Intégrale de la fonction zêta

Fly7
Fly7
dans Shtam
Bonsoir.
Je me pose cette question.
$\displaystyle \int_{-1}^{0} \zeta(2) \, \mathrm{d}\infty=\frac {\pi^2}{6}=\zeta(2)$ la première égalité est-elle vraie ?
sachant que $\forall n \in \mathbb{N^*}$
$\displaystyle \int_{-1}^{0} \zeta(-2n) \, \mathrm{d}\infty=0=\zeta(-2n)$ se sont les zéros triviaux.
ou autre exemple.
$\displaystyle \int_{-1}^{0} \zeta(-1) \, \mathrm{d}\infty=\displaystyle \int_{-1}^{0}\frac {\infty(\infty+1)}{2} \, \mathrm{d}\infty=\frac {-1}{12}=\zeta(-1)$
Je pense qu'il pourrait être possible de trouver cette intégrale car si l'on cherche à trouver une fonction au nombre harmonique il existe bien une aire entre -1 et 0. http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1686208 il est même possible d'en trouver une pour $\zeta(2)$ le seul hic est que l'aire est négative.
Suis-je le seul cinglé à me comprendre ?

Réponses

  • Fin de partie
    Fin de partie
    Que veut dire $d\infty$?

    PS:

    Il est vrai que $\displaystyle \int_{-1}^{0} \zeta(2) \, \mathrm{d}x=\frac{\pi^2}{6}$
  • Dom
    Dom
    En changeant plein de symboles, c'est certainement juste...
  • Fly7
    Fly7
    Je me doutais bien que ça allait fuser à ce niveau.
    Personnellement je n'y connais pas grand chose aux primitives dérivées intégrales.
    Mais il fallait bien que je remplisse quelque chose à ce $d$.
    Ça me paressait logique d'inscrire $d\infty$.

    Ma question était plutôt de l'ordre
    $\displaystyle \int_{-1}^{0} \zeta(s) \, \mathrm{d}\infty=\zeta(s)$
    Fonctionne au moins pour $s$ entier négatif.
    Est-ce que ça fonctionne pour $s$ entier relatif ?
  • Poirot
    Poirot
    On a en effet $$\int_{-1}^0 \zeta(s) \,dx = \zeta(s)$$ pour tout $s \in \mathbb C \setminus \{1\}$, mais c'est parfaitement stupide.

    Quand à ta notation $d\infty$, tu n'as toujours pas expliqué ce qu'elle pouvait vouloir dire. On ne va pas pouvoir t'aider si tu ne définis même pas les objets dont tu veux parler.

    PS : la notion d'intégrale est bien plus vaste que la notion d'aire sous la courbe, surtout quand on a affaire à une fonction à valeurs complexes...
  • Fly7
    Fly7
    Voici ce qui s'est passé dans ma tête pour écrire $d\infty$ $$
    \sum_{k=1}^{n}\frac {1}{k^{-1}}=\frac {n(n+1)}{2}
    $$ $$
    \zeta(-1)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac {1}{k^{-1}}=\frac {\infty(\infty+1)}{2}
    $$ $$
    \int_{-1}^{0} \zeta(-1) \, \mathrm{d}\infty= \int_{-1}^{0}\sum_{k=1}^{\infty}\frac {1}{k^{-1}}\, \mathrm{d}\infty= \int_{-1}^{0}\frac {\infty(\infty+1)}{2} \, \mathrm{d}\infty=\frac {-1}{12}
    $$ À quel moment je ne suis pas cohérent ?
  • Math Coss
    Math Coss
    Voici un calcul analogue mais qui ne conduit pas au résultat escompté : \[\displaystyle \int_{2}^{3} \zeta(-1) \, \mathrm{d}\infty=\displaystyle \int_{2}^{3}\sum_{k=1}^{\infty}\frac {1}{k^{-1}}\, \mathrm{d}\infty=\displaystyle \int_{2}^{3}\frac {\infty(\infty+1)}{2} \, \mathrm{d}\infty=\frac {53}{12}.\] Problèmes :
    • L'écriture $\zeta(-1)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{-1}}$ est abusive dans la mesure où ni $\zeta(-1)$, ni la somme de droite ne sont définies, ou bien elles valent $\infty$ et il n'y a pas grand-chose à en tirer (l'arithmétique de l'infini, quand c'est l'infini de la droite réelle achevée $\R\cup\{-\infty,\infty\}$, dans laquelle les intégrales et les sommes de séries vivent, c'est bien pauvre !).
    • L'écriture $\frac{\infty(\infty+1)}{2}$ n'est pas définie dans les mathématiques « classiques », c'est-à-dire avec l'infini de la droite réelle achevée. Ou bien ça vaut $\infty$, mais ça vaut aussi $\infty^3+2\infty+\infty+1$.
    • L'égalité $\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$ est vraie pour tout entier naturel $n$ mais le symbole $\infty$ n'est pas un entier naturel, on ne peut pas l'appliquer pour $n=\infty$.
    • Dans une écriture $\sum_{k=1}^{\infty}\cdots$, le symbole $\infty$ ne représente pas une variable, d'ailleurs une telle écriture est synonyme de $\sum_{k\ge1}\cdots$ : ce n'est pas une fonction de $\infty$.
    • En prenant $\infty$ comme nom d'une variable muette, on a bien $\int_{-1}^0\zeta(2)d\infty=\zeta(2)$ mais l'égalité $\int_{-1}^0\zeta(-1)d\infty$ n'a pas trop de sens, ou bien c'est $\infty$ et il n'y a rien à en tirer.
    • Dans la l'intégrale $\int_{-1}^0\sum_{k=1}^\infty k\,\mathrm{d}\infty$, les deux occurrences de $\infty$ ont des sens différents : même si on se mettait à considérer la somme comme une fonction de $\infty$, cette fonction devrait être constante par rapport à la variable d'intégration. Faire semblant de l'ignorer, c'est écrire $f(x)=\int_{-1}^0f(x)\mathrm{d}t=\int_{-1}^0f(t)\mathrm{d}t$, ce qui est manifestement abusif.
  • Fly7
    Fly7
    Je comprend l'$\infty$ est indénombrable
    En s'efforçant a dénombrer l'$\infty$ qu'on pourrait appeler $\omega$ dénombrable comme le fait Cantor.
    Sans avoir de connaissance particuliére de Cantor et des Nombres transfini.
    Nous avons une définition de l' $\infty$ maintenant.
    Veuillez excuser mon manque de connaissance.
    Après quel sens tout cela peut-il bien avoir? C'est justement se que je cherche et bien d'autres surement, du sens a la fonction zêta.
  • Math Coss
    Math Coss
    La plus grosse incohérence de ce calcul, c'est d'utiliser le symbole $\infty$ avec deux sens différents (une variable muette d'intégration d'un côté, un symbole pour un infini qui vit on ne sait trop où de l'autre côté) et de faire semblant qu'il désigne la même chose. Le pauvre Cantor ne peut rien contre cela !

    Si tu crois en ton calcul, comment comprends-tu que le mien donne un résultat différent ? La seule chose qui change, c'est l'intervalle d'intégration : pourtant, l'intégrale d'une constante sur un intervalle de longueur $1$, ça doit être cette constante (bon, ici, c'est l'infini...).
  • Poirot
    Poirot
    Oui et donc $\frac {53}{12} = \infty$ :-D

    Moralité : ne pas chercher à manipuler "l'infini" comme un nombre. Il existe une arithmétique des cardinaux infinis, mais elle n'a rien à voir avec ce dont on parle ici.
  • Phare
    Phare
    DO NOT FEED

    TROLL DANGEUREUX
  • Fly7
    Fly7
    Cette écriture est elle plus juste?
    $$\zeta(s)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac {1}{k^{s}}=\int_{-1}^{0}\sum_{k=1}^{x}\frac {1}{k^{s}}\, \mathrm{d}x$$
    $\forall s \in \mathbb C \setminus \{1\}$
    Par contre je ne connais pas la signification de $\setminus \{1\}$
    Veut elle dire pour tout nombres s complexes exclus de 1?
    PS: J'aimerais qu'on m'explique cette histoire de TROLL et qui est donc se troll.
    https://fr.wikipedia.org/wiki/Troll_(Internet)
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Fly7:

    C'est quoi le jeu? Tu mets bout à bout des symboles et quand tu as obtenu quelque chose qui te semble joli tu viens poser une question? C'est un forum de mathématiques, pas un forum consacré à la calligraphie.
  • Math Coss
    Math Coss
    La notation $\C\setminus\{1\}$ désigne bien « l'ensemble des nombres complexes différents de $1$ ». Plus généralement, la notation $A\setminus B$ est l'ensemble des éléments de $A$ qui ne sont pas dans $B$.

    L'égalité $\zeta(s)=\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^s}$ n'est valable que pour les nombres complexes $s$ dont la partie réelle est strictement plus grande que $1$. Pour définir $\zeta$ en les autres points, c'est tout une affaire.

    L'égalité suivante est totalement fantaisiste, irrattrapable.
    Tu sais ce que la notation « $\sum_{k=1}^Nu_k$ » signifie, n'est-ce pas ? Si $N$ est un entier, c'est la somme de tous les termes $u_k$ pour $k$ compris entre $1$ à $N$. Si $N$ est $+\infty$, c'est la la limite de la somme précédente lorsque $N$ tend vers l'infini. Si $N$ est un nombre réel compris entre $-1$ et $0$, eh bien, soit ce n'est pas défini, soit on le comprend comme la somme des termes $u_k$ pour $k$ tel que $1\le k\le N$ : comme il n'y a aucun entier $k$ qui satisfait à ça, cette somme vaut zéro.
    En gros, tu as le choix : soit ta somme n'est pas définie, soit elle vaut $0$ ; en tout cas, elle ne vaut pas $\zeta(s)$.

    Ensuite, ce que tu fais, c'est que tu prends un symbole dans un bout de formule, tu le nommes comme une variable présente dans un autre bout de la formule, puis tu fais semblant qu'il y a un lien et que le truc qui était constant va se mettre à varier. Dans le monde réel, c'est comme si tu prenais un billet de 100 roubles, si tu effaçais « roubles » pour écrire « euro » à la place avant de prétendre que sa valeur a changé (pour l'anecdote : 1 euro $\simeq$ 78 roubles : ce serait bien rentable !).

    Donc non, cette écriture n'est pas plus juste que la précédente. Tu as vu $-1/12$ dans deux endroits complètement séparés et tu essaies à toute force de les réconcilier mais tu ne montres pas le début d'un fondement à cette coïncidence (en fait, je ne vois pas de lien clair entre $\zeta(-1)$ et $x(x+1)/2$ (non, $\zeta(-1)$ n'est pas $\sum_{k\ge1}k$ et ce n'est pas non plus $\lim_{n\to\infty}\frac{n(n+1)}2$) et intégrer $x(x+1)/2$ est assez arbitraire, l'intégrer de $-1$ à $0$ l'est complètement).

    Un troll (lien corrigé), c'est quelqu'un qui écrit des choses volontairement choquantes sur les forums et autres médias sociaux pour créer et attiser des polémiques. Par extension, quelqu'un qui écrit des choses sans logique, avec insistance et mauvaise foi, pour faire du buzz et s'en moquer.

    PS : Exemple de troll.
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