Suites de Syracuse généralisées

CAMI · December 2018

Définissons les suites de Syracuse généralisées ainsi.
On part de U(1) égal à un nombre entier positif,
si U(i) est pair donc de la forme (2*n+1)*2^k alors U(i+1)=U(i)/2^k=2*n+1,
si U(i) est impair et premier alors U(i+1)=P*U(i)+1, P un nombre premier impair fixé
si U(i) est impair et composite alors U(i+1)=3*U(i)+1.

Il est évident que si on choisi P=3 on retrouve une suite de Syracuse ou de Collatz.
Si P est > 3 que se passe-t-il ?
On trouve pour chaque P des suites qui finissent par le cycle trivial et d'autres avec des cycles différents du cycle trivial.
Le plus petit nombre premier tel que les suites généralisées se terminent toujours par le cycle trivial 1,4,2,1 est 137, y en a-t-il d'autres ?

babsgueye · December 2018

Salut.
Tu l'as démontré ou quoi ?
T'aurais un exemple où ça fini par un autre cycle que 1, 4, 2, 1,..

Dom · December 2018

En effet, c'est cette affirmation qui demande une preuve : Le plus petit nombre premier tel que les suites généralisées se terminent toujours par le cycle trivial 1,4,2,1 est 137, y en a-t-il d'autres ?

Est-ce une conjecture qu'elles "se terminent toujours par 1,4,2,1" ou est-ce prouvé ?

Math Coss · December 2018

Conjecture : La croyance dans la possibilité de démontrer la conjecture de Syracuse est inversement proportionnelle à la culture mathématique de l’auteur.

babsgueye · December 2018

@Dom j'ai pas encore vérifié, mais ce que tu dis impliquerait qu'avec $139$, $149$,... le cycle est autre que 1, 4, 2, 1,... !

Dom · December 2018

Je ne comprends pas que tu écrives "ce que tu dis impliquerait que". Je demande si une phrase est une affirmation prouvée ou non. Mais je suis peut-être à côté de la plaque avec l'expression "le plus petit nombre premier tel que les suites généralisées..." ?!

babsgueye · December 2018

Non @Dom, je pose la question plutôt à @CAMI, l'auteur du fil. C'est lui qui l'a dit. Je pensais qu'il détient un exemple.

CAMI · December 2018

Par exemple pour P=5 on trouve 3 cycles, le cycle trivial, le cycle 7, 36,18, 9, 28,14, 7 et un cycle de 51 valeurs avant répétition de 29:
29
146
73
366
183
550
275
826
413
1240
620
310
155
466
233
1166
583
1750
875
2626
1313
3940
1970
985
2956
1478
739
3696
1848
924
462
231
694
347
1736
868
434
217
652
326
163
816
408
204
102
51
154
77
232
116
58
29
Pour P=7 on trouve 5 cycles en plus du cycle trivial, 3 cycles de 8 valeurs commençant par 29, 37 ou 53, un cycle de 91 valeurs commençant par 379 et un cycle de 239 valeurs commençant par 2347.
Facile à vérifier si vous avez les bons outils!

Dom · December 2018

Bon, j'interviens à nouveau, en tant que candide naïf :

Quand tu dis "pour P=5 on trouve 3 cycles" : s'agit-il d'une conjecture ou d'une affirmation démontrée ?

Je pense que tu as essayé plein de valeurs de départ, avec "les bons outils" et que tu as constaté trois cycles et pas davantage mais que tu n'es pas en mesure de démontrer que l'on obtient uniquement ces trois cycles là.
Veux-tu me dire si je fais fausse route ?

Je dis cela pour savoir de quoi on discute et non pour critiquer quoi que ce soit.

Je ne me suis pas intéressé à cette conjecture mais je n'ai pas vu passé (je ne suis pas une référence du tout) cette idée de généraliser comme tu l'as fait.
Après tout, c'est peut-être une bonne idée dans le sens où on peut remarquer des choses pertinentes qui peuvent faire avancer le schmilblick.

CAMI · December 2018

J'ai calculé tous les cycles évidents pour P <103 mais je n'ai aucune raison de partager les résultats avec des septiques, qu'ils retournent à leur fosse!