Particularités de $(1+\sqrt{2})^n$

Bonjour,
je ne savais pas trop où poster ça... Peut-être que vous allez trouver ça complètement évident, archi connu ou alors très faux.

Je considère $(1+\sqrt{2})^n$ avec $n$ entier naturel.
En m'amusant avec la calculatrice hier soir, il me semble que plus $n$ grandit plus $(1+\sqrt{2})^n$ se rapproche d'un entier, j'ai essayé avec l'ordi, ça semble se confirmer. Je ne vois pas du tout pourquoi.

Plus précisément, j'ai l'impression que pour tout entier $n$, il existe un entier $m$ tel que $|m-(1+\sqrt{2})^n| \le 10^{-E(n/3)}$ .

De plus quand $n$ est pair $ m-(1+\sqrt{2})^n \ge 0$ , et quand $n$ est impair $ m-(1+\sqrt{2})^n \le 0$.

J'ai essayé la formule de Newton, les puissances paires donnent des entiers. Les puissances impaires, je me dis qu'il faut peut-être les regrouper de manière astucieuse. Voilà, ne vous moquez pas trop, je ne suis qu'un petit prof de lycée.

Merci à celui qui me dira si ce que j'ai écrit est vrai. Et encore mieux s'il a une preuve de mes élucubrations.

Avec $\sqrt{3}$, j'ai l'impression qu'on a le même type de phénomène, mais pas trop avec $\sqrt{5}$.