2p² + 29
dans Shtam
Bonjour,
En lisant le roman de Ken FOLLETT "Code zéro" aux éditions Best-Sellers, Robert Laffont, je suis tombé sur ceci, page 23.
Elle pensa au nombre 29. Un nombre premier pas très intéressant. Tout ce qu'on pouvait en dire, c'était que "29 + 2 X n" était un nombre premier pour tous les nombres après 28. Elle calcula mentalement la série : 29, 31, 37, 47, 61, 79, 101, 127...
La question est : est-ce vrai ?
Il semble que l'on doit pouvoir réécrire 29 + 2 X n en
p = 2.n + 29 où "p" serait premier et "n" un nombre entier appartenant à N.
La mention ...pour tous les nombres après 28 est ambiguë : s'agit-il des "n" ou des "p" ?
En effet, si l'on considère que c'est n >28 , la formule p = 2.n + 29 (p, premier) n'a aucun sens vis à vis de la série proposée : 29, 31, 37, 47, 61, 79, 101, 127...
Par contre, s'il s'agit de p > 28 l'on peut tomber sur les éléments de cette suite pour
n = { 0 , 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , 49 }
Visiblement, il ne s'agit pas là de valeur de n quelconques. Donc Ken FOLLETT donne une indication qui est inexacte ;
nous avons là les carrés de n' = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 }
Il est possible de compléter n' par les valeurs allant de 8 à 28.
Pour des raisons évidentes, si n' = 29 , p = 2.29² + 29 n'est plus premier : donc, l'on exclue 29 de n'.
p premier pour p = 2.n + 29 est vraie (calculs effectués).
Pour n' = 30,
p = 2.30² + 29 = 2.900 +29 = 1829 n'est plus premier.
Bizarrement, pour l'ensemble n', c'est au-dessus de 28 que la proposition 2.n + 29 n'est plus vraie, alors qu'il avait été précisé dans le roman que c'est pour tous les nombres au-dessus de 28 que 2 X n + 29 étaient tous premiers.
J'ai pu établir un autre mode de calcul qui donne les termes de la suite ( 29, 31, 37, 47, 61, 79, 101, 127... )
Le dernier terme de cette suite est le nombre premier p = 2.28² + 29 = 2.784 + 29 = 1597
Je vous [propose] cet autre mode de calcul dans mon prochain post.
Cordialement.
En lisant le roman de Ken FOLLETT "Code zéro" aux éditions Best-Sellers, Robert Laffont, je suis tombé sur ceci, page 23.
Elle pensa au nombre 29. Un nombre premier pas très intéressant. Tout ce qu'on pouvait en dire, c'était que "29 + 2 X n" était un nombre premier pour tous les nombres après 28. Elle calcula mentalement la série : 29, 31, 37, 47, 61, 79, 101, 127...
La question est : est-ce vrai ?
Il semble que l'on doit pouvoir réécrire 29 + 2 X n en
p = 2.n + 29 où "p" serait premier et "n" un nombre entier appartenant à N.
La mention ...pour tous les nombres après 28 est ambiguë : s'agit-il des "n" ou des "p" ?
En effet, si l'on considère que c'est n >28 , la formule p = 2.n + 29 (p, premier) n'a aucun sens vis à vis de la série proposée : 29, 31, 37, 47, 61, 79, 101, 127...
Par contre, s'il s'agit de p > 28 l'on peut tomber sur les éléments de cette suite pour
n = { 0 , 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , 49 }
Visiblement, il ne s'agit pas là de valeur de n quelconques. Donc Ken FOLLETT donne une indication qui est inexacte ;
nous avons là les carrés de n' = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 }
Il est possible de compléter n' par les valeurs allant de 8 à 28.
Pour des raisons évidentes, si n' = 29 , p = 2.29² + 29 n'est plus premier : donc, l'on exclue 29 de n'.
p premier pour p = 2.n + 29 est vraie (calculs effectués).
Pour n' = 30,
p = 2.30² + 29 = 2.900 +29 = 1829 n'est plus premier.
Bizarrement, pour l'ensemble n', c'est au-dessus de 28 que la proposition 2.n + 29 n'est plus vraie, alors qu'il avait été précisé dans le roman que c'est pour tous les nombres au-dessus de 28 que 2 X n + 29 étaient tous premiers.
J'ai pu établir un autre mode de calcul qui donne les termes de la suite ( 29, 31, 37, 47, 61, 79, 101, 127... )
Le dernier terme de cette suite est le nombre premier p = 2.28² + 29 = 2.784 + 29 = 1597
Je vous [propose] cet autre mode de calcul dans mon prochain post.
Cordialement.
Réponses
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Bonjour
Merci Félix.
Je reviendrai sur l'info que vous m'apportez.
J'ai pu établir un autre mode de calcul qui donne les termes de la suite ( 29, 31, 37, 47, 61, 79, 101, 127... )
Le dernier terme de cette suite est le nombre premier p = 2.28² + 29 = 2.784 + 29 = 1597
et l'avant-dernier p' = 2.27² + 29 = 2.729 + 29 = 1458 + 29 = 1487
À l'observation,
31 - 29.... = ..2 ou 2x1 <= il apparaît une suite du double des nombres impairs de 1 à 55
37 - 31.... = ..6 ou 2x3
47 - 37.... = 10 ou 2x5
61 - 47.... = 14 ou 2x7
79 - 61.... = 18 ou 2x9
101 - 79.. = 22 ou 2x11
127 - 101 = 26 ou 2x13
...
1597 -1487 = 110 ou 2x55
Il s'ensuit que pour calculer 2.n² + 29 il suffit d'ajouter au premier terme de cette suite ( n = 0 => p = 29 ) le premier
terme "i" de la suite "t" double des nombres impairs, t = 2xi où i = 1
Soit 29 + 2x1 = 29 + 2 = 31
et l'on reprend le tableau ci-dessus.
À quoi cela peut-il servir me direz vous ? En programmation peut-être. Mais peut-être pas.
Je remercie Félix de m'avoir fourni les tableaux de Gérard VILLEMIN : après étude, les quatre suites qu'il nomme donnent effectivement des nombres premiers.
J'avais donné pour titre à mon article " 2p² + 29 " et il a été transformé en " La suite 2p² + 29 "
J'aimerais qu'il retrouve sa dénomination d'origine, car le but ultime de ma présentation est de
qualifier p comme premier.
En effet, pour 2.n² + 29 l'on considère que n est un entier.
Parmi ces entiers, figurent des "n" qui sont premiers.
Je désire que l'on reconsidère P = 2p² + 29 , nombre premier.
Pour p appartenant à l'ensemble E = { 2 , 3 ,5 ,7 ,11 ,13 ,17 ,19 et 23 } nous avons, par le calcul 2p² + 29, l'ensemble des valeurs V = { 37 , 47 , 79 , 127 , 271 , 367 , 607 , 751 , 1087 } Toutes ces valeurs sont premières.
Maintenant, je voudrais considérer les p ( premiers ) supérieurs à 28.
E' = { 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 ,67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89, 97 , 101 , 103 , 107 , 109 , 113 , 127 , 131 , 137 }
Seuls les nombres soulignés de E' pour lesquels le calcul P = 2p² + 29 a été faits sont composés.
Tous les autres P(E') donnent des nombres premiers.
Je donne quelques exemples :
P(101) = 2.101² + 29 = 2.10201 + 29 = 20402 + 29 = 20431 premier
P(137) = 2.137² + 29 = 2.18769 + 29 = 37538 + 29 = 37538 premier
Certains P = 2p² + 29 sont premiers, d'autres ne le sont pas...
Pouvons-nous poser la conjecture conjecturer que P = 2p² + 29 est un nombre premier si p premier.
Il y aura de la chute, mais dans la conjecture de Mersenne, il y a aussi de la chute.
P(313) = 2.313² + 29 = 2.97969 + 29 = 195938 + 29 = 195967 premier
Merci de votre avis.
Cordialement, -
Bonsoir,
La suite 2p2 s'obtient avec celle des doubles des nombres impairs...
Oui, puisque la suite des carrés s'obtient en ajoutant à 0 la suite des impairs.
0+1 = 1
1+3 = 4
4+5 = 9...
Cela est dû au fait que (n+1)2 = n2 + (2n +1).
Comme on emploie tous les impairs (à partir de 1), on emploie donc tous les premiers (sauf 2).
Et, forcément, il y a de la chute.
Villemin la chiffre dans son tableau, en bas de page, à 504 sur les 1 000 premiers termes, soit 50,4 %.
Amicalement. -
Merci Félix pour cet éclairage,
amicalement, -
Je dois tout de même préciser, je me suis exprimé un peu vite : la chute mesurée n'est pas sur p premier ou non, mais sur 29 + 2p2 premier ou non.
Bonne soirée -
Bonjour,
Je viens de lire cet ouvrage et j'ai remarqué cette erreur. D'autres parties techniques du livre m'ont fait penser à un problème de traduction. J'ai donc recherché la version originale et la formule n'est pas "29 + 2.n" mais "29+2x²" !!!
Voici la phrase d'origine :
The only unusual thing about it was that 29 plus 2x² was a prime number for every value of x up to 28. She calculated the series in her head: 29, 31, 37, 47, 61 , 79, 101, 127, ...
soit 29+2x² est un nombre premier pour chaque valeur de x jusqu'à 28.x 29+2x² 1 31 2 37 3 47 4 61 5 79 6 101 7 127 8 157 9 191 10 229 11 271 12 317 13 367 14 421 15 479 16 541 17 607 18 677 19 751 20 829 21 911 22 997 23 1087 24 1181 25 1279 26 1381 27 1487 28 1597 29 1711 = 29*59
Cordialement.
Pierrick Moscatello.
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