Conjecture de Barbapapou
Bonjour et merci de m'aider dans la mesure de vos moyens à démontrer la conjecture suivante.
Soit x un entier qui n'est pas un carré parfait, alors il existe une infinité de nombres premiers de la forme 3k+1 tels que x ne soit pas un résidu quadratique modulo ces nombres premiers
Cordialement JB
Soit x un entier qui n'est pas un carré parfait, alors il existe une infinité de nombres premiers de la forme 3k+1 tels que x ne soit pas un résidu quadratique modulo ces nombres premiers
Cordialement JB
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Réponses
edit : j'ai dit n'importe quoi.
mais aucun programme sur aucun ordinateur ne peut vérifier cela pour une "infinité" de nombres premier (de la forme souhaitée )
la seule différence exploitable que je vois entre un carré parfait et un entier lambda c'est que l'on peut encadrer celui-ci par deux carrés parfaits consécutifs
et c'est bien maigre!
Si $x=2$ ou $x=3$, tout nombre premier $q$ tel que $q\equiv 19\,[24]$ convient car pour tout nombre premier impair $q$ on a $\left( \dfrac{2}{q}\right) = (-1)^{(q^2-1)/8}$ et $\left( \dfrac{3}{q}\right) = (-1)^{(q-1)/2} \left( \dfrac{q}{3}\right)$.
De même, si $x=6$, tout nombre premier $q$ tel que $q\equiv 13\,[24]$ convient.
Supposons maintenant que $x>3$. Soient $p_1,\ldots,p_k$ les nombres premiers $>3$ divisant $x$. Soit $a$ un entier qui n'est pas un carré modulo $p_1$. Alors tout nombre premier $q$ tel que $q\equiv 1\,[24p_2\cdots p_k]$ et $q\equiv a\,[p_1]$ convient.
Je regarderai ça à la fraîche.
Je suis sûr de ne pas avoir bien tout compris, surtout les deux dernière lignes.
Si ce que tu affirmes est vrai je ne désespère pas de trouver un moyen d'obtenir un q premier vérifiant toutes ces propriétés.
Mais ça ne doit pas être de la tarte.
Je considère que la conjecture de Barbapou est démontrée !
sur ce bonsoir et merci à tous
JB