Face à Face ... Primezêta ][ Zêta

Robusta · October 2018

Bonsoir,
http://www.implications-philosophiques.org/actualite/une/face-a-face-avec-la-symetrie-12/ et http://www.implications-philosophiques.org/actualite/une/face-a-face-avec-la-symetrie-22/

Le concept de miroir aurait-il ontologiquement une place de choix ? Je me répète ici en remémorant des paradoxes à la surface desquels se trouve l’observateur, pour poser une question sur une singularité.

En arithmétique :
indéfini][ordre, discret][continu, imaginaire][réel, 0][1, un][multiple, somme][produit, premier][composé, nombre][géométrie, impair][pair... ;
exemples : cribles de Matiassevitch ][Goldbach http://tinyurl.com/ycmch7ne , formule de Ramanujan http://tinyurl.com/ya79w9ea

En physique :
virtuel][réel, horizon mathématique][physique, discret][continu, temps][espace, permittivité][perméabilité du vide, énergie][matière, onde][corpuscule, électromagnétisme][gravitation... ;
exemple : http://tinyurl.com/ybd8fn5g

Question sur une conjecture à double Face :

$\ln(\zeta(1/2+it)) \quad et \quad P(1/2+it)$
Pour tout zéro de zêta http://tinyurl.com/y8l2jqwf
$Re(\zeta(\rho + i\epsilon) / \zeta(\rho - i\epsilon))\simeq -1$ $\quad$ et $\quad$ $iIm(P(\rho + i\epsilon) - P(\rho - i\epsilon))\simeq i\pi$

Cette relation semble renvoyer à l'identité d'Euler qui lie des constantes fondamentales ; suggérerait-elle une unicité des singularités ?

Robusta · November 2018

Bonsoir,
Outre la constatation des sauts égaux à $\pi$,
sauriez-vous, ici, pourquoi on obtient rapidement des segments de droites qui semblent parallèles (rectif : sur un petit intervalle) pour la partie imaginaire lorsque (t) s'éloigne de 0 ?
Un premier calcul, tenant compte de cette particularité et des triangles semblables que les segments détermineraient alors, montre que l'axe des (t) serait médian (je ne sais pas si ce terme est explicite) pour l'ensemble de ces segments.
Exemple pour $ln(\zeta(1/2+it)), t=200\: to\: 220$ http://tinyurl.com/yaneh8e5 81832

reuns · November 2018

$\log \zeta(s)$ a plein de branches possibles, mais sa dérivée elle est bien définie car méromorphe :

$\frac{\zeta'}{\zeta}(s) = -\frac{1}{s-1} + \sum_\rho (\frac{1}{s-\rho}+\frac{1}{\rho})+\sum_{k=1}^\infty (\frac{1}{s+2k}-\frac{1}{-2k})$.

Chaque série converge absolument (la seconde par la densité de zéros)

Tu obtiens quoi sur $Im(\frac{\zeta'}{\zeta}(1/2+it))$ en utilisant que chaque $\rho$ vient avec $\overline{\rho},1-\rho,1-\overline{\rho}$ ?

$P(s)=\sum_{k=1}^K \frac{\mu(k)}{k}\log \zeta(sk)+F_{K+1}(s)$ où $F_{K}$ est une série de Dirichlet qui converge absolument pour $\Re(s) > 1/K$.

Si $G$ est analytique et $G(\rho) = 0$ alors $G(\rho+z) = G'(\rho) z + O(z^2)$

Robusta · November 2018

@ Reuns, merci beaucoup pour ton attention, c'est un privilège.
Cependant il y a un fossé entre mes outils mathématiques, mon langage et les tiens.
En d'autres termes, est-il raisonnable que je considère ces segments quasi parallèles ce qui, avec les sauts égaux semble-t-il à la constante $\pi$, serait une indication de plus de l'unicité des singularités ?

Robusta · November 2018

Si je calcule l’espacement moyen entre deux zéros consécutifs sur l'intervalle [0, 80000],
Wolfram trouve 0.767265 http://tinyurl.com/y86qnlzl

Montgomery dit lui (1ére page du pdf) qu'il est de $2\pi/log(T)$;
avec T=80000, on obtient 0.559789 http://tinyurl.com/y7lfr4gy

J'ai forcément loupé quelque chose, mais quoi ?

Tryss · November 2018

Que Montgomery donne une valeur asymptotique : l'espacement moyen sur $[0,T]$ est équivalent (et non égal!) à $\frac{2\pi}{\log(T)}$ .

C'est à dire
\[\lim_{T\to + \infty} \left(\text{ Espacement moyen sur } [0,T] \right) \frac{\log(T)}{ 2 \pi } = 1 \]

Le vrai espacement moyen est une fonction affine par morceaux

Robusta · November 2018

Merci Tryss pour cette précision parce que Wolfram, apparemment, ne comprend pas très bien non plus. Ce qu'il constate, à raison, c'est que plus T est grand, plus l'écart diminue.

Robusta · November 2018

Concernant le tableau plus haut présentant $ln(\zeta(1/2+it))$, " l'axe des (t) serait médian pour l'ensemble de ces segments. "

Exemple, ce miroir du désordre, voire du chaos :
la somme des parties imaginaires positives, au plus proche des zéros non triviaux, équivaut quasiment à la somme des négatives :

$Sum[Im[ln[\zeta[\rho_n + i/10^{10}]]], {n, 1, 45}] \simeq$ 70.461606... http://tinyurl.com/yartsk45

$Sum[Im[ln[\zeta[\rho_n - i/10^{10}]]], {n, 1, 45}] \simeq$ -70.910063... http://tinyurl.com/y9enhegu

On est à Versailles encore ici :-)

reuns · November 2018

Faut absolument que t'arrêtes d'utiliser $\log \zeta(s)$ dans des CAS.

Pourquoi ? Parce que $\log \zeta(s)$ a plein de branches et que tu ne sais pas laquelle est implémentée dans ton CAS (pour n'importe quelle fonction à valeurs entières $\log \zeta(s) + 2i\pi f(s)$ reste un logarithme de $\zeta(s)$)

Tu dois dériver toutes tes expressions pour remplacer $\log \zeta(s)$ par $\zeta'/\zeta(s)$ qui elle est bien définie et qu'on comprend très bien en terme de sommes sur les zéros non-triviaux

Robusta · November 2018

CAS = computer algebra system , sans doute.
Quant à dériver, tu me parles d'un univers antédiluvien où j'étais soixante-huitard à Jussieu, intégré avec ln dans ce merveilleux cocon d'amiante, où on s'égara maintes fois au café maure de la mosquée de Paris, avant de perdre racine, la tête au carré sur les pavés ;-)
Mais je suis prêt à relever ce défi, si tu veux bien me donner un exemple avec
$Sum[Im[ln[\zeta[\rho_n + i/10^{10}]]], {n, 1, 45}]$
pour que la somme soit bien définie.

Robusta · November 2018

@Reuns, faut-il en passer par l'expression déduite du produit de Hadamard pour avoir un résultat numérique ?
Maintenant, je vois que la sommation peut être diminuée ... https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_zêta_de_Riemann

Note : "$P(s)=\sum_{k=1}^K \frac{\mu(k)}{k}\log \zeta(sk)+F_{K+1}(s)$ où $F_{K}$ est une série de Dirichlet qui converge absolument pour $\Re(s)> 1/K$ "
J'ai déjà utilisé cette formule à l'occasion, après avoir pris connaissance de la fonction de Möbius.
En effet, dans le cas où s = 1/k , la fonction P(s) a "des points singuliers sur l'axe réel où k passe tous les entiers positifs sans facteur carré " http://mathworld.wolfram.com/PrimeZetaFunction.html
1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29...
De s = 1 vers 0, de droite à gauche, le saut de la partie imaginaire est égal à $\pi s$, où le signe de "s" suit la règle de la fonction de Möbius http://tinyurl.com/ycgpdcdx. Exemple pour s =1/19 = 0.0526, le saut est $-\pi/19$.
De s = 1 vers 0, les parties imaginaires successives sont donc la somme cumulée de
$\pi(1-1/2-1/3-1/5+1/6-1/7+1/10-1/11-1/13+1/14+1/15-1/17-1/19+1/21+1/22-1/23+1/26-1/29-1/30...)$ soit
$ \pi, \pi/2, \pi/6, -\pi/30, 2\pi/15, -\pi/105, 19\pi/210, -\pi/2310, -2323\pi/30030, -89\pi/15015, 304\pi/5005, 163 \pi/85085, -81988\pi/1616615...$