Une nouvelle conjecture,Syracuse généralisée
Une suite de Syracuse généralisée peut être définie de la façon suivante :
soit x(i) entier positif impair et P un nombre premier,
si x(i) est un nombre premier, x(i+1)=P*x(i)+1,
si x(i) est non premier, x(i+1)=3*x(i)+1,
ensuite si x(i+1) est pair x(i+2)=x(i+1)/2
si x(i+1) est impair et premier x(i+2)=P*x(i+1)+1 ( pour le cas où P=2)
si x(i+1) est impair non premier x(i+2)=3*x(i+1)+1
et si x((i+1) est pair x(i+2)=x(i+1)/2.
Remarquez que la suite ainsi définie est unique pour tous les termes descendants de x(i) ,
Ainsi à une valeur impaire x(1) va donner une suite de Syracuse généralisée unique.
Pour le nombre premier P=3 on retrouve les suites de Syracuse, 3 est le seul nombre premier
P pour lequel x(i+1) est pair est égal à 3*x(i)+1 que x(i) soit premier ou non!
Si on commence par la suite 1,21,85,341,1365,5461,21845,87381 ... pour valeur de x(1)
soit x(1)=(2^(2^n)-1)/3 avec x(1) non premier toutes les suites généralisées de Syracuse vont se
terminer par 2^(2^n), 2^(2^n)/2, ...... 4, 2, 1, 4, 2, 1..... quelque soit P.
Pour P=2 les valeurs x(i) = 85,241,5461,21845,349525 et tous les (4^n-1)/3 non multiple
de 3 seront les pénultièmes valeurs impaires et la dernière valeur impaire sera x(i+k)=1 puis
répétition de 4,2,1....
Pour P=2 toutes les suites de Syracuse généralisées qui ne se terminent pas par la répétition de
4,2,1,4,2,1.... se terminent par 1163, 2327, 6982, ..........., 4652, 2326, 1163 et répétition d'un cycle de 931 valeurs.
Pour P=2 , 85% des x(1) impairs conduisent à une suite qui se termine par 4.2,1 et 15% par 1163......1163.....1163.
La nouvelle conjecture: toutes les suites de Syracuse généralisées convergent
et se terminent par des cycles différents pour chaque nombre premier.
Ci dessous le tableau des valeurs trouvées pour les nombres premiers P , x(1) plus petit nombre impair
qui conduit à une série qui ne se termine pas par 1,4,2,1,4,2..
Vol=durée pour atteindre Q, longueur du cycle.
soit x(i) entier positif impair et P un nombre premier,
si x(i) est un nombre premier, x(i+1)=P*x(i)+1,
si x(i) est non premier, x(i+1)=3*x(i)+1,
ensuite si x(i+1) est pair x(i+2)=x(i+1)/2
si x(i+1) est impair et premier x(i+2)=P*x(i+1)+1 ( pour le cas où P=2)
si x(i+1) est impair non premier x(i+2)=3*x(i+1)+1
et si x((i+1) est pair x(i+2)=x(i+1)/2.
Remarquez que la suite ainsi définie est unique pour tous les termes descendants de x(i) ,
Ainsi à une valeur impaire x(1) va donner une suite de Syracuse généralisée unique.
Pour le nombre premier P=3 on retrouve les suites de Syracuse, 3 est le seul nombre premier
P pour lequel x(i+1) est pair est égal à 3*x(i)+1 que x(i) soit premier ou non!
Si on commence par la suite 1,21,85,341,1365,5461,21845,87381 ... pour valeur de x(1)
soit x(1)=(2^(2^n)-1)/3 avec x(1) non premier toutes les suites généralisées de Syracuse vont se
terminer par 2^(2^n), 2^(2^n)/2, ...... 4, 2, 1, 4, 2, 1..... quelque soit P.
Pour P=2 les valeurs x(i) = 85,241,5461,21845,349525 et tous les (4^n-1)/3 non multiple
de 3 seront les pénultièmes valeurs impaires et la dernière valeur impaire sera x(i+k)=1 puis
répétition de 4,2,1....
Pour P=2 toutes les suites de Syracuse généralisées qui ne se terminent pas par la répétition de
4,2,1,4,2,1.... se terminent par 1163, 2327, 6982, ..........., 4652, 2326, 1163 et répétition d'un cycle de 931 valeurs.
Pour P=2 , 85% des x(1) impairs conduisent à une suite qui se termine par 4.2,1 et 15% par 1163......1163.....1163.
La nouvelle conjecture: toutes les suites de Syracuse généralisées convergent
et se terminent par des cycles différents pour chaque nombre premier.
Ci dessous le tableau des valeurs trouvées pour les nombres premiers P , x(1) plus petit nombre impair
qui conduit à une série qui ne se termine pas par 1,4,2,1,4,2..
Vol=durée pour atteindre Q, longueur du cycle.
P x(1) Vol Q Cycle 2 61 882 1163 931 5 7 7 7 6 17 100 29 51 7 3 432 379 91 5 22 29 9 11 430 379 91 35 3 53 9 37 10 37 9 1309 302 2347 239 11 3 1795 67 310 101 5 139 408 13 3 37 113 2304 29 204 353 913 421 1768 12241 192 17 3 3272 71 949 83 4526 509 720 19 3 3791 23 195 17 453 17 452 23 3 2270 19 2254 5 2383 5 2382 155 3 233 2334 359 636 359 635 2281 8 4919 2367 29 3 12 5 11432 27 3 41 320 31 3 36471 137 67 167 4429 167 4428 293 7835 293 7834 37 3 23138 11 37965 7 23133 11 37965 343 17663 2297 19710 41 3 106449 19 92225 7 10 7 9 457 6 7027 5418 43 3 9 37 6427 5 9340 41513 4612 7 1270 587 10181 11 5091 137 19689 47 3 47215 331 37228 13 34 137 9025 75 10 83 95 53 3 165410 569 12018 11 17631 43 39254 71 76 71 75 287 32 421 75 59 3 159028 1487 4138 5 20 29 31 61 3 49682 151 82097 67 8574 1049 49090 223 9828 5849 16934 67 251 8113 887 8099 759 5 1079 40091 71 3 229548 6971 6236 35 7427 5903 33 211 12532 811 66 251 5292 177763 13466 73 3 11738 17 11439 155 3 233 11433 79 3 4791 113 335663 7 114282 53 60772 55 35177 17551 35584 145 7601 9833 35618 83 3 26596 3 26595 5 245142 53 170815 79 170094 9829 16424 109 42189 2711 17935 193 14279 1367 41169 197 92 1721 72 987 10496 20477 6145
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