Remarques sur les sommes de puissance

Cidrolin · June 2018

Le triangle de Faulhaber permet d'écrire $\displaystyle \sum _{k=1}^{n} k^a$ avec $n \geq 1$ et $a \geq 0$, comme un polynôme en $n$ de degré $a+1$. Il a remarqué que pour $a$ impair on peut utiliser la quantité $X=\dfrac{n(n+1)}{2}$ seule et par exemple écrire $1^3+2^3+\dots +n^3=X^2$. Pour $a$ pair, ajoutons $Y=\dfrac{2n+1}{3}$ et pour éviter les fractions (il en reste quand même) je pose $S_a=(a+1) \displaystyle \sum _{k=1}^{n} k^a$.
Posons enfin $X'=\dfrac{2n+1}{3}=\dfrac{3}{2} Y$ et $Y'=\dfrac{2}{3}$, et remarquons que $Y^2=\dfrac{8x+1}{9}$.
Une conjecture apparaît quand je calcule la dérivée de $S_a$.

$S'_1=(2X)'=3Y=2n+1=2S_0+1=2(S_0+\frac 1 2)$
$S'_2=(3XY)'=3X'Y+3XY'=\frac 9 2 Y^2+3X \frac 2 3=6X+1/2=3(S_1+\frac 16)$
$S'_3=12XY=4(S_2+0)$
$S'_4=20X^2-\frac1 6=5S_3+B_4)$

Il semble que $\boxed {S'_a=(a+1)(S_{a-1} +B_a)}$ où $B_a$ est le $a$-ième nombre de Bernoulli.

Le tableau ci-dessous donne les premières valeurs de $S_a$. 76676

claude quitté · June 2018

Bonjour Cidrolin,
Poster dans Shtam : tu es trop modeste. Sa place serait plutôt dans Algèbre. En te lisant j'apprends, que pour $a$ impair, $S_a(n)$ est une combinaison $\Q$-linéaire des puissances de $n(n+1)/2$, ce que j'ignorais. J'ai appris quelque chose. Merci.

Tu vas me dire que cela ne t'aide pas beaucoup, voire pas du tout, quant à ta conjecture. C'est pas faux.

Comment conclure ce post ? Tiens un pointeur sur une cinquantaine de pages de A. Joyal (Juillet 2003). Avec un sous-titre étrange ``Pour le camp mathématique'' http://campmath.uqam.ca/deJoyal/bernoulli.pdf. A l'usage d'un camp de scouts ?

Mais peut-être que tu connais ce texte (qui ne contient aucune référence bibliographie) ? J'ai tout lieu de croire que tu es un ami intime des objets qui y interviennent. Fort possible que cela ne t"aide beaucoup pour ta conjecture (bis).

Bon courage.

PS : j'ai ce texte sur ma machine depuis une dizaine d'années mais je n'ai pas pris le temps de le lire. On ne peut pas tout faire dans la vie.

skilveg · June 2018

Si je suis Wikipédia, on a
\[
S_a = \sum_{j=0}^{a}\binom{a+1}{j}B_j\,n^{a+1-j}\qquad (\text{avec }B_1 = +1/2)
\]
et je trouve alors
\[
S_a' - (a+1)\,S_{a-1} =\binom{a+1}{a} \,B_a + \sum_{j=0}^{a-1}B_j\left[\binom{a+1}{j}(a+1-j)-(a+1)\binom{a}{j}\right]\,n^{a-j}
\]
mais on a identiquement
\[
\binom{a+1}{j}(a+1-j)-(a+1)\binom{a}{j} = 0
\]
donc cela semble marcher !

Cidrolin · June 2018

Merci Claude Quitté et Skilveg.

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