Approximer la division de deux entiers

quimavendu@laposte.net · February 2019

Bonjour,

Soient $p$ et $q$ deux entiers naturels non nuls tels que $p>q$ et $q$ suffisamment proche d'une puissance de dix.
Le rapport $p/q$ peut alors s'exprimer par la relation suivante :

$ \frac{p}{q} \approx \frac{p}{10^{round(log(q)}} (1+\delta+\delta^2) $ avec $\delta=1-\frac{p}{10^{round(log(q)}}$

Exemple :

$\frac{1789}{112} \approx \frac{1789}{10^{round(log(112)}} (1-0.12+0.0144) \approx 17.89*(0.8944) \approx 16.00$

$\frac{48273}{837} \approx \frac{48273}{10^{round(log(837)}} (1+0.163+0.0266) \approx 48.273*(1.1896) \approx 57.43$

gerard0 · February 2019

Bonjour.

On enseignait des formules de ce genre au premier ordre (sans le $\delta^2$) en seconde autrefois, mais avec l'arrivée des calculettes, c'est devenu inutile. Des formules plus précises se voyaient en post bac (avec les DL), mais plus personne ne fait du calcul approché à la main.
Tu retardes de plus de trois siècle ...

Fin de partie · February 2019

On utilisait aussi des tables de logarithmes me semble-t-il.

Soient $a>0,b>0$,

\begin{align}\text{log }\left(\frac{a}{b}\right)=\text{log } a-\text{log } b\end{align}

Donc pour calculer une valeur approchée de $\frac{a}{b}$ on commence par calculer le logarithme de $a$ et celui de $b$ on fait la différence et on lit dans la table de logarithmes quel est le nombre $x$ qui donne ce logarithme.

(c'est surement un logarithme en base $10$ qu'il vaut mieux utiliser)

gerard0 · February 2019

Effectivement,

la table de log, ou mieux, la règle à calcul, permettait des calculs approchés rapides. C'est seulement quand on avait besoin d'une grande précision (plus de 4 chiffres significatifs) qu'il fallait des méthodes plus élaborées.
Avec ma vieille règle à calcul, je trouve aussi une valeur approchée de 16 (et pas 16.00 comme l'écrit faussement Anthony, car le 6 est déjà un arrondi au plus près. La vraie valeur n'est pas entre 16,00-0,005 et 16,00+0,005. par contre, comme c'est environ 15,97, l'écriture 16,0 était acceptable.

Cordialement.

GaBuZoMeu · February 2019

Et d'une, il y a une coquille dans la définition du $\delta$, et de deux, quel scoop ! : quand $\delta$ est petit en valeur absolue, $\dfrac1{1-\delta}$ est approximativement égal à $1+\delta+\delta^2$.

Cidrolin · February 2019

Si la division est interdite (ainsi que les logarithmes) on peut calculer $\dfrac pq $ uniquement avec des multiplications.

On calcule quelques termes de la suite définie par : $x_{n+1}=x_n(\quad 3(1-qx_n)+(qx_n)^2\quad )$, alors $px_3$ est une valeur approchée de $\dfrac pq $.

Par exemple avec $q=837$ et $x_0=0,001$ on trouve $x_3=0,0011947431$

d'où : $\dfrac {48273}{837} \approx 48273\times x_3\approx 57,6738351254$

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