Preuve du $4^{ème}$ problème de Landau

Le $4^{eme}$ problème de Landau s'énonce comme suit.

''Il existe une infinité de nombres premiers $p$ tels que $p - 1$ est un carré parfait (ou dit autrement:il existe une infinité de nombres premiers de la forme $p^2 + 1$)''

$n^2 + 1$ étant pair si $n$ est impair, Il revient à démontrer pour la preuve qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme $4n^2 + 1$

Il a été démontré dans un fil du forum http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1719534 , que les nombres de la forme $4n^2 + 1$, ont tous leurs facteurs de la forme $4k + 1$.

Vus ces résultats.
Preuve.
Soit $n$ un entier tel que $4n^2 + 1$ ne soit pas premier, il existe alors $k$ et $k'$ dans $\mathbb{N}$ tels que $4n^2 + 1 = (4k + 1)(4k' + 1) = 4(4kk' + k + k') + 1$.

On a $4\times 4n^2 + 1 = 4\times (16kk' + 4k + 4k') + 1$ qui n'est pas premier que s'il existe $p$ et $q$ dans $\mathbb{N}$ tels que:
$4\times 4n^2 + 1 = 4\times (4pq + p + q) + 1$, soit tels que $4pq + p + q = 16kk' + 4k + 4k$
Ce qui entraine $pq = 4kk' \;\text{et}\;p + q = 4(k + k')$
$p$ et $q$ sont alors les solutions de l'équation du second degré $X^2 - 4(k + k')X +4kk' = 0$
Son discriminant réduit est $\Delta^{'} = 4(k + k')^2 - 4kk' = 4(k^2 + kk' + k'^2)$
Il faut alors que $k^2 + kk' + k'^2$ soit un carré parfait, sinon $p$ et $q$ entiers n'existent pas, ce qui voudra dire que $4\times 4n^2 + 1 = 16n^2 + 1 = (4n)^2 + 1$ est premier.

Maintenant montrons que, si $4kk' + k + k'$ est un carré parfait alors $k^2 + kk' + k'^2$ ne peut pas aussi etre un carré parfait.
On a en général, $(n + 1)^2 - n^2 = 2n + 1\;\text{et}\;n^2 - (n - 1)^2 = 2n - 1$.

Ici on a $|4kk' + k + k' - (k^2 + kk' + k'^2)| = |3kk' + k(1 - k) + k'(1 - k')|$
Par ailleurs $2\sqrt{4kk' + k + k'} \pm 1 - |3kk' + k(1 - k) + k'(1 - k')| \gt 0$ (On le voit en élevant au carré les deux termes).
C'est pour dire que $k^2 + kk' + k'^2$ n'est pas un carré, mais est entre $4kk' + k + k'$ et le carré qui le précède ou qui le suit.
cqfd

[Lien corrigé. AD]