Comment naissent les nombres premiers jumeaux
dans Shtam
Bonjour,
Il ne s'agit pas ici de démontrer l'infinité des nombres premiers jumeaux.
Il s'agit de remarques visant à montrer comment les nombres premiers jumeaux s'apparient dans la liste des entiers
criblés par Eratosthène.
Dans ce crible d'Eratosthène à 24 colonnes, on visualise l'apparition des nombres premiers et finalement
celle des nombres premiers jumeaux en criblant d'abord par 2 et par 3.
En effet, le tableau joint est constitué de lignes à 24 colonnes :
la 1ère ligne va de 2 à 25
la 2ème........va de 26 à 49
etc...
Primo. En criblant par 2, se constituent des colonnes de nombres pairs de couleur rose foncé.
Secundo. En criblant par 3, se constituent des colonnes de multiples de 3 de couleur rose.
Tertio. Criblant par 2 et par 3, se constitue 4 colonnes de multiples de 6 de couleur vert sombre.
N'ayant pas encore criblé par 5, on remarque que tous nombres non encore criblés s'établissent, à une unité près,
de part et d'autre d'une colonne 6k ( k # 0 ).
Sur la 1ère ligne, on aperçoit, inférieurs à 25, les nombres premiers 5, 7, 11, 13, 17, 19 et 23,
non multiples de 2 et non multiples de 3. Il n'y a aucun multiple de 5.
En effet, 10 et 20 ont déjà été criblé par 2 et 15 a déjà été criblé par 3,
et lorsque l'on lancera le criblage par 5, le premier composé de 5 sera 5x ( x # 2 et x # 3 ) donc x = 5 => 5.5 = 5² = 25
Sur la première ligne, se compose les couples de nombres premiers jumeaux : ( 5 , 7 ) , ( 11 , 13 ) et ( 17 , 19 ).
Pour plus de lisibilité, j'ai entouré d'un cadre noir les couples de nombres premiers jumeaux.
( 23 , 25 ) sont quasi-jumeaux car 25 est un nombre composé.
Puis j'ai criblé par 5 jusqu'à 49 = 7² : seuls 35 = 5.7 et 49 = 7² marquent la 2ème ligne comme nombres composés.
=> ( 29 , 31 ) et ( 41 , 43 ) apparaissent comme couples de nombres premiers jumeaux.
......( 35 , 37 ) et ( 47 , 49 ) sont des quasi-jumeaux car 35 et 49 sont des nombres composés.
Puis j'ai continué de cribler par 5 jusqu'à 121 = 11² => sont apparus les composés 5.11 = 55 , 5.13 = 65 , 5.17 = 85 ,
...................................................................................................................................5.19 = 95 et 5.23 = 115
J'ai aussi criblé par 7 à partir de 49 jusqu'à 121 = > sont apparus les composés 7.7 = 49 , 7.11 = 77 , 7.13 = 91 et
...............................................................................................................................7.17 = 119
Tous ces composés sont sur fond de couleur rouge dans le tableau ( au moins jusqu'à 121 ).
Par contre, tous les nombres premiers sont sur fond de couleur jaune.
Tout n'est pas dit, mais pour conclure :
Ce crible d'Eratosthène à 24 colonnes laisse apparaître que, hormis 2 et 3, tous les nombres premiers sont de la
forme 6k +/- 1, que les criblages au-dessus de 3 gomment des nombres composés et laisse apparaître des couples de nombres qui sont quelquefois des faux jumeaux ( comme 119 et 121 ), qui sont quelquefois des quasi-jumeaux
( comme 125 et 127 ) et pour le reste, des couples de nombres premiers jumeaux.
A vous lire,
Il ne s'agit pas ici de démontrer l'infinité des nombres premiers jumeaux.
Il s'agit de remarques visant à montrer comment les nombres premiers jumeaux s'apparient dans la liste des entiers
criblés par Eratosthène.
Dans ce crible d'Eratosthène à 24 colonnes, on visualise l'apparition des nombres premiers et finalement
celle des nombres premiers jumeaux en criblant d'abord par 2 et par 3.
En effet, le tableau joint est constitué de lignes à 24 colonnes :
la 1ère ligne va de 2 à 25
la 2ème........va de 26 à 49
etc...
Primo. En criblant par 2, se constituent des colonnes de nombres pairs de couleur rose foncé.
Secundo. En criblant par 3, se constituent des colonnes de multiples de 3 de couleur rose.
Tertio. Criblant par 2 et par 3, se constitue 4 colonnes de multiples de 6 de couleur vert sombre.
N'ayant pas encore criblé par 5, on remarque que tous nombres non encore criblés s'établissent, à une unité près,
de part et d'autre d'une colonne 6k ( k # 0 ).
Sur la 1ère ligne, on aperçoit, inférieurs à 25, les nombres premiers 5, 7, 11, 13, 17, 19 et 23,
non multiples de 2 et non multiples de 3. Il n'y a aucun multiple de 5.
En effet, 10 et 20 ont déjà été criblé par 2 et 15 a déjà été criblé par 3,
et lorsque l'on lancera le criblage par 5, le premier composé de 5 sera 5x ( x # 2 et x # 3 ) donc x = 5 => 5.5 = 5² = 25
Sur la première ligne, se compose les couples de nombres premiers jumeaux : ( 5 , 7 ) , ( 11 , 13 ) et ( 17 , 19 ).
Pour plus de lisibilité, j'ai entouré d'un cadre noir les couples de nombres premiers jumeaux.
( 23 , 25 ) sont quasi-jumeaux car 25 est un nombre composé.
Puis j'ai criblé par 5 jusqu'à 49 = 7² : seuls 35 = 5.7 et 49 = 7² marquent la 2ème ligne comme nombres composés.
=> ( 29 , 31 ) et ( 41 , 43 ) apparaissent comme couples de nombres premiers jumeaux.
......( 35 , 37 ) et ( 47 , 49 ) sont des quasi-jumeaux car 35 et 49 sont des nombres composés.
Puis j'ai continué de cribler par 5 jusqu'à 121 = 11² => sont apparus les composés 5.11 = 55 , 5.13 = 65 , 5.17 = 85 ,
...................................................................................................................................5.19 = 95 et 5.23 = 115
J'ai aussi criblé par 7 à partir de 49 jusqu'à 121 = > sont apparus les composés 7.7 = 49 , 7.11 = 77 , 7.13 = 91 et
...............................................................................................................................7.17 = 119
Tous ces composés sont sur fond de couleur rouge dans le tableau ( au moins jusqu'à 121 ).
Par contre, tous les nombres premiers sont sur fond de couleur jaune.
Tout n'est pas dit, mais pour conclure :
Ce crible d'Eratosthène à 24 colonnes laisse apparaître que, hormis 2 et 3, tous les nombres premiers sont de la
forme 6k +/- 1, que les criblages au-dessus de 3 gomment des nombres composés et laisse apparaître des couples de nombres qui sont quelquefois des faux jumeaux ( comme 119 et 121 ), qui sont quelquefois des quasi-jumeaux
( comme 125 et 127 ) et pour le reste, des couples de nombres premiers jumeaux.
A vous lire,
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Réponses
1. tu as pris un pseudo. Comme ça, si un jour tu as honte de tes écrits, le rapprochement avec ta vraie identité sera plus difficile.
2. tu as appris quelques mots ('nombre composé' par exemple, je ne me souviens pas avoir vu ce mot dans tes précédents messages)
3. Tu as changé de positionnement. Tu ne parles plus de découverte ou de démonstration, tu partages ta passion pour les nombres. La différence est énorme, et c'est ça que je retiendrai.
Sur le fond, il n'y a rien de révolutionnaire. Les nombres premiers jumeaux sont de la forme (6k-1, 6k+1), c'est connu depuis qu'on s'intéresse aux nombres premiers ; le crible d'Erathostène, c'est connu depuis Erathostène, comme son nom l'indique. Il reste beaucoup de maladresses. En particulier quand tu parles de nombres quasi-jumeaux. A priori, ce sont les couples de la forme (6k-1, 6k+1), quand un seul de ces 2 nombres est premier. Pourquoi donner un nom particulier à ces couples ? Et quitte à donner un nom particulier à ces couples, explique ce nom.
Tu as analysé le cycle de '6' (6=2*3, produit des 2 plus petits nombres premiers). Tu pourrais regarder le cycle un peu plus grand, le cycle de 30 (30= le produit des 3 plus petits nombres premiers). Et tu trouveras assez vite que les nombres premiers jumeaux sont forcément de la forme (30k-1, 30k+1) ou (30k+11, 30k+13) ou (30k+17,30k+19) . (Sauf bien sûr les couples de nombres plus petits que 30).
Et tu peux de la même façon bâtir un cycle de période 210....
il me semble que le cycle 210 , ne prend pas tous les couples de Pj
On peut cribler avec Ératosthène modulo 30, mais pas modulo 210.
un aperçu avec 29[30] et 1[30]:
29 , 31
59 , 61
89 , 151
149 ,181
179 ,211
239 , 271
269 , 331
359 , 421
389 , 541
419 , 571
449 , 601
479 , 631
509 , 661
569 , 691
599 , 751
659 , 811
719 , 991
809 , 1021
839 , 1051
929 , 1171
1019 , 1201
1049 , 1231
1109 , 1291
1229 , 1321
1259 , 1381
1289 , 1471
1319 , 1531
..etc..
@lourrran : je n'ai rien posté la semaine dernière ; ça fait un bail que je n'avais rien posté !
1. Gonzague de VILLEMAGNE n'est pas un pseudo : c'est mon nom, avec lequel je signe tous mes articles et je n'en ai
pas honte.
Vous devez me prendre pour quelqu'un d'autre.
Quant à discuter du fond : je sais parfaitement que rien n'est nouveau.
C'est la forme qui m'intéresse. Ce tableau tel que je l'ai constitué laisse apparaître doucement les choses. Je n'ai pas analysé le cycle 6 = 2.3 pour le constituer : les choses sont apparues d'elles-mêmes.
Le cycle 30 = 2.3.5 n'a rien à faire dans ce crible à 24 colonnes ; cela n'apporterait rien visuellement. Encore moins
le cycle 210 = 2.3.5.7
Ayant criblé par 2 puis par 3, on s'aperçoit que tous les nombres, premiers ou composés hormis les pairs et les "composés" de 3, sont de la forme 6k +/- 1.
Vous allez me dire qu'on le sait depuis des lustres... Moi je vous rétorquerai qu'on le voit dans le tableau.
Et puis j'ai voulu montrer avec ce tableau à 24 colonnes, que, criblant petit à petit, on s'aperçoit d'une chose :
commençant le crible par 5, le premier composé est 5² = 25
=> tous les nombres inférieurs à 25 sont premiers et s'organisent en nombres premiers jumeaux sauf 23 dont le nombre conjoint, 25, n'est pas premiers. J'ai effectivement parlé de quasi-jumeaux : il n'y a pas lieu de faire un dessin et cela veut bien dire ce que cela veut dire... vous l'avez vous même relevé.
Pourquoi parler de quasi-jumeaux ? Et de faux-jumeaux ? Pour différencier les trois genres d'appariements sans
pour autant utiliser des kilomètres de description.
Personne ne peut m'interdire de donner des précisions.
=> tous les nombres supérieurs à 25 sont potentiellement premiers.
Il suffit de continuer à cribler par 5, le deuxième composé est 5.7 = 35, pour se rendre compte que tous les autres
nombres inférieurs à 49 = 7.7 ( premier composé du crible par 7 ) sont premiers et s'organisent
soit en nombres premiers jumeaux ( 29 , 31 ) , ( 41 , 43 ) et quasi-jumeaux ( 35 , 37 ) , ( 47 , 49 ).
Evidemment, mon observation se fait à petite vitesse et la relater ne peut aller plus vite.
Ce crible d'Eratosthène 24 colonnes peut conduire à d'autres réflexions et je ne manquerai pas d'en faire part.
Cordialement,
Le même tableau, mais sur 30 colonnes au lieu de 24 serait un peu plus intéressant. Les nombres premiers jumeaux seraient sur 3 colonnes seulement, alors qu'actuellement, ils peuvent se trouver sur 4 colonnes (3 parmi 5 au lieu de 4 parmi 4, ce n'est pas neutre).
Le nombre 24 a une particularité 24 = 5²-1 et 2*24 = 7²-1. C'est plaisant. Mais c'est trompeur.
Dès qu'on dépasse les quelques premières lignes, dès qu'on s'intéresse aux nombres au delà de 500 par exemple, 24 n'a plus aucun intérêt, alors que 30, ou 210 en ont un peu plus.
Mais comme on est dans la rubrique shtam, on peut faire un tableau avec 24 colonnes.
@LEG : 210 est un nombre intéressant dans cette '''' étude """. Il permet de dégager des cycles, Mais bien entendu, il devient intéressant uniquement pour des nombres relativement grands, au delà de 210.
Le même tableau, avec 210 colonnes peut donner quelque chose, alors que le même tableau , avec 200 colonnes , ou 240 colonnes n'aurait aucun intérêt.
ou dit autrement $p^2\equiv1\mod24$, $p^4\equiv1\mod240$, $p^{16920}\equiv1\mod27082813480941142119216488989297305302383010400$ (et gcd($p$,valeur modulo)=1)
210 colonnes, c'est beaucoup, donc l'image est illisible, mais ce n'est pas grave.
Police rouge = les nombres composés,
police bleue = les nombres premiers.
Quand 2 nombres(a,b) forment un couple de nombres premiers, j'ai mis le premier des 2 sur fond vert, et le second sur fond violet.
On voit très distinctement des motifs se former. Les nombres premiers sont inexistants sur certaines colonnes (peu visible). Et surtout, les nombres premiers jumeaux sont sur 15x2 = 30 colonnes seulement, sur un potentiel de 210.
Avec bien sur une exception sur la première ligne, où on a 2 couples atypiques (3,5) et (5,7)
Pour les amateurs, un tableau similaire, avec 11*210 = 2310 colonnes serait certainement aussi intéressant.
@lourrran : il ne s'agit pas, parce que nous sommes dans SHTAM, de faire de beaux tableaux pour le plaisir.
..................Votre tableau à 210 colonnes montrent bien à la fois la dispersion et les regroupements de nombres
..................premiers jumeaux. J'en ai fait un pour ma part à 30 colonnes, c'est vrai, c'est beau, mais que peut-on
..................en tirer.
Dans mon tableau à 24 colonnes, il se trouve que le carré de chaque nombre premier supérieur à 3 se trouve dans la colonne 24 selon la règle :
si p est premier, et m un entier supérieur à 0, alors p² - 1 = 24m ça se démontre facilement.
Vous écrivez : ...dès qu'on s'intéresse aux nombres au delà de 500 par exemple, 24 n'a plus aucun intérêt...
Tout dépend où vous voyez ou ne voyez pas un intérêt.
Concernant mon travail sur les nombres premiers, j'ai remarqué que p² est une limite intéressante pour d'autres
sujets que les nombres premiers jumeaux :
Cf Mon théorème de génération de nombres premiers, en 6ème page de mon article :
.....Nouveau crible de nombres premiers,
.....et Coefficient de répartition, nombres premiers.
....Ces deux articles se trouvant en page 2 de SHTAM
Pour l'instant, j'ai pu observer qu'entre deux p² de deux p consécutifs, il existe au moins un couple de nombres
premiers jumeaux.
Evidemment, il faut considérer deux choses :
- d'une part la dispersion des nombres premiers vers de hautes valeurs en fonction de la densité grandissante
..des nombres composés,
- d'autre part le maillage des p² que l'on applique à cet ensemble de valeurs ( nombres premiers et composés ).
Le travail de recherche suit les étapes : observation, réflexion, conjecture, démonstration.
Cordialement,