Out(G_Q)

Sylvain · September 2018

Bonjour,

A-t-on $ \operatorname{Out}(\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}))\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} $?

Merci d'avance.

claude quitté · September 2018

Arrête de poser des questions (débiles) sur le groupe de Galois absolu de $\Q$, alors que tu ne connais même pas les extensions galoisiennes finies de $\Q$. D'ailleurs, en considérant ces extensions galoisiennes finies, tu pourrais te rendre compte toi-même de l'énormité de ta question. Y'en a marre. Direction Stham.

melpomène · September 2018

Je pense que Claude Quitté est allé un peu vite. C'est vrai qu'il existe des extensions galoisiennes finies $L/\mathbb{Q}$ telles que $Out(Gal(L/\mathbb{Q})$ est plus gros que $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. Prendre par exemple $L=\mathbb{Q}(\zeta_p))$, où ce dernier groupe est isomorphe à $(\mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z})^\times$.

Mais pour autant, je ne vois pas comment relier $Out(G_\mathbb{Q})$ à $Out(Gal(L/\mathbb{Q}))$, bien que $G_\mathbb{Q}$ soit la limite projective des $Gal(L/\mathbb{Q})$.

D'ailleurs, Neukirch a conjecturé que $Out(G_\mathbb{Q})$ était trivial. Tout ce que j'en sais, c'est qu'on a montré dans les années $70$ que tout automorphisme de $G_\mathbb{Q}$ induisait l'identité sur toute extension abélienne (condition évidemment vérifiée par un automorphisme intérieur de $G_\mathbb{Q}$).

Je ne sais pas où en est cette conjecture à l'heure actuelle.

claude quitté · September 2018

Cetes, j'y suis allé un peu vite et je m'en excuse. Sans aucun doute, Sylvain, à l'encontre de Neukirch, a probablement en tête un automorphisme non intérieur de $G_\Q$ et on va apprendre des choses dans ce fil.

Sylvain · September 2018

Vu l'amabilité de certains éminents algébristes, je vais mettre à profit ce début de week-end pour penser à autre chose qu'aux maths. Bonne soirée.

claude quitté · September 2018

$\def\Gal{\text{Gal}}\def\Aut{\text{Aut}}$@Sylvain
Quoi de plus normal, lorsque l'on pense aux maths comme toi pendant la semaine, de faire une pause pour le week-end. Mais comme celui-ci se termine bientôt, j'ai pensé de mon côté, que cela serait une bonne chose pour nous, forumeuses et forumeurs, que tu puisses nous faire part de tes idées. N'oublions pas que ce forum est un lieu d'échanges, du moins je le perçois comme tel.

Bien sûr, je parle des idées autour de ton post initial. Qu'est-ce que tu as en tête ? Peux-tu nous en dire plus ? Car le groupe de Galois absolu $G_\Q = \Gal(\overline \Q/\Q)$, déjà ce n'est pas une mince affaire. Et son groupe d'automorphismes $\Aut(G_\Q)$, rien que d'y penser, cela me donne le vertige. Tandis que toi, tu donnes l'impression d'y voir un habitant qui ne serait pas un automorphisme intérieur de $G_\Q$. Quid ?

Je ne te cacherais pas que déjà le groupe de Galois absolu, cela me fiche un peu la trouille (mais c'est bien connu que je suis un gros trouillard). Je ne parle pas d'écrire sur du papier $\Gal(\overline\Q/\Q)$, ça, tout le monde peut le faire. Je parle de ses propriétés profondes ; bien sûr, son action en théorie de Galois sur les corps de nombres galoisiens mais également ses diverses manifestations géométriques, sur les courbes elliptiques, les dessins d'enfants, les arbres !! ... etc.. Je pointe à ce propos un papier avec A' Campo comme auteur : https://arxiv.org/pdf/1603.03387.pdf. Il y aurait probablement un certain nombre de choses à comprendre plus palpables que le monstre $\Aut(G_\Q)$.
Comme je suis ignare dans le domaine des monstres, fort possible que les propriétés profondes de $G_\Q$ aient peu de rapport avec $\Aut(G_\Q)$. Je ne demande qu'à voir et apprendre.
Si j'ai pris quelques instants en cette fin de week-end, c'est dans l'intention que ton fil ne reste pas vide, que ton post ne donne pas l'impression d'un machin balancé au gré du vent, comme cela arrive parfois.
Bonne fin de week-end.

Sylvain · September 2018

Je crois que si je pense aux maths pendant la semaine, c'est parce que la stimulation intellectuelle induite par mon travail (et le café que j'y bois) favorise les interrogations mathématiques. Ne crois pas que ça m'amuse plus que ça. Il me semble que tu as écrit des livres, non ? Tu n'as jamais ressenti le besoin impérieux d'écrire comme un besoin vital qui te prend aux tripes ? C'est précisément ce sentiment qui m'a fait écrire deux romans, et qui me pousse à poser des questions de maths sur les forums. Il se fait évanescent au fil des ans : je n'ai pas écrit depuis des mois, et je me pose moins de questions de maths qu'il y a quelques années. Mais parfois, certaines continuent de m'assaillir tel l'anophèle qui me transmettrait quelque malaria arithmético-algébrique. Bref.

J'espère ne pas t'irriter en disant cela, mais je me demande encore si ce que j'ai appelé la classe $ \mathcal{M} $ a pour groupe d'automorphismes un groupe isomorphe au groupe de Galois absolu des rationnels. Pourquoi ? Parce que telle que j'ai tenté de la définir, cette classe a une structure de corps dont l'élément neutre de la seconde loi est la fonction zeta. On peut donc s'attendre à ce que le groupe de symétrie de cette fonction soit (isomorphe à) $ G_{\mathbb{Q}} $, encore que la formulation "groupe de symétrie" est bien vague. Disons le groupe de transformations (de $ \mathcal{M} $, car c'est là que "vit" zeta) qui préserve zeta.

Seulement si je restreins ce groupe de symétrie de zeta à un groupe isomorphe à celui des automorphismes de corps (de nombres, au sens ensemble de complexes formant un corps pour l'addition et la multiplication, pas d'extension finie des rationnels) qui commutent à zeta en tant que fonctions de C dans C, j'obtiens uniquement l'identité et la conjugaison (à cause d'une condition de continuité). Et ce que j'aimerais savoir, et idéalement comprendre, c'est comment cette réduction du nombre de symétries de zeta obtenue en exigeant cette condition de commutativité se traduit en termes de $\operatorname{Aut}(\mathcal{M}) $ et pourquoi cette exigence est naturelle dans le cadre considéré.

J'ai bien écrit après ma question du début de ce fil des choses comme $ \operatorname{Aut}(\zeta)=\operatorname{Inn}(\operatorname{Aut}(\mathcal{M})) $ conjecturalement égal à $ \operatorname{Aut}(G_{\mathbb{Q}}) $ (pour être honnête moi aussi ça me donne le vertige mais je n'en mourrai sans doute pas), mais comme tu le dis, tout le monde peut écrire tout et n'importe quoi.

Je précise quand même ma motivation : de $ \sigma\circ\zeta=\zeta\circ\sigma $ on tire $ \zeta=\sigma\circ\zeta\circ\sigma^{(-1)} $ et donc on voit que le stabilisateur de zeta peut-être improprement noté $ \operatorname{Aut}(\zeta) $ est un ensemble d'automorphismes intérieurs de $ \operatorname{Aut}(\mathcal{M}) $.

D'où ma question : a-t-on $ \operatorname{Aut}(G_{\mathbb{Q}})\cong C_{2} $?

claude quitté · September 2018

$\def\Out{\text{Out}}\def\Int{\text{Int}}\def\Aut{\text{Aut}}$ OK, on va pouvoir discuter de manière précise et je vais pouvoir abattre quelques premières cartes.

0. D'abord, il convient, pour moi, d'être absolument clair et de préciser le contexte, en particulier les intervenants. Ainsi, tu parles d'une classe $\mathcal M$ dont tu ne donnes pas la définition, ce qui fait que l'on ne peut pas comprendre.

1. $\Out$ versus $\Aut$ : confusion totale. Dans ton premier post, figure la question $\Out(G_\Q) \simeq \Z/2\Z$ ? Et dans ton dernier post, la question $\Aut(G_\Q) \simeq C_2$ ? Eh bien, cela n'a aucun rapport. Par exemple, le groupe $G = S_6$ est tel que $\Out(G)$ est d'ordre 2 mais $\Aut(G)$ est d'ordre $2 \times 6! = 1440$

2. Je dévoile des premières cartes. Il se trouve que j'ai essayé de comprendre quelques points concernant les actions géométriques du groupe de Galois absolu $G_\Q$, en particulier les dessins d'enfants. Et de ce fait, je dispose des 3 LNS (éditeurs L. Schneps et P. Lochak) : je parle du LNS 200 (The Grothendieck Theory of Dessins d'Enfants), du LNS 242 (Geometric Galois Actions, Around Grothendieck ...etc..) et LNS 243 (Geometric Galois Actions, The Inverse Galois Problem, Moduli Space ...etc..). Ainsi que de l'ouvrage de Lando & Zvonkin (Graphs on Surfaces and Their Applications).

Si je signale cela, c'est que cela a une certaine importance dans la suite. Précision : je ne comprends pas le quart de la moitié des articles qui figurent dans les LNS.

3. Dans l'article de Jones & Streit (Monodromy and Galois groups, LNS 243) je le comprends un peu celui-là, il est signalé, page 29, que $G_\Q$ n'est pas dénombrable et même qu'il a pour cardinal $2^{\aleph_0}$. Il est aussi signalé un théorème dû à Neukirch, qui contient deux résultats. Premièrement que le centre de $G_\Q$ est trivial. Ceci fait que le morphisme de représentation intérieure $G_\Q \to \Aut(G_\Q)$ est injectif. Donc $\Aut(G_\Q)$ est énorme, disons plus gros que $G_\Q$. Et d'une.
Le deuxième résultat est que $\Out(G_\Q) = 1$ i.e. que tout automorphisme de $G_\Q$ est intérieur. Mais ce n'est pas clair pour moi : s'agit-il des automorphismes du groupe $G_\Q$ ou du groupe profini (topologique) $G_\Q$ ?

Le mieux serait d'aller voir l'article de Neukirch : la référence donnée par les auteurs est : Neukirch, ``Uber die absoluten Galoisgruppen algebraischer Zahlkorper'', Astérisque 41-42 (1977), 67-69. Mais, d'une part, je n'ai pas réussi à y accéder, d'autre part je ne lis pas l'allemand. Et enfin, il arrive que chez certains auteurs, on n'arrive même pas à comprendre ce que disent les résultats (je ne parle pas des preuves, cela n'a aucun rapport).

4. Melpomène, qui est intervenu une fois en citant Neukirch, pourrait peut-être nous en dire plus ?

Georges Abitbol · September 2018

@Sylvain : Je ne comprends toujours pas pourquoi tu voudrais que $Aut(G_{\mathbb{Q}})$ ou $Out(G_{\mathbb{Q}})$ soit isomorphe à $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. Pourquoi pas $\mathbb{Z}/1729\mathbb{Z}$ ? Connais-tu au moins un élément de ce groupe qui soit d'ordre $2$ ?

claude quitté · September 2018

$\def\Out{\text{Out}}\def\Int{\text{Int}}\def\Aut{\text{Aut}}$
J'attache les pages 28-30 de l'article de Jones & Streit dont j'ai parlé dans mon dernier post. L'information qui nous concerne figure en bas de la page 29 et en haut de la page suivante. On y voit la référence à Neukirch en bas de la page 29. Et aussi avant une référence [Jac] sur le groupe de Galois profini $G_\Q$, il s'agit de Jacobson, Basic Algebra (un grand classique).

Il manque certes la précision sur la signification de $\Out$ : s'agit-il du $\Out$ groupiste ou du $\Out$ topologique ?. On ne peut cependant pas le reprocher aux auteurs dont le but est surtout de parler du théorème de Belyi, des dessins d'enfants, triangulations, cartes, hyper-cartes, uniformisation ...etc... Et comment $G_\Q$ intervient de manière imprévue ...etc..

Ce manque de précision figure aussi chez l'auteur de ce fil : parle-t-il de $\Aut$ ou de $\Aut_c$ (automorphismes continus du groupe profini), de $\Out$ ou de $\Out_c$? Cette remarque vaut aussi pour melpomène. En clair, on attend des précisions indispensables sinon on parle de tout et n'importe quoi.

PS : j'ai déjà dit ce que je pensais de ce fil et je le maintiens. Direction Stham.

Sylvain · September 2018

La classe $ \mathcal{M} $ est définie dans le pdf joint.
Ma première question concernait $ \mathrm{Out}(G_{\mathbb{Q}}) $. Depuis j'ai appris que ce groupe était trivial. La question n'est donc plus d'actualité. Ma deuxième question (qui elle l'est toujours) est : quelle est la structure de $ \mathrm{Aut}(\mathrm{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}))$?

melpomène · September 2018

@Sylvain: si on savait répondre à ta question, je pense qu'on saurait résoudre Galois inverse.

@claude quitté: pour moi, quand on parle d'un groupe de Galois absolu, on le regarde comme groupe topologique. D'ailleurs la théorie de Galois infinie ne se comporte pas bien sans topologie (pas d'injectivité de la correspondance, par exemple). A part ça, tu en sais plus bien que moi: de mon propre aveu, je ne savais pas où en était la conjecture de Neukhirch (cf. mon message). Apparemment, c'est devenu un théorème.

Mel.

claude quitté · September 2018

$\def\Aut{\text{Aut}}$
1. Pas apparemment. Cf l'édition électronique de Neukirch, Schmidt, Wingberg, Cohomology of Number Fields, mise à jour 2013 in https://www.mathi.uni-heidelberg.de/~schmidt/NSW2e/NSW2.1.pdf, chap XII Anabelian Geometry, corollaire 12.1.6 : le centre de $G_\Q$ est trivial (en passant jeter un oeil sur le joli résultat d'Artin en 12.1.7). Enfin, dans la section Neukirch-Uchida theorem, corollary 12.2.3 page 793, on voit clairement que la représentation intérieure $G_\Q \to \Aut(G_\Q)$ est un isomorphisme.

2. Sylvain pose donc comme question : quelle est la structure du groupe de Galois absolu $G_\Q$ ? Ridicule.

3. Quant à son ... Automorphism_of_L_functions qu'il nous balance tous les 6 mois, il n'y a RIEN. Du VIDE intégral. Il ne connait absolument rien aux $L$-séries.

Sylvain · September 2018

Adopter une position aussi caricaturale ne te fait pas honneur. Mais il est vrai que les matheux sont souvent binaires, le genre à penser que si on n'est pas bilingue français/anglais, on ne sait pas parler anglais. Vous avez dit tiers exclus ? Par ailleurs demander à cor et à cri que ce fil soit déplacé dans le sous-forum shtam (qui s'orthographie "sht" comme "est-ce à jeter ? " prononcé rapidement) alors que son objet est une question et non une proposition de démonstration d'une conjecture nonobstant le fait que je sois un amateur ne me semble pas honnête, tout comme n'est pas honnête de déplorer que je ne redéfinisse pas la classe $ \mathcal{M} $ alors qu'une fois que j'ai accédé à ta requête tu te plains que je balance mon pdf tous les 6 mois. Donc soit tu ne l'as pas lu, soit, et c'est ce qui me semble le plus probable, tu l'as lu et t'en brosses l'ombilic avec le pinceau de l'indifférence, auquel cas ton intervention ne se justifie aucunement. Tout comme ne se justifie plus ma participation à ce forum.

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