Série arithmétique: une nouvelle formule

Dans la formule, le $2a$ du premier facteur multiplié par le $2b$ du deuxième facteur se simplifie avec le $-4ab$ et le reste ne dépend que de $a+b$. Bref, en développant et en factorisant ce qui reste, c'est équivalent à la formule\Cette formule résulte immédiatement de $u_n=u_p+(n-p)r$ et de $\sum_{k=1}^{m}k=m(m+1)/2$ (pour $m=n-p$). Quel est l'intérêt d'écrire une formule plus compliquée ?

L'exemple 1 est un peu stupéfiant : pourquoi introduire des $\sqrt{2}$ dans un calcul d'entiers, pour aboutir à la formule bien connue $n(n+1)/2$ ?
L'exemple 2 est identique à produit par $3$ près, on ne voit pas bien ce qu'il apporte.
Pour l'exemple 3, la formule ci-dessus donne ($p=1$, $u_1=1$, $r=2$) donne $\frac{(n-1+1)(2+2(n-1))}{2}=n^2$ de la même façon, on n'a rien gagné.
Pour l'exemple 4, si « le bon choix » est $b=0$, cela revient à dire que « la bonne formule » est \ et on ne voit pas bien l'intérêt d'introduire $-r+r$ et de multiplier par $r$ pour diviser par $r$ par rapport à la formule standard.

Au bilan, la question reste : pourquoi compliquer des calculs simples ?

Révérence gardée, je ne sais pas si c'est de moins en moins convaincant ou toujours aussi peu convaincant. Dans la preuve de la somme des termes d'une suite géométrique, il faut une liste gigantesque de d'égalités avec des points de suspension, une somme laissée au lecteur et trois lignes de simplification pour en arriver enfin à la formule évidente [u_p+\cdots+u_n=u_p+q(u_p+\cdots+u_{n-1})\]qui conduit à la formule habituelle.

Vraiment, qu'a-t-on gagné à produire cet écran de fumée avant d'en arriver à cette formule encadrée ?!

Aparté : la méthode proposée est très proche de la méthode la plus standard. Éventuellement, on peut dire qu'on la lit de droite à gauche, peut-être ? C'est-à-dire qu'au lieu de considérer $qS_n$ et de constater que dans $qS_n$, on reconnaît $S_n$ et deux termes manquant au début ou en trop à la fin, ce qui permet d'en déduire $(q-1)S_n=\cdots$, on procède à l'envers : on écrit $S_n$ et on y reconnaît $qS_n$ à quelques bricoles près.

1) Est-elle fausse ? Non, sans doute pas.
3) J'ai répété la même démonstration connue ? Oui, pour la partie où tu démontres les choses, à peu de choses près.
2) Elle n'est pas claire ? En effet, l'ingrédient supplémentaire donne des formules intermédiaires inutilement compliquées. Normal car il consiste à écrire introduire des termes $A-A$, à les distribuer puis à constater qu'il y a des simplifications (surprise !).

Pour être plus explicite sur le point 2, voici où tu en arrives après 15 lignes (en comptant les pointillés pour une ligne) : \[u_p+\cdots+u_n=u_p+q(u_p+\cdots+u_{n-1}).\] On peut éliminer ces 15 lignes et écrire cette égalité directement ou, disons, avec une étape : \[u_p+\cdots+u_n=u_p+u_{p+1}+\cdots+u_{n-1}+1=u_p+qu_p+\cdots+qu_{n-1}.\] Cela court-circuite les écritures intermédiaires $u_{k+1}=q+u_{k}+(q-1)(u_{k}-1)$ dont l'apport est incompréhensible : pourquoi introduire tous ces termes parasites si c'est pour les simplifier après sommation ?

Le nerf de la méthode est donc le constat que \[u_p+\cdots+u_n= u_p+q(u_p+\cdots+u_n)-qu_n.\] C'est parfait mais ce n'est guère qu'une variante du point de départ « classique » : \[q(u_p+\cdots+u_n)=-u_p+(u_p+\cdots+u_n)+qu_{n}.\]