Nombre harmonique tend vers l’infini ?

Tiens qu'est-ce que tu ne comprends pas ?

Aussi, lorsque l'on pose $g(x)=\sqrt{x}$ alors on a de nouveau le résultat $\dfrac{g}{id}$ a une limite nulle en $\infty$.

Qu'en conclure ?

Bonjour,

Le premier résultat est une classique comparaison série/intégrale.
Pour tout entier naturel \(k\) :
\[\left(\forall u\in[k,k+1]\quad \frac1u\leqslant\frac1k\right) \implies \int_k^{k+1}\frac{du}u\leqslant\int_k^{k+1}\frac{du}k=\frac1k\]
d'où par addition et relation de Chasles sur les intégrales :
\[\sum_{k=1}^m\frac1k\geqslant\sum_{k=1}^m\int_k^{k+1}\frac{du}u=\int_1^{m+1}\frac{du}u=\ln(m+1)\xrightarrow[m\to+\infty]{}+\infty\]

Quant au second, avec \(f(x)=\sqrt x\) :
\begin{align} \lim_{x\to+\infty}f(x)&=+\infty & \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}&=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\sqrt x}=0 \end{align}
Une fonction peut être de limite infinie avec un graphe qui présente une branche parabolique dans la direction de l'axe des abscisses.

Tu as raison Fly7, ce résultat est assez bizarre.

La série harmonique diverge bien vers $+\infty$, mais d'une façon incroyablement lente (comme un logarithme).

Si au lieu de regarder $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^1}$, on diminue un tout petit peu les termes : $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1{,}001}}$, on trouve une série convergente ! (critère de Riemann)

Une série divergente un peu plus facile à voir est $\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k}}$.

En effet, on a : $\frac{1}{\sqrt{k}} \ge \frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} = 2 \cdot \big({\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}\big)$.

En sommant, il vient :

$\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} \ge 2 \cdot \big(\sqrt{n+1}-1\big) \to +\infty$.

Pourtant, chaque terme supplémentaire $\frac{1}{\sqrt{k}}$ tend bien vers 0 quand $k\to\infty$.