y a donc que des $0$ et des $1$.
-
De rien Cidrolin. Je suppose que tu connaissais l'identité d'Ono en "calcul-q":
$$\prod_{n\geq1}\frac{\left(1-q^{2n}\right)^{2}}{\left(1-q^{n}\right)}=\sum_{n\geq0}q^{n(n+1)/2}$$
Sinon d'où t'es venu cette remarque? -
Non Breyer, je ne connais pas ces notions. J'ai trouvé ce problème dans un vieux numéro du Am. Math. Monthly.
Plus tard j'ai vu une démonstration. En partant de $a=\dfrac{1}{11}+\dfrac{1}{2\times 101} +\dfrac{1}{3 \times 1001}+\dots$
on peut penser à $ \ln(\dfrac{10}{9})=\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{2\times 100} +\dfrac{1}{3 \times 1000}+ \dots$.
On obtient $a=\ln(\dfrac {10}{9})-\ln(\dfrac {100}{99})+\ln(\dfrac {1000}{999})-\dots$
Donc $e^a=\dfrac {10}{9} \times \dfrac {99}{100} \times \dfrac{1000}{999} \times \dots $.
Puis on trouve le résultat avec une identité de Jacobi. Pardon pour le manque de précisions, mais c'est bien ancien dans mes souvenirs. -
Merci Cidrolin. Note que l'identité d'Ono c'est un peu du Jacobi revisité.
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Bonjour!
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