Produit remarquable

Arckz · September 2018

Bonjour. Connait-on une formule pour trouver le produit remarquable le plus proche de x ?

«Définition d'un produit remarquable[1] — Les trois expressions suivantes sont appelées produits remarquables :
(a+b)²
(a-b)²
(a-b)(a+b)
Wikipedia»

Je propose 8741 pour l'exemple. Merci d'avance.

Cidrolin · September 2018

Vous voulez dire $87\times 41$ ?
On peut utiliser $(64+23)(64-23)$, ce n'est pas très simple.

Arckz · September 2018

Je me demande juste comment trouver le produit remarquable le plus proche de x.

Par exemple, comment trouver le produit remarquable le plus proche de 8741 ?

Cidrolin · September 2018

Du genre $4371^2-4370^2=8741$ ?

Arckz · September 2018

Tout à fait

samok · September 2018

Superbe, merci Cidrolin.

H.F Tiéfaine a écrit:

Je ne sais pas si tu viens d'un continent perdu
Ou [bien] si t'es tombé(e) d'une comète inconnue

S

Cidrolin · September 2018

Si le nombre est multiple de $4$, disons $4n$, on calcule $(n+1)^2-(n-1)^2$

Arckz · September 2018

8741 n'est pas un multiple de 4 mais ça me semble intéressant

Pour le cas du nombre impair on peut toujours dire :

Si x est impair alors

x = ((x+1)/2)^2 - ((x-1)/2)^2

Parce que tout les impairs x sont égaux àl'écart entre deux carrés successifs de cette forme

Ex : 9 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16

Ce qui est évident car ça revient à dire

9 = (5-4) * (5+4) = 1*9

C'est donc trivial malheureusement.

Une autre méthode qui ne fait pas appel à des carrés successifs ?

Ps : Merci de rester sérieux et de ne pas troller volontairement le topic......

Arckz · September 2018

Autrement dit : je me demande comment savoir si x est égal au rapport entre deux carrés parfaits non consécutifs ?

Et le cas échéant, quel est le rapport entre deux carrés non consécutifs qui est le plus proche de x ?

On passe le fait de savoir si x est un carré parfait, on est d'accord que c'est évident

gerard0 · September 2018

Bonjour.

Tu parles de "rapport entre deux carrés non consécutifs", ce qui veut dire un quotient. Le "rapport entre deux carrés non consécutifs" est un carré de nombre rationnel, qui ne peut être x que si x est un carré.
Mais en fait, tu veux dire la différence entre deux carrés non consécutifs; c'est ce dont tu parlais précédemment.
Soient a² et (a+b)² les deux carrés, avec b>1. On ne travaille qu'avec des entiers, sinon le problème est facile.
x=(a+b)²-a² = b(2a+b), donc x ne peut être un nombre premier.
Pas de solution autre que différence entre deux carrés successifs pour les impairs premiers.

En bilan :
* Pour x impair, on a une solution, unique si x est premier
* Pour x pair, multiple de 4, une solution au moins

Reste le cas d'un x pair, mais pas multiple de 4 : x=2(2y+1); s'il y avait une solution, dans x=b(2a+b), b ne peut pas être impair, car 2a+b le serait aussi et x ne serait pas pair; mais de même, si b est pair, alors x est multiple de 4. Donc pas de solution (entière) dans ce cas.

Pour en revenir à ta question initiale, "le produit remarquable le plus proche de x", c'est x sauf si x est pair mais pas multiple de 4, auquel cas il y a deux "produits remarquables les plus proches de x" : x-1 et x+1 (qui sont des impairs.

Cordialement.

Arckz · September 2018

Merci Gerard de ta réponse détaillée. Effectivement tu as raison je voulais parler de différence et je me suis mélangé les pinceaux, bravo pour avoir tout de même saisi mon propos :-D

C'est vrai que «Pour x impair, on a une solution, unique si x est premier», solution qui revient à dire que x = 1 * x

Rien de nouveau de ce côté là sous le soleil des nombres premiers. On peut généraliser et dire que pour x impair et non premier il y a forcément plus d'une solution

C'est vrai aussi quand tu affirmes que pour constituer un nombre pair qui ne serait pas un multiple de 4, est impossible par cette méthode. Il faut pour cela que (a+b) - (a-b) soit impair, ce qui est impossible

Merci encore.

gerard0 · September 2018

On peut généraliser et dire que pour x impair et non premier il y a forcément plus d'une solution ?

"Généraliser" comme tu dis n'est pas faire des maths, mais tu es tombé juste.
Ce que j'ai montré justifie que si x est un produit de deux facteurs de même parité (b et 2a+b sont tous deux pairs ou tous deux impairs), on peut trouver deux carrés dont la différence est x. Si ce sont deux impairs, ce qui est le cas si x est impair, alors on trouve deux autres carrés que ceux de différence 1. Par exemple 21 = 11²-10² et 21=3*7=3(2*2+3)=(2+3)²-2²
Ce qui ne dit pas qu'il y en a d'autres .. ou pas d'autres.

Est ce que ça a été démontré ?

Ce genre de petit résultat ne fait pas partie des références mathématiques. C'est tout au plus un sujet d'exercice pour lycéens.

Et je te laisse voir ce qui se passe s'il y a deux facteurs pairs ;-)

Cordialement

visiteur · October 2018

bonjour

pour répondre à la question de départ
on montre que :

propriété 1:

- Si $x$ est de la forme $4n$, $4n+1$, $4n+3$ alors $x$ est la différence de deux carrés, pour cela on donne des formules explicites.

propriété 2:
a et b sont deux nombres entiers de même parité si et seulement si a+b et a-b sont pairs.

propriété 3:
- Si $x$ est de la forme $4n+2$ alors $x$ ne peut pas être la différence de deux carrés

Pour la propriété 1

Si $x=4n$ vérifier que $$4n=(n+1)^2-(n-1)^2$$
Si $x=4n+1$ vérifier que $$4n+1=(2n+1)^2-(2n)^2$$
Si $x=4n+3$ vérifier que $$4n+3=(2n+2)^2-(2n+1)^2$$

pour la propriété 2
on distingue les cas de parité de a et de b
a pair b pair alors a+b et a-b sont pairs
a pair b impair alors a+b et a-b sont impairs
a impair b pair alors a+b et a-b sont impairs
a impair b impair alors a+b et a-b sont pair

la réciproque est varie

montrons maintenant la propriété 3

Si $4n+2=a^2-b^2$ alors $(a-b)(a+b)$

par le petit théorème de Fermat, a-b est un multiple de 2
a-b=2k
k(a+b)=2n+1
a+b est impair
a est impair et b est pair